西安电子科技大学：《复变函数与场论》课程教学课件（讲义，2014）第4讲 特殊矢量场

西安电子料技等 电子工程学院DP School of Electronic Engineering,Xidian University http://see.xidian.edu.cn 场论与复变函数 主讲：徐乐 2014年9月11日星期四

场论与复变函数 主讲：徐乐 2014 年 9 月11日星期四

Review ■场论导论 ■矢量场的矢量线 单值、连续且具 ·数量场的等值面与等值线 有一阶连续偏导 ■数量场的方向导数与梯度 ■矢量场的通量与散度 ·矢量场的环量与旋度 lexu@mail.xidian.edu.cn

Review  场论导论  矢量场的矢量线  数量场的等值面与等值线 单值、连续且具 有一阶连续偏导  数量场的方向导数与梯度  矢量场的通量与散度  矢量场的环量与旋度 lexu@mail.xidian.edu.cn 2

Review 数量场 等值面 梯度 矢量场 矢量线 散度 旋度 lexu@mail.xidian.edu.cn

Review 数量场 等值面 梯度 矢量场 矢量线 散度旋度 lexu@mail.xidian.edu.cn 3

Review ■通量 设AM0为一矢量场，沿其中有向曲面S正（负） 侧曲面积分称为矢量场AM)向s正（负）侧穿过 曲面S的通量。 ·如果曲面是一个开曲面，则 =小-&∫i达 ·如果曲面是一个闭曲面，则 lexu@mail.xidian.edu.cn

Review  通量 • 设A ( ) M 为 矢量场 一 ，沿其中有向曲面 沿其中有向曲面S正(负) 侧曲面积分称为矢量场A (M)向s正(负)侧穿过 曲面S的通量。  如果曲面是一个开曲面，则 A dS A dS ˆ       如果曲面是一个闭曲面，则 S S   A dS A  ndS    如果曲面是 个闭曲面，则 S   A dS      lexu@mail.xidian.edu.cn 4 S

Review 全局特性 局部特性 曲面内有 源在s内 正源或负源 分布情况及 点处强弱 V(M) 闭合曲面 通量正负 散度 lexu@mail.xidian.edu.cn

Review 全局特性 局部特性 曲面内有 源在s内 V(M) 正源或负源 分布情况及 一点处强弱 闭合曲面 通量正负 散度 lexu@mail.xidian.edu.cn 5 S

Review ■散度： ● 设M是矢量场中的一点，在M的某个邻域内取 一包含M在内的任一闭合曲面，其所包含区域 的体积为△V,以△Φ表示穿出△s的通量。若 当该区域以任意方式缩向点M时， 明as 47 极限存在，则称之为矢量场在点M处的散度。 记为 H45 40 4=1 =lim AQMA △ lexu@mail.xidian.edu.cn

Review  散度： • 设M是矢量场中的 点一 ，在M的某个邻域内取 的某个邻域内取 一包含M在内的任一闭合曲面，其所包含区域 的体积为△V，以△φ表示穿出△s的通量。若 当该区域以任意方式缩向点M时， A ds    极限存在 则称之为矢量场在点M处的散度 V V s        极限存在，则称之为矢量场在点M处的散度。 记为 A ds      lexu@mail.xidian.edu.cn 6 V V div A s M M           lim lim 

Review 。环量 。定义：设有矢量场，则沿场中某一封闭的有向曲线的 曲线积分「=4d称为此矢量场按积分所取 方向沿曲线的环量。（其中-dl-dl) 。直角坐标系4=4，+4，+4 =dl cos+dl cos B+l cosy6=d+d山)+北含 =4dl=4d本+4山+4 lexu@mail.xidian.edu.cn

Review  环量 • 定义：设有矢量场 ，则沿场中某 封闭的有向曲线 一封闭的有向曲线l的 曲线积分 称为此矢量场按积分所取     l A dl   方向沿曲线l的环量。(其中 ) • 直角坐标系： dl  dl    A A (x y z) xˆ  A (x y z) yˆ  A (x y z)zˆ  • 直角坐标系：A A x y z x A x y z y A x y z z x y z  ( , , )  ( , , )  ( , , ) dl dl x dl     cos cos cos  ˆ yˆ dl z dx x d ˆ ˆ ˆ y yˆ dz z          l x y z l A dl A dx A dy A dz   lexu@mail.xidian.edu.cn 7  l x y z l y

Review ■旋度 OS E n=cosax+cos By+cosy lexu@mail.xidian.edu.cn

Review  旋度  ( ) cos ( ) cos  ( ) cos y A x A x A z A z A y Az y x z y x n                   z y A x A y x A z A x z A y A R z y x z y x ( )ˆ ( ) ˆ ( )ˆ              n x yz ˆˆˆ  cos cos cos    ˆ ˆ n  R n  lexu@mail.xidian.edu.cn 8

矢量场的环量与旋度 ■回顾又算子： ·直角坐标系定义： v=+0+0 。梯度： gradu Yu u+ 矢量 ·散度： dnA=又.A 6A. 标量 8x 0z 旋度： rotd Vx 4 xa pa 20论 矢量 A lexu@mail.xidian.edu.cn 9

矢量场的环量与旋度  回顾▽算子： • 直角坐标系定义：  • 梯度： x y ˆ ˆ zˆ x y z       ˆ ˆ ˆ uuu gradu u x y z    • 梯度：     矢量 • 散度： gradu u x y z x y z        x y z A A A divA A          矢量 标量 xyz ˆ ˆ ˆ 散度 divA A x y z       标量 xyz rotA A x y z           • 旋度： 矢量 lexu@mail.xidian.edu.cn 9 x y z y A A A

矢量场的环量与旋度 ·旋度运算法则 1°VX(c)=cVxA(c-常数) 5°VxWw)=0 2°Vx(d±历=7x4士7x8 6°V.x方=0 3°7x(i=w7x+7wxa 7°vx7x1-W方-7a 4°V(dx)=o1.B-mti 其中V称为拉普拉斯算子，在直角坐标系中有 V2=77= a2,a2,∂2 h=0头+必品 2z2 +a V2a=2A+V249+242 lexu@mail.xidian.edu.cn 10

矢量场的环量与旋度 • 旋度运算法则 lexu@mail.xidian.edu.cn 10