南安电分许技新警 电子工程学院DP School of Electronic Engineering,Xidian University http://see.xidian.edu.cn 场论与复变函数 主讲:徐乐 2014年9月3日星期三
场论与复变函数 主讲:徐乐 2014 年 9 月 3日星期三
Review ■矢量代数 ■矢性函数 ■矢性函数微积分 lexu@mail xidian.edu.cn
Review 矢量代数 矢性函数 矢性函数微积分 lexu@mail.xidian.edu.cn 2
矢量代数 ■矢量合成、分解 运算 法则 合成 分解 平行四边形 a 法则 分解 具 三角形 b 不 性 法则 lexu@mail xidian.edu.cn
矢量代数 矢量合成、分解 运算 法则 合成 分解 平行四边形 法则 a b c 矢量 法则 分解 三角形 b b 具有 不唯 三角形 性 法则 a c 一性 lexu@mail.xidian.edu.cn 3
矢性函数微积分 矢性函数 A=A(t+A.(+A(t 运算 LA(1]=L[A(t)]R+L[A(t)]+LA(t)]2 L是算子符号,代表一种运算(极限、导数、积分) 些基本矢量运算 a.b=a.b.cose axb= ay a.(bxc)=c.(axb)=b.(cxa) a b b, ax(bxc)=(a.c)b-(a.b)c lexu@mail xidian.edu.cn
矢性函数微积分 () () () ˆ ˆ A A tx A t xyz y A tz 矢性函数 [ ( )] [ ( )] [ ( )] ˆ ˆ LA t x LA t y LA t z xyz 运算 L是算子符号,代表 一种运算 (极限 、导数 、积分 ) LAt [ ( )] L是算子符号,代表 种运算 (极限 、导数 、积分 ) 一些基本矢量运算 a b a b cos x ˆ ˆ y zˆ a b abc ( ) cab bca () () x y z x y z aaa bbb lexu@mail.xidian.edu.cn 4 a bc ( ) ( ) -( ) acb abc
矢性函数 ■矢性函数 ·矢端曲线: ■将空间中所有矢量的起点 固定在坐标原点,当1变化 时,矢量的终点描绘出一 条曲线1,该曲线称为矢性 函数的矢端曲线或图形。 ·认为所有大小相等、方向 相同的矢量是同一个矢量 ■矢性函数的表示式也称为 曲线的矢量方程: A=A(0x+A,()+A()月 lexu@mail xidian.edu.cn
矢性函数 矢性 数函 • 矢端曲线: 将空间中所有矢量的起点 固定在坐标原点,当t变化 时,矢量的终点描绘出一 条曲线l,该曲线称为矢性 函数的矢端曲线或图形。 认为所有大小相等、方向 相同的矢量是同一个矢量 矢性函数的表示式也称为 曲线l的矢量方程: A A (t) ˆ A (t) ˆ A (t)ˆ lexu@mail.xidian.edu.cn 5 A A t x A t y A t z x y z ( ) ( ) ( )
第2讲数量场 ■场论导论 ■矢量场的矢量线 ■数量场的等值面与等值线 数量场的方向导数与梯度 lexu@mail xidian.edu.cn 6
第2讲 数量场 场论导论 矢量场的矢量线 数量场的等值面与等值线 数量场的方向导数与梯度 lexu@mail.xidian.edu.cn 6
场论导论 ■场论初窥 ·如果在某一空间区域内的每一点,都对应着某个物理 量的一个确定的值,则称在此区域内确定了该物理量 的一个场。换句话说,在某一空间区域中,物理量的 无穷集合表示一种场。 ■在研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间的分布状 态时,数学上只需用一个代数变量来描述,这些代数变量(即 标量函数)所确定的场称为数量场,如温度场T代,y,2、电位场 0(x,yz)等。 。而在许多物理系统中,其状态不仅需要确定其大小,同时还 需确定它们的方向,这就需要用一个矢量来描述,因此称为 矢量场,例如电场、磁场、流速场等等。 lexu@mail xidian.edu.cn
场论导论 场论初窥 • 如果在某一空间区域内的每一点,都对应着某个物理 量的一个确定的值,则称在此区域内确定了该物理量 的一个场。换句话说, 在某一空间区域中,物理量的 无穷集合表示 种场 一 。 在研究物理系统中温度、 压力、 密度等在一定空间的分布状 态时,数学上只需用一个代数变量来描述, 这些代数变量(即 标量函数)所确定的场称为数量场, 如温度场T(x, y, z)、电位场 φ(x, y, z)等。 而在许多物理系统中 而在许多物理系统中, 其状态不仅需要确定其大小 其状态不仅需要确定其大小,同时还 需确定它们的方向,这就需要用一个矢量来描述, 因此称为 矢量场,例如电场、磁场、流速场等等。 lexu@mail.xidian.edu.cn 7
场论导论 场的一个重要的属性是它占有一定空间: ■且在该空间域内,除有限个点和表面外,其物理量应是 处处连续的: 。若该物理量与时间无关,则该场称为静态场: 若该物理量与时间有关,则该场称为动态场或时变场。 数量场矢量场 静态场 动态场 lexu@mail xidian.edu.cn
场论导论 场的一个重要的属性是它占有一定空间; 且在该空间域内, 除有限个点和表面外,其物理量应是 处处连续的; 若该物理量与时间无关,则该场称为静态场; 若该物理量与时间有关,则该场称为动态场或时变场。 lexu@mail.xidian.edu.cn 8
矢量场的矢量线 ■矢量场 4=4(M) ·M为矢量场中的任意一点: 。矢量场中分布在各点处的矢量是场点的函数 。 直角坐标系下,矢量场可表示为: A=A(x,y,2月 单值、连续且具 +4,(xy,z)月 有一阶连续偏导 +A(八,2) lexu@mail xidian.edu.cn
矢量场的矢量线 矢量场 • M为矢量场中的任意 一 点 A A ( M ) • M为矢量场中的任意 点; • 矢量场中分布在各点处的矢量是场点的函数 • 直角坐标系下,矢量场可表示为: ˆ (, ,) ˆ (, ,) A A xyzi x A xyz j 单值、连续且具 (, ,) 有 阶连续偏导 ˆ (, ,) y z A xyz j A xyzk 有 一阶连续偏导 lexu@mail.xidian.edu.cn 9
矢量场的矢量线 ■矢量线 ·曲线在其上每一点处都与该 点的矢量A相切 ·矢量线方程 dx dy dz AA,A Note:A不为0,且其3个分 量单值、连续且具有一阶连 续偏导数时,矢量线存在且 互不相交: 矢量面:通过曲线C的矢量 线构成的曲面: 。 矢量管:曲线C封闭时的矢 量面。 lexu@mailxidian.edu.cn 10
矢量场的矢量线 矢量线 • 曲线在其上每一点处都与该 点的矢量A相切; • 矢量线方程: AAA xyz dx dy dz • Note:A不为 0,且其 3个分 量单 值、连 续 且 具有一阶连 xyz 值 续 具 续偏导数时,矢量线存在且 互不相交; • 矢量面:通过曲线 C的矢量 线构成的曲面; • 矢量管:曲线 C封闭时的矢 量面 lexu@mail.xidian.edu.cn 10