第8章用向量空间解方程组 ·8.1向量和向量空间 二维空间R2中的向量用两个沿列向的元素表示 u= -u=[2;4];V=[3;1]; 2 -plot([2,3],[4,-1],'x);hold on 0 -%若用中的子程序drawvec, 2 drawvec(u);hold on 5-4-3-21012345 drawvec(v,'g');hold off
第8章 用向量空间解方程组 • 8.1 向量和向量空间 二维空间R2中的向量用两个沿列向的元素表示 – u=[2;4]; v=[3;-1]; – plot([2,3],[4,−1],’x’);hold on – % 若用中的子程序drawvec， – drawvec(u);hold on – drawvec(v,’g’);hold off 1 1 2 2 2 3 , , 4 1 u v u v = = = = − u v
二维向量张成的空间 平面上的任何一点[w1w2]是不是一定能用u和v的线性 组合来实现？即是不是一定能找到一组常数[C1,c2],使 得 f[[l c,C2取所有可能的值，得到的w的集合就是u和v张成的 子空间，在所给的u和v下，它是一个平面。 0 若和v两个向量的各元素成简单的比例关系，合成的 向量只能在一根直线上，不可能张成整个二维平面。 这种情况下，称这两个向量和v是线性相关的
二维向量张成的空间 • 平面上的任何一点[w1 ;w2 ]是不是一定能用u和v的线性 组合来实现？即是不是一定能找到一组常数[c1 ,c2 ]，使 得 • c1 ,c2取所有可能的值，得到的w的集合就是u和v张成的 子空间，在所给的u和v下，它是一个平面。 • 若u和v两个向量的各元素成简单的比例关系，合成的 向量只能在一根直线上，不可能张成整个二维平面。 这种情况下，称这两个向量u和v是线性相关的。 1 1 2 2 2 3 4 1 w c c w + = −
2.三维空间中的向量 。1 若yy,和y都是三维空间的列向量。可以用空间坐 标中的三个点，或从坐标原点引向这三点的箭头 来表示。用矩阵代数表示如下 -3 1 -7 0 ·如果三个基本向量之间线性无关，那么它们的线 性组合可以覆盖（张成）整个三维空间。如果三 个向量共面，即相关，就不能张成三维空间。判 断三个向量的线性相关性，可用行列式
2．三维空间中的向量 • 若v1 ,v2和v3都是三维空间的列向量。可以用空间坐 标中的三个点，或从坐标原点引向这三点的箭头 来表示。用矩阵代数表示如下 • 如果三个基本向量之间线性无关，那么它们的线 性组合可以覆盖（张成）整个三维空间。如果三 个向量共面，即相关，就不能张成三维空间。判 断三个向量的线性相关性，可用行列式。 1 5 3 1 , 4 , 1 , 2 7 0 − = − = − = − − v v v 1 2 3
三维空间向量的相关性 ·即看三向量并列所得矩阵的行列式 15-3 A=[,2,3]=-1-41g -2-70 ·det(A)=0相关 ● det(A)0不相关 行列式的几何意义：在二维是两个向量组成的平 行四边形面积，在三维是三个向量组成的平行 六面体的体积
三维空间向量的相关性 • 即看三向量并列所得矩阵的行列式 • det(A)=0 相关 • det(A)≠0 不相关 • 行列式的几何意义:在二维是两个向量组成的平 行四边形面积，在三维是三个向量组成的平行 六面体的体积。 153 1 4 1 , 2 7 0 − = = − − − − A v ,v ,v 1 2 3
行列式的几何意义 二维 (1,v2) ujv2 0) ·三维 a2+{al,a3} 张成的平面 det(A)=右图平行六 面体的体积 a1,a3} 张成的平 0 a
行列式的几何意义 • 二维 • 三维 det(A)=右图平行六 面体的体积 (v1, v2) (u1,0) a2+a1,a3 张成的平面 a1 ,a3 张成的平 面 a3 a2 0 a1 1 1 1 2 2 det 0 u v D u v v = =
n维向量的相关性 。 在进入三维以上的空间时，已经没有可 与面积、体积直接相当的概念可用了， 所以采用了秩的概念。如果A的行列式为 零，也就是它的秩r小于n时，说明这n个 向量是线性相关的。 秩的概念也概括了面积存在(=2)和体 积存在(=3)的意义，因此，它是更高 度的抽象
n维向量的相关性 • 在进入三维以上的空间时，已经没有可 与面积、体积直接相当的概念可用了， 所以采用了秩的概念。如果A的行列式为 零，也就是它的秩r小于n时，说明这n个 向量是线性相关的。 • 秩的概念也概括了面积存在（r=2）和体 积存在（r=3）的意义，因此，它是更高 度的抽象
8.2向量空间和基向量 ·若个向量是线性无关的，则它们的线性组合的 全体V就构成了r维空间Rr。如果它不是空集， 则V称为向量空间。生成V的r个线性无关的向 量v称为基向量或基(Basis)。 。} 当r=n时，给定的n个向量就是一组基。如果r<n, 那就要在n个向量中选出r个线性无关的向量 。 用秩的概念还无法判定哪些向量是线性无关的， 这时又要藉助于把矩阵简化为阶梯形式的方法
8.2 向量空间和基向量 • 若r个向量是线性无关的，则它们的线性组合的 全体V就构成了r维空间Rr 。如果它不是空集， 则V称为向量空间。生成V的r个线性无关的向 量v称为基向量或基（Basis）。 • 当r=n时，给定的n个向量就是一组基。如果rn， 那就要在n个向量中选出r个线性无关的向量。 用秩的概念还无法判定哪些向量是线性无关的， 这时又要藉助于把矩阵简化为阶梯形式的方法
例8.2求四个五维向量的子空间 4 -5 -4 ·这四个向量组成的矩 0 -3 0 阵如右，对它进行行 A= -2 1 0 -5 3 阶梯简化。程序为： -1 -1 A=[4,-5,-4,-1,0,-3,0,1;-2,1,2,0;-5,4,5,3;-1,4,1,-1] [UO,ip]=rref(A) 1 0 得到ip=1,2,4 0 0 其三个枢轴列对应的就是 U0= 0 0 三个线性无关的列向量。 0 0 0 0 0 0
例8.2 求四个五维向量的子空间 • 这四个向量组成的矩 阵如右，对它进行行 阶梯简化。程序为： A=[4,−5,−4,−1;0,−3,0,1;−2,1,2,0;−5,4,5,3;−1,4,1,−1] [U0,ip]=rref(A) 得到 ip=1,2,4 其三个枢轴列对应的就是 三个线性无关的列向量。 4 5 4 1 0 3 0 1 2 1 2 0 5 4 5 3 1 4 1 1 − − − − = − − − − A 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 − = U0
三个向量空间位置演示程序 三维空间中，为了观察三个向量的空间关系， ATLAST:手册还提供了一个演示程序 viewsubspaces(u,y,w),它用蓝色直线显示向量u, 同时用红色显示v和w所组张成的平行四边形平 面，画在同一张立体图上。例如： u=[-1;1;8]v=[5;-4,7],w=[-3,1;-5]; viewsubspaces(u,v,w),grid on 三个向量的起点都是x=y=z=0的原点。要看清其 几何意义，还是需要一定的空间想象力
三个向量空间位置演示程序 • 三维空间中，为了观察三个向量的空间关系， ATLAST手册还提供了一个演示程序 viewsubspaces(u,v,w)，它用蓝色直线显示向量u， 同时用红色显示v和w所组张成的平行四边形平 面，画在同一张立体图上。例如： u=[-1;1;8];v=[5;-4;7];w=[-3;1;-5]; viewsubspaces(u,v,w),grid on 三个向量的起点都是x=y=z=0的原点。要看清其 几何意义，还是需要一定的空间想象力
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三个向量的空间关系