西安电子科枝大学 电子工程学院P《P School of Electronic Engineering.Xidian University http://see .xidian.edu.cn n.edu.ch 场论与复变函数 xu(amail.x 主讲：徐乐 2011年11月6日星期日
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Review ac小 原函数与不定积分 。定理一 ·定理二 。定理三 lexu@mail.xidian.edu.cn
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原函数与不定积分 ■定理 edu. ·若函数f(z)在单连通域B内处处解 ·则积分Jcf()dz与连接起点与终点的路径C无关 ∫fed∫at=∫fe)d ■定理二 ·若函数f(2)在单连通域B内处处解析 ·则函数F)必为B内一个解析函数 ·且F'e月fa)Fe)=∫f5)a5 lexu@mail.xidian.edu.cn
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原函数与不定积分 原函数：若函数o(z)在区域B内的导数等于f(z) ·即p'(z)=f() ·则称p(z)为f(z)在区域B内的原函数 ■定理三 ·若函数f(2)在单连通域B内处处解析，G(z)为f(e)的 个原函数 f(2)dz=G(2)+c 若Zo,乙为单连通域B内的两点，则有 ∫fa)t=G(a)-G() lexu@mail.xidian.edu.cn
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柯西积分公式 ■柯西积分公式 an.edu.x ·若函数f(z)在区域D内解析 ·C为D内任何一条正向简单闭曲线 ·C的内部完全包含于D,z为C内任一点 则 f(o)= 1(2)d 2πi 02-20 lexu@mail.xidian.edu.cn
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柯西积分公式 ■ Notel:只要函数z)在简单闭曲线C所围成的区域及C上解 析，则柯西积分公式成立 ■Note2:柯西积分公式可以将解析函数在C内部任一点的值 用其在边界上的值表示出来 ■ote3:一旦解析函数在区域边界上的值确定了，则其在 区域内部任一点处的值也就确定了 Note4:利用柯西积分公式可以计算某些复变函数沿闭路 积分的一种方法 推论：解析函数在圆心处的值等于其在圆周上的平均值 0 lexu@mail.xidian.edu.cn
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lexu@mail.xidian.edu.c 第14讲复变函数积分（Ⅲ） 解析函数的高阶导 解析函数与调和函数 lexu@mail.xidian.edu.cn 7
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解析函数高阶导 解析函数 ·不仅有一阶导数，而且其各高阶导数均存在 ·解析函数的值可以用函数在边界上的值通过积 分来表示 ■实变可导函数 ·仅在某一区间上可导 其导数在该区间上不一定连续 。 高阶导的存在与是否有一阶导无必然联系 lexu@mail.xidian.edu.cn
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解析函数的高阶导 ■[定理]解析函数f2) ·其导数仍为解析函数 ian.edu. ·其n阶导数为 n "(3)月 f(2) (d ■C为函数解析区域D内绕z,的任一条正向简单闭曲线 ■C的内部全含于D lexu@mail.xidian.edu.cn
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解析函数的高阶导 ■「证明]采用数学归纳法证明 f(2)月 f(z -dz 柯西 设z为D内任意一点 积分 公式 1 f() f(2+△2)= 2ic2-20-△2 ■当n=1时 f八(z)=im f(zo+Az)Hf(zo) 2→0 △z f②证 -20 f(z) lexu@mail.xidian.edu.cn 10
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