南安电分许技新警 电子工程学院DP School of Electronic Engineering,Xidian University http://see.xidian.edu.cn 场论与复变函数 主讲：徐乐 2014年9月8日星期
场论与复变函数 主讲：徐乐 2014 年 9 月 8日星期一
Review ■场论导论 ■矢量场的矢量线 单值、连续且具 ■数量场的等值面与等值线 有一阶连续偏导 数量场的方向导数与梯度 lexu@mail.xidian.edu.cn
Review 场论导论 矢量场的矢量线 数量场的等值面与等值线 单值、连续且具 有一阶连续偏导 数量场的方向导数与梯度 lexu@mail.xidian.edu.cn 2
矢量场 ■矢量场 4=4(M) 。M为矢量场中的任意一点： ·矢量场中分布在各点处的矢量是场点的函数 。直角坐标系下，矢量场可表示为： A=A(, +A.(x,y,=)j 十A(3x八)k lexu@mail.xidian.edu.cn
矢量场 矢量场 • M为矢量场中的任意一点 A A(M ) • M为矢量场中的任意 点； • 矢量场中分布在各点处的矢量是场点的函数 • 直角坐标系下，矢量场可表示为： ˆ (, ,) ˆ (, ,) A A xyzi x A xyz j (, ,) ˆ (, ,) y z A xyz j A xyzk lexu@mail.xidian.edu.cn 3
矢量线 ■矢量线 。曲线在其上每一点处都与该 点的矢量A相切： 。矢量线方程： h山止 A.A.A ·Note:A不为0，且其3个 分量单值、连续且具有一阶 连续偏导数时，矢量线存在 且互不相交； 。矢量面：通过曲线C的矢量 线构成的曲面： 矢量管：曲线C封闭时的矢 量面
矢量线 矢量线 • 曲线在其上每一点处都与该 点的矢量A相切； • 矢量线方程： AAA xyz dx dy dz • Note：A不为0，且其3个 分量单值、连续且具有一阶 xyz 值 续 具 连续偏导数时，矢量线存在 且互不相交； • 矢量面：通过曲线C的矢量 线构成的曲面； • 矢量管：曲线C封闭时的矢 量面
等值面 ■等值面 ·在数量场中，使函数取相同数值的所有点组成的曲面 称为该数量场的等值面 ·Note1:函数单值且各连续偏导数不全为0，则等值面必 存在。 。 Note2:c取遍所有可能值时，这族等值面充满数量场所 在空间，且这族等值面两两互不相交。 Note3：数量场中的每一点都有一个等值面通过，且函 数单值，故每一个点均有且仅有一个等值面通过 lexu@mail.xidian.edu.cn
等值面 等值面 • 在数量场中，使函数u取相同数值的所有点组成的曲面 称为该数量场的等值面 • Note1：函数单值且各连续偏导数不全为0，则等值面必 存在。 • Note2：c取遍所有可能值时，这族等值面充满数量场所 在空间，且这族等值面两两互不相交。 • Note3：数量场中的每一点都有一个等值面通过，且函 数u单值，故每 个点均有且仅有 个等值面通过 一个点均有且仅有一个等值面通过 lexu@mail.xidian.edu.cn 5
梯度 ■梯度性质 ·梯度与方向导数：数量场在一点沿某方向的方向导数 等于梯度在该方向的投影： ·梯度与等值面：数量场中一点处的梯度垂直于该点处 的等值面，且指向数量增大一方。 ou gradu.o al du. gradu= du a lexu@mail.xidian.edu.cn 6
梯度 梯度性质 • 梯度与方向导数：数量场在 点沿某方向的方向导数 一点沿某方向的方向导数 等于梯度在该方向的投影； • 梯度与等值面：数量场中 点处的梯度垂直于该点处 一点处的梯度垂直于该点处 的等值面，且指向数量增大一方。 u 0 ˆ gradu uuu gradu= x y z x y z lexu@mail.xidian.edu.cn 6
梯度 ■ 例求曲面2xz2-3xy-4x=7在其上点M1,-1,2 处的切平面方程 [解] ·该曲面是数量场u=2xz2-3xy-4x的一张等值面； 。由梯度性质可知点处的法向方向与梯度同向 gradu ly=(2=2-3y)i-3xj+4xzk ly=7i-3j+8k 。由此可得切平面方程 7(x-1)+3y+1)+8(z-2)=0 =7x-3y+82=26 lexu@mail.xidian.edu.cn
梯度 例 求曲面2xz2-3xy-4x=7在其 点上 M(1,-1,2) 处的切平面方程 [解] 该曲面是数量场 2 2 • 该曲面是数量场u=2xz2-3xy-4x的 张等值面 一 ； • 由梯度性质可知点M处的法向方向与梯度同向 由此可得切平面方程 2 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ grad | (2 3 ) 3 4 | 7 3 8 M M u z y i xj xzk i j k • 由此可得切平面方程 7( 1) 3( 1) 8( 2) 0 xyz lexu@mail.xidian.edu.cn 7 7 3 8 26 xyz
场论 数量场 等值面 梯度 矢量场 采用矢量线 分析工具 描述 ? lexu@mail.xidian.edu.cn
场论 数量场 等值面 梯度 矢量场 采用矢量线 分析工具 描述 ？ lexu@mail.xidian.edu.cn 8
第3讲矢量场分析 ■矢量场的通量与散度： 。矢量场的通量 ·矢量场的散度 ■矢量场的环量与旋度： ·矢量场的环量 。矢量场的旋度 lexu@mail.xidian.edu.cn
第3讲 矢量场分析 矢量场的通量与散度： • 矢量场的通量 • 矢量场的散度 矢量场的环量与旋度： • 矢量场的环量 • 矢量场的旋度 lexu@mail.xidian.edu.cn 9
矢量场的通量与散度 ■有向曲面 ·为区分曲面两侧，常规定其一侧为曲面的正侧，另一面 为其负侧。这种取定了正侧的曲面称为有向曲面 ·对于封闭曲面，习惯上总是取其外侧为正侧。 ■流量 ·设S为流速场v(M)中一有向曲面，考虑单位时间流体向 正侧穿过S的流量Q。(正向指向S正侧) ·在S上取s,s足够小以至于上各点处曲面法向及流体 流矢均与M处相同。流体穿过s的流量为： d0=v水=()=下-d 。单位时间内沿正向穿过s的总流量为 g=川g=s=厅s ds 数学上把这种形式的曲面积分称为通量 lexu@mail.xidian.edu.cn 10
矢量场的通量与散度 有向曲面 • 为区分曲面两侧，常规定其 侧为曲面的正侧 常规定其 一侧为曲面的正侧，另 面一 面 为其负侧。这种取定了正侧的曲面称为有向曲面 ; • 对于封闭曲面，习惯上总是取其外侧为正侧 。 流量 • 设 S为流速场 v(M)中 有向曲面 一 ，考虑单位时间流体向 考虑单位时间流体向 正侧穿过 S的流量 Q。（正向指向 S正侧） • 在 S上取 ds， ds足够小以至于 ds上各点处曲面法向及流体 上各点处曲面法向及流体 流矢均与 M处相同。流体穿过ds的流量为： n dQ v ds v n ds v ds ( ) • 单位时间内沿正向穿过 s的总流量为 M n v v ( ) n dQ v ds v n ds v ds Q dQ d d lexu@mail.xidian.edu.cn 10 数学上把这种形式的曲面积分称为通量。S ds s s n s Q dQ v ds v ds