Review 场论导论 冬矢量场的矢量线 场论与复变函数 数量场的等值面与等值线 单值、连续且具 数量场的方向导数与梯度 有一阶连续偏导 主讲：徐乐 lexwlamail cidian.edu.en 。。。。。,,场论与复变函数。。。。。。· 矢量场 量线 冬矢量场 ÷矢量线 ■M为矢量场中的任意一点；A=(M) ◆ 曲线在其上每一点处都与该点的矢 量A相切： ■矢量场中分布在各点处的矢量是场点的函数 ·矢量线方程： 亚也 A.A A. ■直角坐标系下，矢量场可表示为： ·Note:A不为0，且其3个分量单值、 连续且具有一阶违续偏导数时，矢 =A(x.y.2)i 量线存在且互不相交； ■矢量面：通过曲线C的失量线构成的 +A(x,y.z)j 曲面： +A.(x,y,2) ·矢量管：曲线C封闭时的失量面。 exula mail.xidian.edu.cn 场论与复变函数。。··。·· ,场论与复变函数。。··。·
等值面 梯度 等值面 梯度性质 在数量场中，使函数取相同数值的所有点组成的曲面 ■梯度与方向导数：数量场在一点沿某方向的方向导数 称为该数量场的等值面 等于梯度在该方向的投影： ■Note1:函数单值且各连续偏导数不全为0，则等值面 ■梯度与等值面：数量场中一点处的梯度垂直于该点处 必存在。 的等值面，且指向数量增大一方。 ■Note2:c取遍所有可能值时，这族等值面充满数量场 所在空间，且这族等值面两两互不相交。 Cu ■Note3:数量场中的每一点都有一个等值面通过，且函 or-gradu. 数单值，故每一个点均有且仅有一个等值面通过 fexulamall.xidian.edu.cn ····场论与复变数.··。·· lexu@mail_cidion.edu.cn 梯度 场论 例求曲面2xz2-3y-4x=7在其上点M1,-1,2) 处的切平面方程 数量场 5 [解] ■该曲面是数量场u=2z2-3-4的一张等值面； 等值面 梯度 ■由梯度性质可知点M处的法向方向与梯度同向 gradu ly=(2z2-3y)i-3xj+4xzk ly=7i-3j+8k 矢量场 ■由此可得切平面方程 采用矢量线 分析工具 7(x-1)-3y+1)+8(z-2)=0 描述 7 →7x-3y+8z=26 fexulmail.xidian.edu.en ·，··。·场论与复攻商数······· 。··。·场论与复变数。····
第3讲矢量场分析 矢量场的通量与散度 冬矢量场的通量与散度： 。有向曲面 ■矢量场的通量 ·为区分曲面两侧，常规定其一侧为曲面的正侧，另一面为其负侧。 这种取定了正侧的曲面称为有向曲面； ■矢量场的散度 ·对于封闭画面，习惯上总是取其外侧为正侧。 必矢量场的环量与旋度： 必流量 ·设S为流速场M中一有向曲面，考虑单位时间流体向正侧穿过S的 ■失量场的环量 流量Q。(正向指向S正侧) ·矢量场的旋度 在S上取s,s足够小以至于s上各点处曲面法向及流体流矢均与M 处相同。流体穿过s的流量为： dQ=vd=(位，)ds=下，ds ·单位时间内沿正向穿过s的总流量为 0=∬№=∬.s=∬ds ds fexulamail.xidian.edu.cn 场论与复变函数.。。·。。· 。数学土把这种形式的曲面积分称为通场论与复变通数 矢量场的通量与散度 矢量场的通量与散度 冬曲面正向 必通量 。将曲面的一个面元用失量S来表示，其方向取为面元 ■将曲面S各面元上的Ads相加，它表示矢量场4穿过整 的法线方向，其大小为S,即 个曲面S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分 ds=nds ■设A(0为一失量场，沿其中有向曲面S正（负）侧曲面积 分称为失量场4M向s正（负）侧穿过曲面S的通量。 ■是面元法线方向的单位矢量。 ·如果曲面是一个开曲面，则 ·开曲面：设这个开曲面是由封闭曲线所围成的，则选定绕行 的方向后，沿绕行方向按右手娜旋的舞指方向就是的方向 业=，Ad=,Aids ·闭曲面：外侧为的方向 ·如果曲面是一个闭曲面，则 y=ΦAd5 .xidian.edu.cn 场论与复变函数。。。·。·。 场论与复变函数。。·····
矢量场的通量与散度 矢量场的通量与散度 Note1:通量可以叠加； 冬物理意义 a=2 Φ=2中，=∬A西 ■开曲面 ·当Q>0:流向正侧流量多于流向负侧流量： ■Note2:直角坐标系中： ·当Q0:穿出的通量大于穿入的通量，有正源： ·当Q0) 解 解 =∬F =川.（矢径与面元法向平行且同向） =F+∬r5(S,上矢径与面元垂直 =∬d =∬F.s=∬ddk+dt+z =RJJds =Hd=Hjd=H,πH=πH =R·2πR =2πR ,场论与复变函······
矢量场的通量与散度 矢量场的通量与散度 例3原点处点电荷在其周围产生的电场中，任一点 全局特性 局部特性 处的电位移失量D=9一( √+2+1 冬矢量场的散 求穿过以原点为球心，F为半径球面的电通量。 度 曲面内有 源在s内 正源或负源 分布情况及 解] ·点处强弱 9 9 ■为表征矢量 场内一点处 闭合曲面 =9 通量正负 源的强弱而 散度 s内产生电通量 9为正电荷，>0，为正源： 引入散度的 的源即为电荷g g为负电荷，0—该点有正源： divA<0一 一该点有负源： 极限存在，则称之为矢量场在点M处的散度。记为 div A=0- -该点无源： ∯因 △2 dnA=mA△业 ▣Note4: diA=O的矢量场称为无源场。 fexula mail.xidian.edu.cn 场论与复变函数。。·。。· 。。·。场论与复变函数。。··。·
矢量场的通量与散度 矢量场的通量与散度 [定理」] (散度在直系中的表达式)在直角坐标系中，矢 冬回顾V算子 量场：A=4,(xy+4(护+4x八)在在一 点处的散度为：d-以+0以，4 bx by dz ”证 △p=∯Ad压=∯A小d+A,ddb+A,dkdy 器0周 由 曲面积分 ■失量性 △p=++4 奥氏公式： ■微分性 aMLa1连续 散度的哈密尔顿算子表示： x'y证 由中值定理 等典尝学兰 必有一点M'∈△V 血器尝是v -△VM divA.04 0d. M→M fexal@mall.xidian.edu.cn 场论与复变微.。。···· 而安室子科很大姿 子工程院⊕ http://see.xidian.edu.cn 矢量场的通量与散度 冬推论1川奥氏公式的矢量形式： Let's have a rest! 人触+4+-尝号 e∯4=∬pAd ÷推论2引若在封闭曲面s内处处有散度为零，则： p=∯Ads=0 。···,场论与复变函数·。····《4
矢量场的通量与散度 矢量场的通量与散度 ÷椎论3)在矢量场中，若仅在某些点（或区域）上散度不 散度运算性质 为零或不存在，而其它点上散度都为零，则穿出包围这些 点（或区域）的任一闭曲面的通量都相等。 1°，V(c=cV,A,c为常数 2°，V(A±)=7，A±V,B 冬证] 3°，V(u=Vu-A+uV,A ·作区域R包圈所有散度不为零或不存在的点： 作互不相交闭曲面S,与S,其外法向分别为n与m2: uA=u4+u4,+u42→V.(u0=0 4)+ 4) ”Ω内散度为零→A5=0 + ∬i本+∬aid=0→川A-∬a,=0 规则3 的证明 ∬a=∬as, =nV·A+Vu~A fexulamall.xidian.edu.cn 场论与复变函数。。··。··· lexwlamail cidian.eduen 。。。。。,场论当复变函数。 矢量场的通量与散度 矢量场的通量与散度 ÷例4原点处点电荷q产生的电位移为D=9 例5 产=xi+yj+zk,r=F求：使7[Vfr]=0的f() 求V,D 冬解 vv1=-fo)马 冬解 0++利 0±r2-3x2 1≠0 -vo54rov白 aD q r3x 6D.q r3y aD.q r-32 -m子，→学 4πr4Fr4r =rm+2fr)=0 v.D-0+0+0=43r2-3x2+r+ →无源场 f")=-2/r Note::穿过任一包围q的封闭面的电通量： 令p(r)=f"(r) f(r)=cr+c2 p.-∯D.d5=g 则迎.-2山 p r .xidian.edu.cn 场论与复变函数。····· lexu@mail.cidian.edu.cn 。·。。场论与复变函数··。··。·
矢量场的通量与散度 矢量场的通量与散度 ■通量矢量场A沿其中有向曲面一侧的曲面积分： 散度场中一点处通量对体积的变化率，即穿过该点处 Φ=川a西 单位体积的通量一源的强度； ■Note1:通量可以叠加： 到风 ∬as 00朝 ■Note1:散度为标量； ■Note2:直角坐标系中： ■Note2:直角坐标系下： diva=OP 00.OR A=P(x,y,z(x,y,z)y+R(x.y,z) D=川As=j∬Pddk+Otd+Rdd ■Note3:奥氏公式： ∯A.s=∬dhan 场论与复变函数.。····。 lexulaimail cidian.edu.cn ,场论与复变用数。 矢量场的环量与旋度 矢量场的环量与旋度 必环量 环量的物理概念： ■定义：设有矢量扬，则沿场中某一封闭的有向曲线的 力学： 曲线积分「=少A·称为此矢量场按积分所取 ·当4为力场F时，环量表示在F作用下，质点沿曲线！ 运动一周时，场力对它所做的功。 方向沿曲线的环量。（其中dⅡ=Tdl) ■直角坐标系： w=∮F.dl ■电磁学 A=A(x,y,z)x+A,(xy,z）+A(比，yz ·当A为磁场强度/时，环量表示沿与积分路线成右手 dl=di cosa+dlcos阝+dlcosy产=drt+dp+dz2 螺旋关系的方向通过以为边界的曲面的总电流，即 就是安培环路定律。 「=④di=重Ad+A山+A I=∮A (mail.xidian.edu.en ，。···场论与复函数······
矢量场的环量与旋度 矢量场的环量与旋度 例6求矢量A仁-'e+xe,+ce.(c是常数)沿曲线(-2)2+y2=R巴， 冬环量面密度 =0的环量 ■以电磁学为例，磁场强度环量表示通过磁场中以为边界的 ÷解1由于在曲线上：=0，所以d=0 曲面s的总电流强度： 「=∮Adl=④←yd+xd) ■不足以了解磁扬中任一点M处沿着某一方向的电流密度。 --RsinOd(2+Rcos)++Rcosd(Rsin0) ·为研究矢量场的局部特征问题，引入环量面密度。 冬定义 R sindo"Ro0 ■设M为矢量场中一点，为从M出发的一射线，在M处取一 -[R(sin0+2Rcos0 小面元与垂直，敢其周界△之正向与成右手螺旋关系。 当4沿△之正向的环量与面积△s之比在△s无限缩向M点时 -"(R+2Rcos0do 的极限存在，则称之为矢量A在M点处沿n的环量面密度。 =2πR 记为：4 乎Adl M AS 场论与复变函数······ ,场论与复变函数 矢量场的环量与旋度 矢量场的环量与旋度 环量面密度在直角坐标系下的表示形式： 旋度 A=A,(x,y,z)元+A,(x,八，z)+A(x,只，22 利用斯托克斯公式将 回顾梯度的引出，为研究数量场在空间一点处特性， △r=fidi=fAk+4,+Ad正 阔曲线积分转化成为 在该点处沿所有方向的方向导数中寻找最大的方向及 曲面积分 其最大值，通过将方向导数公式中与方向有关的向量 Ar=f(ed 0n. -)dxdz + 与数量场在该点处的数值关系得到了梯度的概念。 ·再看环量面密度计算公式： 中值定理 .d)cos? 8A.OA z )cosa+ osB+4-)os7 cosax+cos Bi+cosy2 H=R.f 场论与复变函数。。·。。 exu@mail.cidian.edu.en 场论与复变函数。。··。·
矢量场的环量与旋度 矢量场的环量与旋度 Notc1:R仅与点M处的失量场有关，而与该环量面密 度的方向无关； 回顾V算子： ·Note2:仅与点M处环量面密度的方向有关，而与矢 量场无关： :直角坐标系定义：甲是+号+意 ·Note3:R是4的最大值，且是矢量场在该点的环 量面密度最大方向。 ■梯度： gradu Vu 0++ z 矢量 定义： ■在矢量场A中的一点M处，其方向为M处4的环量面密 ■散度： da=v-+44 标量 度最大的方向，其模恰等于此最大环量面密度的矢量， 称为天量A在M点处的旋度，记作rotA。 ■显见： o=-+遮-是i+4-4E ■旋度： 矢量 场论与复变函数，·····。 lexul@mail.xidian.edu.en ,场论与复没通数 。。✉ 矢量场的环量与旋度 矢量场的环量与旋度 ·旋度运算法则 例7求失量场A=x2-y)+y(x-z)+2y-x2在点 M(1,0,1)处的旋度，及沿万=2+6+32方向的 1°Vx(e=cV×A(—常数) 5V×(V)=0 环量面密度。 2"Vx(A±B=VxA±V×B 6了(×A)=0 3°V×(u)=r7×万+Vr×月 7°V×V×A=V(N,-V2A 解 2 4°V(AxB)=mA,B-Ao8 V×A 0 y ++ 其中V称为拉普拉斯算子，在直角坐标系中有 x(z-y)y(x-z)=(y-x) w尝杂 =(z+y)元+(x+z)+(y+x) 72A=7A47A+7A, V×=+2+ lexu(imail.xidian.edui.cn ····场论与复变函数······ 地r@maln,tdn······场论与复变用。······