场论与复变函数 复变函数篇 主讲：徐乐
场论与复变函数 复变函数篇 主讲：徐乐
Review 简单曲线的复数表示 冬区域 冬复变函数 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 Review 简单曲线的复数表示 区域 复变函数
简单曲线的复数表示 冬例1用复数表示复平面上两点z1、z2之间的距离d d=z1-22| 2 21一2 例2用复数表示复平面上以z为圆心，为半径的 圆方程 |z-20=r lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 简单曲线的复数表示 例1 用复数表示复平面上两点z1 、 z2之间的距离d 例2 用复数表示复平面上以z0为圆心，r为半径的 圆方程 1 2 dzz = − | | 1 2 z − z y x 0 2 z 1z 0 | | zz r − = y x 0 0 z z
简单曲线的复数表示 例3椭圆(z1、z2为焦点，2为长轴) ■[解]椭圆：到两点的距离之和为常数 |z-z1|+z-22=2a 例4双曲线(z1、z2为焦点，2为实轴) ·[解]双曲线：到两点的距离之差为常数 |z-21|-|z-22=±20 冬例5抛物线（亿为焦点，=x为准线） ·[解]抛物线：到定点与定直线的距离相等 lexu@mail.xidian.edu.cn 2-20=(x-x)
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 简单曲线的复数表示 例3 椭圆(z1、z2为焦点，2a为长轴) [解] 椭圆：到两点的距离之和为常数 例4 双曲线(z1、z2为焦点，2a为实轴) [解] 双曲线：到两点的距离之差为常数 例5 抛物线(z0为焦点，z=xl 为准线) [解] 抛物线：到定点与定直线的距离相等 1 2 | | | |2 zz zz a − +− = 1 2 | || | 2 zz zz a − − − =± 0 | |( )l zz xx − =± −
区域 必领域：z-zKδ 冬满足以下两个条件的平面点集D称为区域 ·D是一个开集 ·D是连通的 ·D内任意两点都可以用属于D的折线连接起来 冬闭区域（闭域） 边器 ·区域D与其边界一起构成 必有界、无界 邻 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 区域 领域：|z - z0|< δ 满足以下两个条件的平面点集D称为区域 D是一个开集 D是连通的 • D内任意两点都可以用属于D的折线连接起来 闭区域(闭域) 区域D与其边界一起构成 有界、无界
区域 冬连续曲线 ·x()、y)为连续实变函数 ·光滑曲线：x'、y)连续，且对于任意t,有 冬简单曲线 [x'(t)]2+[y'(t)]2≠0 ·没有重点的连续曲线称为简单曲线或若尔当曲 线(Jardan) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 6
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6 区域 连续曲线 x(t)、y(t)为连续实变函数 光滑曲线： x’(t)、y’(t)连续，且对于任意t，有 简单曲线 没有重点的连续曲线称为简单曲线或若尔当曲 线(Jardan) 2 2 [ '( )] [ '( )] 0 xt yt + ≠
复变函数 冬复变函数 w=f(z) Z=x+iy w=u+iv z∈G w∈G ·若无特别声明，本课程所过论函数均为单值函数 ·函数fa将z平面上的点集G变到w平面上的点集G*,这 样的映射称为w=f亿构成的映射 ·如果G中的点z映射成G*中的点w ·称为w的原象 ·w称为z的象（映像） lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7 复变函数 复变函数 若无特别声明，本课程所讨论函数均为单值函数 函数f (z)将z平面上的点集G变到w平面上的点集G*，这 样的映射称为w=f (z)构成的映射 如果G中的点z映射成G*中的点w • z称为w的原象 • w称为z的象（映像） w fz = ( ) z x iy z G = + ∈ * w u iv w G = + ∈
复变函数 冬函数的极限 ·w=f)定义在的去心邻域00，相应地必有一正数δ（ε） ·使得当0<k-z<δ时，有f-A|< ·则称A为当z趋向于z,时的极限，记作 lim f(z)=A ·或记作当z时，f(似→A y 2→Z的方式任意 lexu@mail.xidian.edu.cn 阵轮 8
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8 复变函数 函数的极限 w=f (z)定义在的去心邻域00，相应地必有一正数δ(ε) 使得当0 < |z - z0| <δ时，有| f (z)-A | <ε 则称A为当z趋向于z0时的极限，记作 或记作当 z → z0 时， f (z) → A 0 lim ( ) z z fz A → = x y u v δ z z0 ε f (z) A z → z0的方式任意
复变函数 函数的连续性 ·若limf(z)=f(z),则f()在zo连续 ·若fa)在区域D内处处连续，则f()在D内连续 ·f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在处连续+yo ① u(x,y)与在处连续xo,yo) ·在z连续的两个函数的四则运算在z处仍连续 ·复合函数的连续性质 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 9
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9 复变函数 函数的连续性 若 ，则 f (z) 在 z0 连续 若f (z) 在区域D内处处连续，则 f (z)在D内连续 在z0连续的两个函数的四则运算在z0处仍连续 复合函数的连续性质 0 0 lim ( ) ( ) z z fz fz → = 00 0 0 0 () (, ) (, ) (, ) (, ) ( , ) f z u x y iv x y z x iy uxy vxy x y = + =+ 在处连续 与在处连续
画 解析函数(I) 复变函数的导数 冬复变函数的微分 解析函数 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 。。。。。。。10
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 10 解析函数（I） 复变函数的导数 复变函数的微分 解析函数