Review 必场论导论 冬矢量场的矢量线 场论与复变函数 数量场的等值面与等值线 单值、连续且具 有一阶连续偏导 数量场的方向导数与梯度 冬矢量场的通量与散度 冬矢量场的环量与旋度 主讲：徐乐 lexuamail cidian.edu.cn 。复变函数与场论。。。。。。。 Review Review 必通量 数量场 ■设A(M)为一矢量场，沿其中有向曲面S正（负） 侧曲面积分称为矢量场AM0向s正（负）侧穿过 等值面 曲面S的通量。 梯度 ·如果曲面是一个开曲面，则 矢量场 w=fA-ds =1a.nds ·如果曲面是一个闭曲面，则 矢量线 散度 旋度 4=∮Ad5 复变函数与场论。。····· 。复变函数与场论。·。····
Review Review 全局特性 局部特性 散度： ■设M是矢量场中的一点，在M的某个邻域内取 曲面内有 源在s内 正源或负源 分布情况及 一包含M在内的任一闭合曲面，其所包含区域 个 一点处强弱 的体积为△V,以△φ表示穿出△s的通量。 ds 闭合曲面 ·若当该区域以在意方式缩向点V时，？ AV 通量正负 散度 极限存在，则称之为矢量场在点M处的散度。 记为 ∯西 △p wA=,A职，广A 。复函数与场论。·。··，· lexul@mail uidian.edu.cn 复变函数与场论。。·。··· 矢量场的环量与旋度 Review 冬环量 公旋度 。定义：设有矢量场，则沿场中某一封闭的有向曲线的 曲线积分「=∮·d称为此矢量场按积分所取 方向沿曲线的环量。其中d=元dl) ■直角坐标系： A=A(x,yz)+A,(xy,z）+A(x,y,z)日 n=cosax+cos Bi+cosy2 4=R方 di =di cosa+dlcos Bi+dlcosy=dx+dy i+dz 「=重Ad=重4k+4山+4正 ····复变数与场论、······
矢量场的环量与旋度 矢量场的环量与旋度 回顾V算子： ·旋度运算法则 ■直角坐标系定义：v=只+ 1Vx(c)=cV×A(c-常数) 5°Vx(W0=0 +品 2”V×(A±B=V×A±VxB 6”V-(V×=0 ■梯度： 矢量 3°V×(=VxA+Vn×A 7V×V×A=(W,-7A gradu =Vu- 4°V(A×8)=rm1A.彦-A·o彦 ■散度： divA=V.A aL+1+4 标量 其中V称为拉普拉斯算子，在直角坐标系中有 黎器 ■旋度： o=V×A= 矢量 VA-VARVA+VA fexulamail.xidian.edu.cn 夏变函数与场论.。。。。。。 lexw tmail.cidian.edu.cn 。复变函数与场论。。。。。。。 10 矢量场的环量与旋度 矢量场的环量与旋度 例 在坐标原点处放置一点电荷4，在自由空间产生的电 例9证明：口.(A×B)=V×AB-A.V×B(Rule4) 证A=A+A,+A: B=B,元+B,+B2 场强度为E=之心+炉+，求自由空 间任意点(0)电场强度的旋度VXE。 AxB=(A,B.-A.B,)+(A.B,-AB.)+(A.B,-A.B.) 解 秋面8器会8-☒治 V×E=9 )小 号®号0-4号 =0-B+4-B,+-B y 6z dx dx y +)月-。 =V×A,B-A,V×B 识-8A-识34-0-4 dz dx 复变函数与场论。···。·· 复变函数与场论。。。·。。· 12
第4讲特殊矢量场 单连域与复连域 必有势场 线单连域与线复连域 必管形场 ■任取简单闭曲线！∈空间区域G: 必调和场 ■存在以为边界且全部位于区域G内的曲面S: ■满足以上要求的G称为线单连域 ▣否则称之为线复连域 lenu@ml.am.eh.n·,,··· 复函数与场论。·。···· 13 lexutmoil.cidian.educn 。···复变函数与场论。····。· 14 单连域与复连域 弹连域与复连域 面单连域与面复连域 ■任取简单闭曲面S∈空间区域G: ■S包围的点全部位于区域G内(S内没有洞)： ■满足以上要求的G称为面单连域 ▣否则称之为面复连域 lexumuil.xidian.edu.cn 15 ■ew@mal加mchm。··。。·复变函数与场论。。、·。··《16
有势场 有势场 定义]设有矢量场AM,若存在单值函数u(M)满足： 定理1在线单连域内矢量场A(M0为有势场的充 4=grad u 要条件是A(M0为无旋场。 ■称此矢量场为有势场 证]必要性 A=P(M)i+(M)j+R(M)R A(M)为有势场 。命=-4，则为失量场的势函数，即 4=-grad v P=u,Q=4,R= A=grad u ■Note1:有势场是梯度场： ■Note2:有势场的势函数有无穷多个： rota=V×A a =R-0)+P-R)+0,-P=0 ■Note3:有势场的势函数之间差一个常数 R A(0为无旋场 lexulamall.xidian.edu.cn ,。·。夏变函数与场论。。。。。。 17 lexuamail cidian.edu.cn 、复变函数与场论 18 有势场 有势场 冬充分性若A为无旋场，则场中处处有rotA=0 推论1如下四种表述等价：在线单连域内， 、A:与路径无关一∮A-:=0一斯托克斯公式 ■(1)失量场A是有势场（某个数量场的梯度场） 固定点M,oz0,以Mcyz)为动点构造数性函 ·(2)失量场A是无旋场（场内处处旋度为零） 数 《x2 ■(3)失量场4是保守场（场内线积分与路径无关） u(x,y,z)= A.dl= Pdx+Ody +Rdz ■（④表达式是某个函数的全微分 -=P Ar Ar 一=im Ar Adi=Px+Oh+R=k+山+ gradu-Vu-ji+ y A(0为有势 fexula mail.xidian.edu.cn 复变函数与场论。。。·。·· 1.cidian.edu.cn 复变函数与场论··。···· 10
有势场 有势场 通过全微分求解势函数 ”例1验证矢量场4为有势场，并求其势函数 1.选定场中一点M,(mp) 2. 求以任意路径从点M,(化mo)到点M(x,z)的线积分 A=(3x2-6xy)元+(3y2-3x2)9 u(x,y,z)= )=p) Pdx+Ody +Rdz 必证： xyw5) (a-yato) P=3x2-6y Q=3y2-3x2 3. 令=-得到势函数 为方便起见，通常取逐段平行于坐标轴的折线作为积 aP -6x 分路径，即 dy Ox x,,2)=Pxy,)d+ e(x,y,z)dy+ R(x,y,z)dz rot A=0, A为有势场 lexal@mail.xidian.edu.cn 。 复变函量与场论···。·· 21 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数与场论。······ 22 势函数 势函数 势函数求解方法 1公式法（线积分法）引 势函数求解方法二 偏积分法1 ■建立势函数 M(x,y) ■建立势函数全撤分A=(3x2-6y)+(3y2-3x2)° A=3r2-6y)r+3y2-3xr2)9 ■建立偏微分方程组du=Pd+Qd少 ■选取分段积分路径 Cu ■求势函数 dx=0,x=x =3y2-3x2 0 M。(x,0x ■求势函数 =3x2-6.y, /0y u(x.y)=3x'dx+(3y'-3x')dy=x'+y-3xy u=x-3xy+o(y) Ow。 MoM a=-3r2+p)=3y2-3x C ux,y)=x+y-3x'y+C d小=0，y=0 p(0)=3y2→0y)=y2+C x)=-(x)=-x-y3+3xy+C (x,）=x3+y-3x2y+C.cy=-x)=--y+3y+C fewu(mail.xidian.edu.cn 复交雨政与场论····。·· 23 w@mald加m.thn☐···。··复变函数与场论。·。。··· 24
甲子工程学院⊕尘① Suhool of Electronic Engineering.Xidian University nttp://see.x 管形场 [定义]设有矢量场A,若其散度恒为零，即： Let's have a rest! divA=0 ■称该矢量场为管形场： ·亦称为无源场 [定理」设管形场A所在空间为面单连域 ■在场中任取一个矢量管 ■假定S与S,是它的任意两个横截面 ·其法矢n,与n都朝向失量4所指的一侧 ·则有 ∬a店=∬a lexultmail cidian.edu.cn 。复变函数与场论。。。·。。。 26 管形场 管形场 证到 Note1管形场中穿过同一个矢量管的所有横截面 ▣设S=S+S+S 的通量都相等 ■管形场散度恒为零 Note2此常数称之为矢量管的强度 ▣场所在区域为面单连域 Note3流入某矢量管的流量和从管内流出的流量 ■由奥氏公式 ∯A:本=∬divAdV=0 是相等的，流体在矢量管内流动，管形场 「A,d+∬A,ds+j∬A,ds=0 ∬4+川4d=0 因此得名 复变函数与场论。····。· 复变函数与场论。。。·。。· 28
管形场 管形场 [管形场的充要条件] aw av =P 0 ■面单连域内失量场A为管形场A=rotB aU aw =0 ■证充分性若A=rotB B2 ay au =R 可 冬取 U=∫广0xyt-, divA=divroiB)= 0 A为管形场 B V--PGx.y.)d W=C(C为任何常数) ■必要性，若divA=O,证存在矢量场B,使得rotB=A 冬可以验证，该组函数构成的失量场B满足rOtB=A B-=U3+Vi+W2 。矢量场B也称为失量场A的势矢量 mafl.xidian.edu.cn 。复函政与场论。·。··，。 lexu@mail.xidian.edu.cn 。。,。复变函数与场论 30 管形场 调和场 ”例3验证矢量场A为管形场，并求场A的一个势矢量 div=0 冬定义]若矢量场中恒有 rot=0 A=(2z-3y)元+(3x+y)°-(z+2x)2 ·称此矢量场为调和场 解1显然，divA=0+1-1=0,故为A管形场 。即既无源又无旋的矢量场 ■由公式求其劳矢量，取xp)=(0,0,0),则 [例点电荷产生的静电场，在除去点电荷所在原 U=3x+y)+2x=3z+z+2y 点外，电位移矢量场D为调和场，即 V=-i(2z-3dk=3z-2 divD=0 W=1 rotD=0 ■令B=(3xz+yz+2yyx+(3z-zy+x ■显然，rotB=A ■显然，电场强度矢量场有着同样的性质。 enu@madlxidian.血cm,，。·，。·复函数与场论、···。·· @moil-didian.ed.cn·。·。。复变函数与场论。·。··。·32
调和场 调和场 调和函数 rot=0 4=grad u 例4设S为区域的边界曲面，为S的向外单位法矢 量，在区域上函数fx,以，具有二阶连续偏导 div=0 △u=0 数，证明s=小 ■拉普拉斯算子 o 2,a2 △三 a+ + 拉普拉逊 z2 [证] ■调和量 △u=div(gradu) ∯grad=j∬div(grad)d=j∬ad ■拉普拉斯方程 △M=0 调和函数：满足拉普拉斯方程，且有二阶连续偏导数的函 ·若f为调和函数，则 5=0 数，叫做调和函数。 .xidian.edu.cn 复变函数与场论.。。。。。。 33 lexuamail cidian.edu.en 复变函数与场论。。·。。· 34 调和场 调和场 冬平面调和场 必力函数 ·既无旋又无源的平面矢量场 ■势函数v diva=oP 00 a=-Qi+P =0 rota=2_6-2f=0 rotd=(迴_ )k=0 00 ap dx dy =0 dx dv Cu P=_0v 0-a Q a gradu A=-gradv P(x,y)-∫'Qx,y) ux,)=∫-0ex,y)+∫'Px,y .xidian.edu.cn 复变函数与场论。。··。。· 35 复变函数与场论。。。·。。· 36
调和场 调和场 共轭调和 例5已知调和函数u=y33xy,求其共轭调和函数y 解 P=-Cv 0m_u=-6y dy dx 0 v=∫-6n=-3gy2+gx) ou ov ouov 共轭调和条件 ax dy dy dx Ov ou =-3y2+3x 器器 共轭调和函数 p'x)=3x2→gx)=x2+C Ovov 0 v=-3y2+x3+C mail.xidian.edu.cn 复变函威与场论.·。···· 37 lexu aimail cidiun.edu.cn 夏变函数与场论 38 调和场 作业 力线：力函数的等值线，化以=C, 冬1证明 ■梯度 gradu=-i+ V(A.B)=A×(V×B)+(AV)B+B×(V×A)+(BV)A 等势线：势函数的等值线，v化，)=C2 2设S为曲面x2+y2=Z(0≤zsh),求流速场 在单位时间内向下侧穿过$的流量Q ▣梯度 gradv=-Pi-Oj =(x+y+2)k 冬力线与等势线相互正交 ·力线切线斜率：y=-4- 3设a为常矢，下=xi+j+z或，计算 4,P 等势线切线斜事：y=-=- div(ra)）divr2a）div"a) 化m@allxidian.edu.cn·，··。。复交雨最与场论。·。·。·· 3 lexu@mail cidian.edu.en ,,··。·夏变函数与场论。。·····