《数字信号处理教程 ATLAB释义与实现》 部分题解 题1-3 一组电压值为x=[0:0.5:4],经过一个把-5~5伏正电压转换为12位（包括符 号位)二进制的AD转换器，求输出的量化电压的二进制代码，并求经D/A转换后的量化电压 值。 解：解题的程序为： =[0:0.5:41 名输入量数组 y=bqtize(x,11,5) 量化后输出 de1tax=5*2^-11 号量化步长值 yc=round(y/deltax) 此输出对应的量化单位数（十进制） vb=dec2bin(yc,12) 多此输出对应的量化单位数(12位二进制) 题2-3.令x(m =[1,-2,4,6,-5,8,101 产生并画出下列序列的样本 x1(n)=3x(n+2)+x(n-4)-2x(n) 解：解题的程序为： x=[1,-2,4,6,-5,8,10];nx=[1:7] [yl,ny1]=seashift(x,nx,-2) 号y1(n)=x(n+2) [y2,ny2]-seqshift (x,nx,4) &v2(n)=x(n-4) [y3,ny31=seqadd(3*y1,ny1,y2,ny2) 号y3(a)=3x(n-2)+x(n-4) [x1,nx1]=segadd(y3,ny3,-2*x,nx) 号x1(n)=y3(n)-2x(n) stem(nx1,x1) 答案×1=3-61022-231241-18-166-5810 nx1=「-1：111 题2-6 一个特定的线性和时不变系统，描述它的差分方程如下： y(n)+0.1y(n-1)-0.06y(n-2)=xn)-2x(n-1) 求系统脉冲响应的前10个样本。 解：程序为 =[1,0.1,0.061b=[1,-21i x=impseq(0,0,10) h=filter(b,a,x),stem(h) hl=impz (b,a) 程序运行的结果为：h= 1.0000-2.10000.15000.1110-0.0201 -0.0046 0.00170.0001-0.00010.00000.0000 =1.0000-2.1000 0.1500 1110 0.0201 0.00460.001 可见pz函数自动甩掉了数值很小的脉冲响应尾部数据，只取了8个样本。 题2-9(a).设已知一个因果的实序列x(m)在n≥0区域的偶序列部分xe(m),试求出原实序 列x()。如果已知其奇序列部分xo()。也能得知原序列吗？ ).如果原序列是 一个因果的复 子列x(回)，能不能同样做到？ 解：(a).由于因果序列在n≥0区域的x(-n)-0,故xe(n)=[x(n)+x(-n)]/2=x(n)/2 即x(n)=2xe(n)。同样，如果已知其奇序列部分xo(m),根据x(n)=[x()-x(-n)]/2=
《数字信号处理教程——MATLAB 释义与实现》 部分题解 题 1-3. 一组电压值为 x=[0:0.5:4]，经过一个把-5～5 伏正电压转换为 12 位（包括符 号位）二进制的 A/D 转换器，求输出的量化电压的二进制代码，并求经 D/A 转换后的量化电压 值。 解：解题的程序为： x=[0:0.5:4]; % 输入量数组 y=bqtize(x,11,5) % 量化后输出 deltax=5*2^-11 % 量化步长值 yc=round(y/deltax) % 此输出对应的量化单位数（十进制） yb=dec2bin(yc,12) % 此输出对应的量化单位数（12 位二进制） 题 2-3. 令 x(n) = [1,-2,4,6,-5,8,10]. 产生并画出下列序列的样本. x1(n)=3x(n+2)+x(n-4)-2x(n) 解：解题的程序为： x = [1,-2,4,6,-5,8,10]; nx=[1:7] [y1,ny1]=seqshift(x,nx,-2) % y1(n)=x(n+2) [y2,ny2]=seqshift(x,nx,4) % y2(n)=x(n-4) [y3,ny3]=seqadd(3*y1,ny1,y2,ny2) % y3(n)=3x(n-2)+x(n-4) [x1,nx1]=seqadd(y3,ny3,-2*x,nx) % x1(n)=y3(n)-2x(n) stem(nx1,x1) 答案 x1= 3 -6 10 22 -23 12 41 -18 -16 6 -5 8 10 nx1= [-1:11] 题 2-6 一个特定的线性和时不变系统,描述它的差分方程如下: y(n)+0.1y(n-1)-0.06y(n-2) = x(n)-2x(n-1) 求系统脉冲响应的前 10 个样本。 解：程序为 a=[1,0.1,0.06]; b=[1,-2]; x=impseq(0,0,10); h=filter(b,a,x),stem(h) h1=impz(b,a) 程序运行的结果为：h = 1.0000 -2.1000 0.1500 0.1110 -0.0201 -0.0046 0.0017 0.0001 -0.0001 0.0000 0.0000 h1’ = 1.0000 -2.1000 0.1500 0.1110 -0.0201 -0.0046 0.0017 可见 impz 函数自动甩掉了数值很小的脉冲响应尾部数据，只取了 8 个样本。 题 2-9 (a). 设已知一个因果的实序列 x(n)在 n≥0 区域的偶序列部分 xe(n),试求出原实序 列 x(n)。如果已知其奇序列部分 xo(n)，也能得知原序列吗？ (b). 如果原序列是一个因果的复序列 x(n)，能不能同样做到？ 解：(a).由于因果序列在 n≥0 区域的 x(-n)=0, 故 xe(n)= [x(n)+x(-n)]/2= x(n)/2， 即 x(n)=2xe(n)。同样,如果已知其奇序列部分 xo(n)，根据 xo(n)= [x(n)-x(-n)]/2=
x(n)/2,也可以得知x(n)=2xo(n)。 (b).对于因果的复序列，同样有在n≥0区域的x(-n=0及x,(m)=,()+x(-,所以(a) 的结果仍然有效 题2-12.令x(n)=(0.8)nu(n) (a).解析地求xm)⑧xm (b).用cov函数求出x)©xm)的前20个样本.将结果与(a)部分的结果相比较。 解：(a)用解析法计算 )=m®m)=立mn-m=立0.38r038y=立08r=a+1X08y 用MATLAB计算此相关函数序列，对n=0:50,可计算如下： n=0:50:y=(n+1).*(0.8).n 结果为 y=1.00001.60001.92002.04802.04801.96611.8350 1.67771.50991.34221.18111.03080.89340.7697. (b)用conv函数计算 n=0:50;x=(0.8).An;y1=conv(x,x) 结果为 y1=1.00001.60001.92002.04802.04801.96611.8350 1.67771.50991.34221.18111.03080.89340.7697 与y完全相同。 题2-15.证明如下的关系式：6m=(1-:)4(m,并说明(1-z为何相当于一阶差分运算 解：用图解法，MATLAB程序如下 mu=stepseq(0.0.20): %mu(n)并作图 subplot(3.1.1).stem([0:20].mu) %mul(n)=zmu(n)=mu(n-l)并作图 mul=ste seq1,0,20 subplot(3.1.2).stem([0:20].mu1) deltamu=mu-mul%求两者之差并作图 subplot (3.1.3). stem([0:20],deltamu) 从图上可知deltamu是单位脉冲函数」 变量x(的一阶差分的定义为de1tax=x()-xm-1).将x(-1)=zx()代入上式，得到 delta_x=x(n)-x(n-1)=(1-z)x(n) 题2-18一个特定的线性和时不变系统，描述它的差分方程如下： y(n)-0.5y(n-1)+0.25y(n-2)=x(n)+2x(n-1)+x(n-3) (a).确定系统的稳定性 (b).在0≤≤100之间求得并画出系统的脉冲响应.从脉冲响应确定系统的稳定性 (c).如果此系统的输入为x(n)=[5+3cos(0.2nn)+4sin(0.6rn)]u(n).在0≤ n≤200间求出y(n)的响应
x(n)/2,也可以得知 x(n)=2xo(n)。 (b). 对于因果的复序列，同样有在 n≥0 区域的 x(-n)=0 及 [ ( ) ( )] 2 1 ( ) * x n x n x n e = + − ，所以(a) 的结果仍然有效。 题 2-12. 令 x(n) = (0.8)n u(n) (a). 解析地求 x(n)⊗ x(n) (b). 用 conv 函数求出 x(n)⊗ x(n) 的前 20 个样本.将结果与(a)部分的结果相比较。 解：(a)用解析法计算 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0.8) (0.8) (0.8) ( 1)(0.8) n n m n m n m m m y n x n x n x m x n m n ∞ − =−∞ = = =⊗= ∑ ∑ − = = ∑ = + n ,并说明(1-z-1)为何相当于一阶差分运算。 并作图 ) 差并作图 mu) 位脉冲函数。 x(n)-x(n-1).将 x(n-1)=z-1x(n)代入上式，得到： 用 MATLAB 计算此相关函数序列，对 n=0:50,可计算如下： n=0:50;y=(n+1).*(0.8).^n 结果为： y= 1.0000 1.6000 1.9200 2.0480 2.0480 1.9661 1.8350 1.6777 1.5099 1.3422 1.1811 1.0308 0.8934 0.7697 … (b)用 conv 函数计算 n=0:50;x=(0.8).^n;y1=conv(x,x) 结果为： y1= 1.0000 1.6000 1.9200 2.0480 2.0480 1.9661 1.8350 1.6777 1.5099 1.3422 1.1811 1.0308 0.8934 0.7697 … 与 y 完全相同。 题 2-15 . 证明如下的关系式： ) 解：用图解法，MATLAB 程序如下： ( ) (1 ) ( 1 δ n z µ n − = − mu=stepseq(0,0,20); % mu(n) 并作图 subplot(3,1,1),stem([0:20],mu) % mu1(n)= z -1 mu(n)=mu(n-1) mu1=stepseq(1,0,20); subplot(3,1,2),stem([0:20],mu1 deltamu=mu-mu1 % 求两者之 subplot(3,1,3), stem([0:20],delta 从图上可知 deltamu 是单 变量 x(n)的一阶差分的定义为 delta_x= delta_x=x(n)-x(n-1)=(1-z )x(n) 2-18 一个特定的线性和时不变系统,描述它的差分方程如下: 得并画出系统的脉冲响应.从脉冲响应确定系统的稳定性. ≤ n≤ 题 y(n)-0.5y(n-1)+0.25y(n-2) = x(n)+2x(n-1)+x(n-3) (a). 确定系统的稳定性 (b). 在 0≤n≤100 之间求 (c). 如果此系统的输入为 x(n) = [5+3cos(0.2πn)+4sin(0.6πn)]u(n). 在 0 200 间求出 y(n)的响应
解：解题的程序为： a=[1,-0.5,0.25]:b=[1,2,0,11: p=roots(a) h=filter(b,a,impseq(0,0,10)),stem(h) n=0:20 x=5+3*c0s(0,2*pi*n)+4*sin(0.6*pi*n); y=filter(b,a,x) (a).根据系统极点p(1)=0.2500+0.4330i,p(2)=0.2500-0.4330i,在单位 圆之内，知系统是稳定的 (b).根据h的 也可以知道系统是稳定的 (C】·y 8.0000 31.231339.6541 28.8929 25.5850 23.8995 10.0441 9.3859 25.3083 29.2556 29.9705 43.1808 43.7591 27.9580 24.0913 23.3864 10.1609 9.5726 25.3724 29.2410 29.9471 题3-3用解析法求出以下各序列的DTFT.用MATLAB画出X(e0)的幅值和相角曲线。 (a).xm）=508)”() (6).x00=20.95)+24m-2) (c).xn)=n0.6)”4m) (d).x(n)=5(-0.8)"cos(0.1 m)(m) (e).x=(n+1-0.8)-2un-2) 解： ().(e)=5(0.8em(0.)=1-08m 5 计算DTFT的程序为 w=0:0.1:2*pi:Xa=5./(1-0.8*exp(-j*w)):plot(w,abs(Xa),w.angle(Xa)) (6). 2e12o X,(em)=∑2(0.95)2ea=2∑(0.95)em-》=2∑(0.95em)"e2= 川2 1-0.95em计 算DTFT的程序为 w=0:0.1:2*pi:Xb=2*exp(j*2*w)./(1-0.8*exp(-j*w)):plot(w,abs(Xb),w,angle(Xb)) (.先计算8m=0.6矿4)的DTFTG),再由x0=g@求XUo)=)GU@） do ae")- 1 -0.6em
解：解题的程序为： a=[1,-0.5,0.25]; b=[1,2,0,1]; ,impseq(0,0,10)),stem(h) (0.2*pi*n)+4*sin(0.6*pi*n); 1)= 0.2500 + 0.4330i, p(2)= 0.2500 - 0.4330i,在单位 圆之 以知道系统是稳定的； 28.8929 25.5850 23.8995 10. 用解析法求出以下各序列的 DTFT.用 MATLAB 画出 的幅值和相角曲线. (a). (b). (c). (d). (e). 解： (a). p=roots(a) h=filter(b,a n=0:20; x=5+3*cos y=filter(b,a,x) (a).根据系统极点 p( 内，知系统是稳定的； (b).根据 h 的波形，也可 (c). y = 8.0000 31.2313 39.6541 0441 9.3859 25.3083 29.2556 29.9705 43.1808 43.7591 27.9580 24.0913 23.3864 10.1609 9.5726 25.3724 29.2410 29.9471 题 3-3 ( ) jω X e x(n) 5(0.8) (n) n = µ ( ) 2(0.95) ( 2) 2 = − + x n n n µ x(n) n(0.6) (n) n = µ x(n) 5( 0.8) cos(0.1 n) (n) n = − π µ ( ) ( 1)( 0.8) ( 2) 2 = + − − − x n n n n µ 0 0 5 ( ) 5(0.8) 5 (0.8 ) 1 0.8 j n j n j n a j n n X e e e e ω ω ω ω ∞ ∞ − − − = = = = = − ∑ ∑ 计算 DTFT 的程序为： w=0:0.1:2*pi;Xa=5./(1-0.8*exp(-j*w));plot(w,abs(Xa) ,w,angle(Xa)) (b). 2 2 ( 2) 2 2 0 0 2 ( ) 2(0.95) 2 (0.95) 2 (0.95 ) 1 0.95 j j n j n m j m j m j b j n m m e X e e e e e e ω ω ω ω ω ω ω ∞ ∞ ∞ + − − − − − =− = = = = = = − ∑ ∑ ∑ 计 算 DTFT 的程序为： =2*exp(j*2*w)./(1-0.8*exp(-j*w));plot(w,abs(Xb) ,w,angle(Xb)) (c). 先计算 的 DTFTG(jω),再由 x(n)=ng(n)求 w=0:0.1:2*pi;Xb g n( ) = (0.6) µ(n) X j ( ) j d ω ω = n dG( jω) 。 0 1 ( ) (0.6) 1 0.6 j n j n j n G e e e ω ω ω ∞ − − = = = − ∑
X.(jo)=jdG(jo) b@a-0cT品-0e) 0.6em d(-jo) 0.6em 「0-0.6 e)do(-0.6em7 计算DTFT的程序为： W=0:0.1:2*pi:Xc=0.6*exD(-j*)./(1-0.6*exD(-jw).^2): plot(w,abs(Xc),w,angle(Xc)) X（em=5(0.8"cos0.1xme“=5之0.8)e”+e01”。-a (d. 2 5/2 5/2 1-0.8e+1-08ea可 计算DTFT的程序为 w0:0.1:2*pi Xd-2.5./(1-0.8*exp(j*(0.1*oi-w))+2.5./(1-0.8*exp(j*(-0.1*知i-W): plot(w,abs(Xd),w.angle(Xd)) (e).先计算gm)=(-0.8)-24(n-2)的DTFTG(j),再由x(m)=(a+1)g()求 X(jo)=jG(j)+G). do e-Ro Ge)=(-08rem=e2-08rem=1-0e 品e品-0n j(e-Re) do fe-no d(-j20)j(e-r)0.8e-d(-j@) -(1-0.8e)do (1-0.8e-e)2dm 2e-pa (e2e)0.8eme2o(2-2.4e) 1-0.8em)(1-0.8ee)21-0.8ee)2 4i-0-0-32.9 X.(jo)=jdG(j)Go)=2-2) do 1-08em)2 1-0.8em)2 计算DTFT的程序为 w=0:0.1:2pi Xe=exp(←-j*2m）.*(3-3.2*ex即(-j*m)./(1-0.8*exp(←j).2): plot(w,abs(Xe),w,angle(Xe)) 题3-6一对称上升余弦脉冲表达式为： ()05.0.5cm( 求出当N=5,25,100时的DTFT,对它乘以因子使Xe=1.红I,T]区间画出归一化的DTFT
2 2 2 ( ) ( ) (1 0.6 ) (1 0.6 ) 0.6 ( ) 0.6 (1 0.6 ) (1 0.6 ) j c j j j j j dG j j d X j j e d e d j e d j e e d e ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω − − − − − − = = − − − = = − − 计算 DTFT 的程序为： w=0:0.1:2*pi;Xc=0.6*exp(-j*w)./((1-0.6*exp(-j*w)).^2); plot(w,abs(Xc) ,w,angle(Xc)) (d). 0.1 0.1 0 0 (0.1 ) ( 0.1 ) ( ) 5(0.8) cos(0.1 ) 5 (0.8) 2 5/ 2 5/ 2 1 0.8 1 0.8 j n j n j n j n n d n n j j e e j n X e n e e e π π e ω ω ω π ω π ω π ∞ ∞ − − − = = − − − + = = = + − − ∑ ∑ 计算 DTFT 的程序为： w=0:0.1:2*pi; Xd=2.5./(1-0.8*exp(j*(0.1*pi-w)))+ 2.5./(1-0.8*exp(j*(-0.1*pi-w))); plot(w,abs(Xd) ,w,angle(Xd)) (e). 先 计 算 的 DTFTG(j ω ), 再 由 x(n)=(n+1)g(n) 求 2 ( ) ( 0.8) ( 2) n g n µ n − = − − ( ) ( ) dG j X j j ( ) d G j ω ω + ω ω = 。 2 2 2 2 0 ( ) ( 0.8) ( 0.8) 1 0.8 j j n j n j m j m j n m e G e e e e e ω ω ω ω ω ω ∞ ∞ − − − − − − = = = − = − = − ∑ ∑ ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (1 0.8 ) ( ) ( ) (1 0.8 ) (1 0.8 ) (1 0.8 ) ( 2 ) ( )0.8 ( ) (1 0.8 ) (1 0.8 ) 2 ( )0.8 (2 2.4 (1 0.8 ) (1 0.8 ) j j j j j j j j j j j j j j j j j dG j j e d j e d j e d e d e d je d j j e e d j e d e d e e e e e e e ω ω e ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω − − − − − − − − − − − − − − − − − − = − − − − − = − − − − = − = − − − 2 ) (1 0.8 ) j j e ω ω − − − 2 2 2 2 2 ( ) (2 2.4 ) (3 3.2 ) ( ) ( ) (1 0.8 ) 1 0.8 (1 0.8 ) j j j j e j j dG j e e e e e X j j G j d e e ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω − − − − − − − − = + = + = − − − j j e ω ω − − 计算 DTFT 的程序为： w=0:0.1:2*pi; Xe=exp(-j*2*w).*(3-3.2*exp(-j*w))./((1-0.8*exp(-j*w)).^2); plot(w,abs(Xe) ,w,angle(Xe)) 题 3-6 一对称上升余弦脉冲表达式为： 2 ( ) 0.5 0.5cos( ) ( ) n c n R n N N N π = + 求出当 N=5,25,100 时的 DTFT，对它乘以因子使 X(ej 0)=1。在[-π,π]区间画出归一化的 DTFT
研究这些曲线并评论它们随N变化的关系。 解：编出求解的程序： N=5,n=0:N-l; c-0.5+0.5*cos(2*pi*n/N) K=1024,k=-floor-((K-1)y2:(K-1)/2w-=k*2pi/K X=c*exp(-i*n'*w):XO=c*exp(-i*zeros(N.1)): plot(w.abs(X/X0)) 题3-9一对称矩形脉冲序列 Ror)-. -NsnsN 其余n 对N=5,15,25,100,求其DTT。将它归一化使得X(e0)=1。在区间[-元，π]内绘出归 化的DTFT图，评论其结果与N的关系 解：程序为： N=input ('N=): n=-N:N:=ones(1,2*N+1): k=0:1023: plot (2*pi*k/1024,Xr0),hold on 题3-12.用概念判断，下面的IDTFT序列中哪些是偶序列的？哪些具有是奇序列的？ (a)(em) )em)= -<a<0 ，0<o< (c)Y3(el)=jo,0sox 解：偶序列的IDTFT是实数，奇序列的IDTFT是虚数，因此： (a) Y1(。)是实数频谱，所以它的原函数是偶序列。 Y2(j)是虚数频 ,所以它的原函数是奇序列 (c) Y3(j0)是虚数频谱，所以它的原函数是奇序列。 题3-1512点序列x()为：x(m)={-3,-2,3,4,2,-1,-1,2,4,3,-2,-3} (a).求出x(m)的DFTX(k),画出它的幅度和相位曲线（使用stem函数） (b).用MATLAB画出x()的DTFT X(e)的幅度和相位曲线， (c).验证(a)中的DFT是X(e)的采样。采用hold函数把两图放在一幅图里 ().有无可能从DFTX(k)重构DTET X(e@)?如果可能，给出重构所需要的内插公式：若 不可能，说明不能重构的理由。 解：程序为 x=[-3,-2,3,4,2,-1-1,2,4,3,-2,-3]:
研究这些曲线并评论它们随 N 变化的关系。 解：编出求解的程序： N=5;n=0:N-1; c=0.5+0.5*cos(2*pi*n/N); K=1024;k=floor(-(K-1)/2: (K-1)/2);w=k*2*pi/K; X=c*exp(-j*n’*w);X0=c*exp(-j*zeros(N,1)); plot(w,abs(X/X0)) 题 3-9 一对称矩形脉冲序列 1, ( ) 0, N n N R n n − ≤ ≤ = 其余 对 N = 5,15,25,100,求其 DTFT。将它归一化使得 0 ( ) j X e =1。在区间 [-π,π] 内绘出归一 化的 DTFT 图,评论其结果与 N 的关系. 解： 程序为： N=input('N= '); n=-N:N; r=ones(1,2*N+1); k=0:1023; Xr=r*exp(j*2*pi/1024*n'*k); Xr0=Xr/Xr(1); plot(2*pi*k/1024,Xr0),hold on 题 3-12. 用概念判断，下面的 IDTFT 序列中哪些是偶序列的? 哪些具有是奇序列的？ ( < ≤ ≤ ≤ = ω ω π ω ω ω ω 0, | | | |, 0 | | ) ( ) 1 c j c a Y e − < < − < < = ω π ω π ω , 0 , 0 ( ) ( ) 2 j j b Y e j ( ω ω π ω c) Y3 (e ) = j , 0 ≤| |≤ j 解：偶序列的 IDTFT 是实数，奇序列的 IDTFT 是虚数，因此： (a) Y1(jω)是实数频谱，所以它的原函数是偶序列。 (b) Y2(jω)是虚数频谱，所以它的原函数是奇序列。 (c) Y3(jω)是虚数频谱，所以它的原函数是奇序列。 题 3-15 12 点序列 x(n)为： x(n)={ -3,-2,3,4,2,-1,-1,2,4,3,-2,-3} (a). 求出 x(n)的 DFT X(k)，画出它的幅度和相位曲线（使用 stem 函数）。 (b).用 MATLAB 画出 x(n)的 DTFT ( ) 的幅度和相位曲线。 jω X e (c).验证(a)中的 DFT 是 ( ) 的采样。采用 hold 函数把两图放在一幅图里。 jω X e (d).有无可能从 DFT X(k)重构 DTFT ？如果可能，给出重构所需要的内插公式；若 不可能，说明不能重构的理由。 ( ) jω X e 解：程序为 x=[ -3,-2,3,4,2,-1,-1,2,4,3,-2,-3];
n=0:11:X=fft(x,12): subplot(2.1.1).stem([0:111/12*2*pi abs(X)).hold on pi,angle(X),hold on x*exD(j*2*pi/1024n') subplot (2,1,1), plot([0:1023]/1024*2*pi,abs(XDT),'r'),hold on subplot (2.1.2). plot ([0:1023]/1024*2*pi,angle(XDT),'r'),hold on 从图中可以进行讨论 题3-18设Xk)=DFTx(n,Yk)=DFTy(o小，若Yk=Xk+mRk),证明 y(n)=IDFT[Y(k)]=Ww"x(n) 证：根据频域移位定理 Y(k)=DFT[y(n)]=DFT[W "x(n)]=X((k+m)s)Rx(k) 题3-20对采样周期为T0.5的以下各序列，(1)，用手工草画出它们的幅频谱和相频谱： (2),求出它们的DFT和频点位置：(3)，分析两个结果的关系。 (a),x=11,0,-11,(b},x=11,-2,11;(c),x=1-1,2,2,-11: 解：公用的程序为 x=input('x='):N=length(x); nx=input('nx=): x1=x(mod(nx-1.3)+1) X=(XIN) k=0:N. w-k*2*pi/N. subplot(2.I.1).stem(w.abs(X)) subplot(2,1,2).stem(w.angle(X)) 题3-24计算下列序列的N点循环卷积2()。 cos(n/4)Rx (m)N=8 x(n) os(2n/N)Ry (m).x(n) sin(2 n/N)RN(n):N=32 c.x(n)-(O.8yRx(m):xa(n-(-0.8)"Rx(n):N-20 d.xi(n=n Ry(m):x2(n(N-n)Rv(n):N=10 e.x(nF[1,-1,1,-1,x(nF[1,0-1,01N=4 解：a程序：x=l,ll,1],x2-cos(pi*[0:3]/4--circonv(xl,2,4) ys 1.0000 10000 1.0000 1.0000 b.程序：x1=cos(2*pi*[0:31y32x2=sin(2*pi*0:31]/32,y=eirconv(x1,x2,32) 解为：y=0.0000 3.1214 6.1229 8.889111.313713.3035.(略) c.程序：x1=(0.8).N0:19,x2=(-0.8).M0:19y=circonv(x1,x2,20) 解为：v=0.988500.632600.404900.259100.1658 00.106100.067900.043500.0278 00.01780 d.程序：x1=0:9x2=10-0:9y=-circonv(x1,x2,10) 解为：y=285250225210205210225250285330 e.程序：x1=l,-l,l,-l,x2=[1,0.-l,0y=circonv(x1,x2,4)
n=0:11;X=fft(x,12); subplot(2,1,1),stem([0:11]/12*2*pi,abs(X)),hold on subplot(2,1,2),stem([0:11]/12*2*pi,angle(X)),hold on k=0:1023;XDT= x*exp(j*2*pi/1024*n'*k); subplot(2,1,1), plot([0:1023]/1024*2*pi,abs(XDT),'r'),hold on subplot(2,1,2), plot([0:1023]/1024*2*pi,angle(XDT),'r'),hold on 从图中可以进行讨论。 题 3-18 设 X(k)=DFT[x(n)]，Y(k)=DFT[y(n)]，若 Y(k)=X((k+m)N)RN(k)，证明 y(n)=IDFT[Y(k)]=W x(n) mn N 证： 根据频域移位定理 Y(k)=DFT[y(n)]= DFT[W x(n) ]=X((k+m) mn N N) RN(k) 题 3-20 对采样周期为 T=0.5 的以下各序列，（1），用手工草画出它们的幅频谱和相频谱； （2），求出它们的 DFT 和频点位置；（3），分析两个结果的关系。 (a), x=[1,0,-1], (b), x=[1,-2,1]; (c), x=[-1,2,2,-1]; 解：公用的程序为： x=input('x= '); N=length(x); nx=input('nx= '); x1=x(mod(nx-1,3)+1); X=fft(x1,N); k=0:N-1;w=k*2*pi/N; subplot(2,1,1),stem(w,abs(X)) subplot(2,1,2),stem(w,angle(X)) 题 3-24 计算下列序列的 N 点循环卷积 z(n)。 a. x1(n)=[1,1,1,1], x2(n)=cos(πn/4) RN (n) ; N=8 b. x1(n)= cos(2πn/N) RN (n) , x2(n)=sin(2πn/N) RN (n) ; N=32 c. x1(n)=(0.8)n RN (n) ; x2(n)=(-0.8)n RN (n) ; N=20 d. x1(n)=n RN (n) ; x2(n)=(N-n) RN (n) ; N=10 e. x1(n)=[1,-1,1,-1], x2(n)=[1,0,-1,0]; N=4 解：a. 程序： x1=[1,1,1,1];x2=cos(pi*[0:3]/4);y=circonv(x1,x2,4) 解为：y = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 b. 程序： x1=cos(2*pi*[0:31]/32);x2=sin(2*pi*[0:31]/32);;y=circonv(x1,x2,32) 解为：y = 0.0000 3.1214 6.1229 8.8891 11.3137 13.3035 …（略） c. 程序： x1=(0.8).^[0:19];x2=(-0.8).^[0:19];y=circonv(x1,x2,20) 解为：y = 0.9885 0 0.6326 0 0.4049 0 0.2591 0 0.1658 0 0.1061 0 0.0679 0 0.0435 0 0.0278 0 0.0178 0 d. 程序： x1= [0:9];x2=10-[0:9];y=circonv(x1,x2,10) 解为：y = 285 250 225 210 205 210 225 250 285 330 e. 程序： x1=[1,-1,1,-1];x2=[1,0,-1,0];y=circonv(x1,x2,4)
解为：y=0000 题3-27设xm)=AcO2rmm1N)Rx(m),其中m为整数。注意x(m在N个样本中包含余弦的 m个周期，这是一个由窗口截取的无漫漏的余弦序列。 (a).证明它的DFT X(k)为实序列： X)=k-m刚+》6k-N+m啡0≤k5N-0N时，如何修正上式 ().用下面的序列验证(a),(b),(c)中的结果，利用stem函数画出DFT序列的实部。 (i)x(n)=3cos(0.04n)Rac(n): (ii)x。(n)=5Ra(n)· (iii)xs(n)=[1+2cos(0.5n )+cos(n ]Rioo(n) X=cos(25W16)Rm: (v)x(n)=[4cos(0.1n)-3cos(1.9n)]Rv(m) 证：(a). ,Acos(2πmn/N)e2atW 因为： -8(k-m) e-+-登+m- 2 2 符到：X=5k-m刚+6k-N+m水0≤k≤N-) ).若=0，注意到6(k-0=6),得到Xk)=AN8(k) (C).用回l=od(皿，)代替Ⅲ。 题3-30设x=-1:0.5:2,h=3:6 (a.列出用向量一矩阵乘法求两者的线性卷积的表示式，写出构成其线性卷积矩阵的 MATI.AB语句 ()列出用向量一矩阵乘法求两者的循环卷积的表示式，写出构成其循环卷积矩阵的 MATLAB语句·
解为：y = 0 0 0 0 题 3-27 设 x(n) = Acos(2π mn / N)RN (n) ,其中 m 为整数。注意 x(n)在 N 个样本中包含余弦的 m 个周期，这是一个由窗口截取的无泄漏的余弦序列。 (a). 证明它的 DFT X(k)为实序列： k N m k N m N AN k m AN X k = − + ( − + ); 0 ≤ ≤ ( −1),0 N 时，如何修正上式。 (d). 用下面的序列验证(a),(b),(c)中的结果，利用 stem 函数画出 DFT 序列的实部。 (i) x1(n)=3cos(0.04πn)R200(n); (ii) x2(n)= 5R50(n); (iii) x3(n)=[1+2cos(0.5πn )+cos(πn )]R100(n); (iv) x4(n)= cos(25πn/16) R64 (n) ; (v) x4(n)=[4cos(0.1πn )-3cos(1.9πn )] RN (n) ; 证：(a). 1 1 2 / 2 / 0 0 ( ) ( ) cos(2 / ) N N j nk N j nk N n n X k x n e A mn N e π π π − − − − = = = = ∑ ∑ 1 2 / 2 / 2 / 0 ( ) 2 N j mn N j mn N j nk N n A e e e π π − − − = = + ∑ π 因为： 1 2 ( ) / 0 ( ) 2 2 N j k m n N n A AN e k π δ − − − = ∑ = − m ， 1 2 ( ) / 0 ( ) ( 2 2 2 N j k m n N n A AN AN e k m k π δ δ − − + = ∑ = + = + m − N) 得到： ( ) ( ) ( ); 0 ( 1) 2 2 AN AN X k = − δ δ k m + k − N + m ≤ k ≤ N − (b). 若 m=0,注意到δ(k-N)=δ(k)，得到 X(k)=ANδ(k) (c). 用 m1=mod(m,N)代替 m。 题 3-30 设 x=[-1:0.5:2],h=[3:6]; (a).列出用向量－矩阵乘法求两者的线性卷积的表示式，写出构成其线性卷积矩阵的 MATLAB 语句。 (b).列出用向量－矩阵乘法求两者的循环卷积的表示式，写出构成其循环卷积矩阵的 MATLAB 语句
「345600000001 03456000000 00345600000 解：(a)y=1,-0.5,0,0.5,1,1.5,200034560000 00003456000 00000345600 00000034560 MATLAB语句为： X=-1,-0.5,0,10.5,l,1.5,2h-3:6,H=toeplitz([h1),zeros(1,6l.h,2eros(1,6jy-x*H y=-3.0-5.5-7.023.042.061.080.021.519.012.0 「6000345] 5600034 4560003 (a)ycN=7=-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2]3456000 0345600 0034560 0003456 MATLAB语句为： x=-1.-0.5.0.10.5.1.152l:h=3:6 He=toeplitz([fliplr(h).zeros(1,3)].[h(end).zeros(1,3).h(1:end-1)).yc=x*He ye= 23.0000 42.0000 61.0000 80.0000 18.5000 13.5000 5.0000 题4-3.考虑两个序列，(a)x0)=1,x1)=-2,2)=1:(b)0-1,1F2,2F2,x3-1, 如果采样周期T=0.5,试用一个四点DT来计算这两个序列的频谱的四个频率样本。 00+2.0000i4.0000 0-2.0000i (b.xb=1,2,2-1]Xb=fmb,4) Xb=2.0000-3.0000-3.0000i0-3.0000+3.0000i 题4-6.解析地计算xa)=e02,1≥0的频谱X。(2)。又设T=0.5,计算xm=e-02mT,n≥0 的频谱X(@),把两者进行比较，讨论是否存在若因采样引起的颜率泄漏。若改为T=0.05,其结 果如何？ 解XU-eeh=eaeh=e厂 -(0.2+j2,0.2+2 X0o-=2eg=(ay空em1-eg 1 用MATLAB画出两者的幅特性，注意数字频谱必须乘以T,才能与模拟频谱等价比较，因此 最后一句绘图语句中要乘T。程序如下，它适合于T取任何值的情况。 0mega=0:0,1:20;Xa=1./(0.2+j*0mega):
解：(a) 3 4 5 60000000 03456 0 0 0000 0 03456 0 0000 y=[-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2] 0 0 03456 0000 0 0 0 0345 6000 0 0 0 0 03456 0 0 0 0 0 0 0 03456 0 MATLAB 语句为： x=[-1,-0.5,0,10.5,1,1.5,2]; h=[3:6];H=toeplitz([h(1),zeros(1,6)],[h,zeros(1,6)]);y=x*H y = -3.0 -5.5 -7.0 23.0 42.0 61.0 80.0 21.5 19.0 12.0 (a) 6 0 0 0345 5 6 0 0 034 456 0 0 0 3 yc(N=7)=[-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2] 3 4 5 6 0 0 0 03456 0 0 0 03456 0 0 0 03456 MATLAB 语句为： x=[-1,-0.5,0,10.5,1,1.5,2]; h=[3:6]; Hc = toeplitz([fliplr(h),zeros(1,3)],[h(end),zeros(1,3),h(1:end-1)]); yc=x*Hc yc = 23.0000 42.0000 61.0000 80.0000 18.5000 13.5000 5.0000 题 4-3. 考虑两个序列，（a）x(0)＝1，x(1)＝-2，x(2)＝1；（b）x(0)=-1，x(1)=2，x(2)=2，x(3)=-1， 如果采样周期 T＝0.5，试用一个四点 DFT 来计算这两个序列的频谱的四个频率样本。 (a). xa=[1,-2,1]; Xa=fft(xa,4) Xa = 0 0 + 2.0000i 4.0000 0 - 2.0000i (b). xb=[-1,2,2,-1];Xb=fft(xb,4) Xb = 2.0000 -3.0000 - 3.0000i 0 -3.0000 + 3.0000i 题 4-6. 解析地计算 xa (t) = e−0.2t ,t ≥ 0 的频谱 (Ω) X a 。又设 T=0.5,计算 的频谱 ( ) , 0 0.2 = ≥ − x n e n nT X (ω) ，把两者进行比较，讨论是否存在着因采样引起的频率泄漏。若改为 T=0.05,其结 果如何？ 解： (0.2 ) 0.2 (0.2 ) 0 0 0 1 ( ) (0.2 ) 0.2 j t t j t j t a e X j e e dt e dt j j ∞ − + Ω ∞ ∞ − − Ω − + Ω Ω = = = = − + Ω + Ω ∫ ∫ ( ) 0.2 0.5 0.2 0.5 0.1 0 0 1 ( ) 1 n n j n j n j n n X j e e e e e e ω ω ω ω ∞ ∞ − ⋅ − − ⋅ − − − = = = = = − ∑ ∑ 用 MATLAB 画出两者的幅特性，注意数字频谱必须乘以 T，才能与模拟频谱等价比较，因此 最后一句绘图语句中要乘 T。程序如下,它适合于 T 取任何值的情况。 Omega=0:0.1:20;Xa=1./(0.2+j*Omega);
w=0mega*T:X=1./(1-exp(-0.2*T-j*w)）: plot(Omega,abs(Xa)),hold on plot (w/T,abs (X)*T.'.r') 可以看出当T取0.5和0.05时连续频谱与（乘T后的）离散频谱之间的差别。 题4-8.对模拟信号xa0=2sin(4x)+5cos(8x)在t0.01n,n=0,1,.N-1上采样，得到N点 序列x(),用N点DFT得到对xa)幅度谱的估计. (a).从下面值中，选择一个能提供最精确的x()的幅度谱的N,画出DFT幅度谱|Xk)的 实部和虚部。(1)N40(②)N=50(3)N=60 6 从下面值中，选择一个能提供最小x)的幅度谱泄漏量的N,画出DT幅度谱X(k) 的实部和虚部。(1)N=90(②)N=95(3)N=99 解： N=input(N=) n=0:N-l,t0.01*n xa-2*sinp+co(p). X-fft(xa.N). subplot(2.1.1).stem(real(X)) subplot(2,1,2).stem(imag(X)) 题4-12考虑无限序列x=0.9·(n≥0)，T=l。求出最小的a使得前N=2个数据点与无 限序列之间的频谱误差小于峰值的1%。只在2m严/N(m=0:N/2)的点上比较其幅值。 解：按程序hc434修改 T=1:a=1:b=100:beta=1: %给定初始数据 while b>beta 《判撕是否成结束循环运自 1=-2^a:l=0:N1- %确定数 长度N x1=0.9.n1:X1=fft(x1) %求长度NI的序列x及其FTX灯 N2=2*N1:n2=0N2-1: %数据长度加倍为2=2N1 x2=0.9.^n2:X2=fft(x2): %求长度N2的序列x2及其FFTX2 k1D=0:N1/2-1:k2D=2*k1D %确定两序列对应点的下标k2=2k1 dax(abs1k1p+1)-2k2pD):求对应点上T的误差 mm=max (abs (XI (kIp+1))); %求X1幅特性的最大值 b=d/mm*100: %求相对误差的百分数 a=a+1: %序列加长一倍 end N2 h %结束循环后显示达到要求的长度N2和相对误差b 计算结果为N2=128,b=0.1179 题4-15考虑连续信号x()=2et(≥0)，求它的频谱的解析式。用FFT按下列步骤计 算它的频谱： (a)求出L,使时间记录长度(0，L)只丢掉信号幅度低于最大幅度的1%的部分，用这个 L来求得采样周期T,以及在N=2“中的最小a值，使频率泄漏可以忽略不计，也即用T和N算 出频谱幅度与用2T及N/2算出的结果差别小于峰值的1%：
w=Omega*T;X=1./(1-exp(-0.2*T-j*w)); plot(Omega,abs(Xa)),hold on plot(w/T,abs(X)*T,'.r') 可以看出当 T 取 0.5 和 0.05 时连续频谱与（乘 T 后的）离散频谱之间的差别。 题 4-8．对模拟信号 x (t) 2 sin(4 t) 5 cos(8 t) a = π + π x (t) a 在 t=0.01n，n=0,1,...N－1 上采样，得到 N 点 序列 x(n)，用 N 点 DFT 得到对 幅度谱的估计。 (a).从下面值中，选择一个能提供最精确的 的幅度谱的 N,画出 DFT 幅度谱|X(k)|的 实部和虚部。(1)N=40 (2)N=50 (3)N=60 x (t) a (b). 从下面值中，选择一个能提供最小 的幅度谱泄漏量的 N,画出 DFT 幅度谱|X(k)| 的实部和虚部。(1)N=90 (2)N=95 (3)N=99 x (t) a 解： N=input('N= ') n=0:N-1; t=0.01*n; xa=2*sin(4*pi*t)+5*cos(8*pi*t); X=fft(xa,N); subplot(2,1,1),stem(real(X)) subplot(2,1,2),stem(imag(X)) 题 4-12 考虑无限序列 x(n)=0.9 n （n≥0），T=1。求出最小的 a 使得前 个数据点与无 限序列之间的频谱误差小于峰值的 1％。只在 2mπ／N（m=0：N／2）的点上比较其幅值。 a N = 2 解：按程序 hc434 修改 T=1; a=1; b=100; beta=1; % 给定初始数据 while b>beta % 判断是否应结束循环运算 N1=2^a;n1=0:N1-1; % 确定数据长度 N1 x1=0.9.^n1; X1=fft(x1); % 求长度 N1 的序列 x 及其 FFT X1 N2=2*N1; n2=0:N2-1; % 数据长度加倍为 N2=2*N1 x2=0.9.^n2;X2=fft(x2); % 求长度 N2 的序列 x2 及其 FFT X2 k1p=0:N1/2-1; k2p=2*k1p; % 确定两序列对应点的下标 k2=2k1 d=max(abs(X1(k1p+1)-X2(k2p+1))); % 求对应点上 FFT 的误差 mm=max(abs(X1(k1p+1))); % 求 X1 幅特性的最大值 b=d/mm*100; % 求相对误差的百分数 a=a+1; % 序列加长一倍 end N2,b % 结束循环后显示达到要求的长度 N2 和相对误差 b 计算结果为 N2=128,b=0.1179。 题 4-15 考虑连续信号 x（t）=2 e –0.5t（t≥0），求它的频谱的解析式。用 FFT 按下列步骤计 算它的频谱： (a) 求出 L，使时间记录长度（0，L）只丢掉信号幅度低于最大幅度的 1％的部分，用这个 L 来求得采样周期 T，以及在 中的最小 a 值，使频率泄漏可以忽略不计，也即用 T 和 N 算 出频谱幅度与用 2T 及 N／2 算出的结果差别小于峰值的 1％； a N = 2
(b)利用在(a)中得到的T和N求得在Nm=2c中最小的c值，使得截断效应可以忽略不计， 也即利用T和Nm求出的频谱与用T和Nm/2的结果之差小于峰值幅度的1% 解 根据exp←-0.5*Lmin-0.01;知Lmin=-log0.01)0.592103。取T=1,N=16开始计算， T=input('T=': N=input(N=') D=2*pi/N*T门 n-0:N-l:xa-2+exp(-0.5*n*T) 以%给出序列信号 Xa-T+fshift(f(xa)). %求其FFT乘以T转换为模拟频谱，移至零频中心 k=floor-N-1)2.:N-1)2) %位置向量也移至零频中心 Xa(1).plot(k*Dabs(Xa)) %求频谱最左第一个元素（即乃奎斯特频率处）的值，绘图 T1=T2:N1=N2:D1=D %把T减小一半重算 nI=0:NI-1xal=2*exp(-0.5*nl*TI %给出序列信号 Xal=T1*fTshift(ff(xal). %求其FFT乘以T转换为模拟频谱，移至零频中心 r0-(max(abs(Xa1)-max(abs(Xa)/max(ab s(Xa) rn=abs(Xa(1)max(abs(Xa)) %乃奎斯特频率处的值与最大幅特性之比 反复计算的结果为：当T=1/16:N=16*16=256时，r0-0.0078<0.01,此时相邻两次计算的幅特 性误差可以忽略。当T=1/32:N-16*32=512时，m=0.0078<0.01,此时频率泄漏可以忽略。 题4-18一个连续信号xa(0是由频率为250H,450H，1.0kHz,2.75k业和4.05k业的正余弦 信号的线性组合。此信号被1.5kz的采样频率采样后，通过一个截止须率为750Hz的理想滤波 器，生成一个连续信号y。),试问此重构信号y)中所包含的频率分量。 解：250Hz,450z,1-1.5=-0.5kHz,2.75-2*1.5=-250Hz,4.05-3*1.5=.450Hz。故最后是250Hz 450H.500业三个分量。 题4-20考虑下列频谱 X(o)=e"(2coso-2)回sπ (a).在k(2π/3)，(K=-1,0,)处计算它的三个频率样本的IDT。 (b).计算它在k/2(k=0,1,2,3)处的四个频率样本点的IDFT。 (c).X(o)的IDTFT是什么？ 解：(a)。程序为： k=-1:l:=k*2*和i/3:Xa=exp(-j*w).*(2*cos()-2) xa=ifft([Xa(2).Xa(3).Xa(I)]) (b).程序为 k=0:3:w=k*pi/2:Xb=exp(j*w).*(2*cos(w)-2),xb=ifft(Xb) (c).根据是上两问的结果，其IDTT是序列[1，-2,1]。 题5-3.已知x()的z变换是Xz(1+2z,z≠0。求下列序列的z变换，并说明其收敛域。 (a. X1)=X3-nx(n-3) (b).x2(o)=(1+tn)xn) (c)x3(m)=(1/2xn-2)
(b) 利用在（a）中得到的 T 和 N 求得在 中最小的 c 值，使得截断效应可以忽略不计， 也即利用 T 和 Nm 求出的频谱与用 T 和 Nm／2 的结果之差小于峰值幅度的 1％。 c Nm = 2 解：根据 exp(-0.5*Lmin)=0.01;知 Lmin=-log(0.01)/0.5= 9.2103。取 T=1,N=16 开始计算， T=input('T= '); N=input('N= '); D=2*pi/(N*T); n=0:N-1;xa=2*exp(-0.5*n*T); % 给出序列信号 Xa=T*fftshift(fft(xa)); % 求其 FFT 乘以 T 转换为模拟频谱，移至零频中心 k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2); % 位置向量也移至零频中心 Xa(1),plot(k*D,abs(Xa)) % 求频谱最左第一个元素(即乃奎斯特频率处)的值，绘图 T1=T/2;N1=N*2;D1=D; % 把 T 减小一半重算 n1=0:N1-1;xa1=2*exp(-0.5*n1*T1); % 给出序列信号 Xa1=T1*fftshift(fft(xa1)); % 求其 FFT 乘以 T 转换为模拟频谱，移至零频中心 r0=(max(abs(Xa1))-max(abs(Xa)))/max(abs(Xa)) rn=abs(Xa(1))/max(abs(Xa)) % 乃奎斯特频率处的值与最大幅特性之比 反复计算的结果为：当 T=1/16;N=16*16=256 时，r0=-0.0078<0.01，此时相邻两次计算的幅特 性误差可以忽略。当 T=1/32;N=16*32=512 时，rn=0.0078<0.01，此时频率泄漏可以忽略。 题 4-18 一个连续信号 是由频率为 250Hz, 450Hz, 1.0kHz, 2.75kHz 和 4.05kHz 的正余弦 信号的线性组合。此信号被 1.5kHz 的采样频率采样后，通过一个截止频率为 750Hz 的理想滤波 器，生成一个连续信号 ，试问此重构信号 中所包含的频率分量。 x (t) a y (t) a y (t) a 解：250Hz, 450Hz, 1-1.5=-0.5kHz, 2.75-2*1.5=-250Hz, 4.05-3*1.5=-450Hz。故最后是 250Hz, 450Hz, 500Hz 三个分量。 题 4-20 考虑下列频谱 ( ) (2cos 2) j X e ω ω ω ω − = − ≤ π (a). 在 k ⋅( ) 2 / π 3 , (k = −1,0,1) 处计算它的三个频率样本的 IDFT。 (b). 计算它在 kπ/2（k = 0，1，2，3）处的四个频率样本点的 IDFT。 (c). X(ω)的 IDTFT 是什么？ 解：(a). 程序为： k=-1:1;w=k*2*pi/3;Xa=exp(-j*w).*(2*cos(w)-2), xa=ifft([Xa(2),Xa(3),Xa(1)]) (b). 程序为： k=0:3;w=k*pi/2;Xb=exp(j*w).*(2*cos(w)-2),xb=ifft(Xb) (c). 根据是上两问的结果，其 IDTFT 是序列[1,-2,1]。 题5-3. 已知x(n)的 z变换是X(z)=(1+2 z -1) , | z |≠0。求下列序列的 z变换，并说明其收敛域。 (a). x 1 (n) = x(3-n)+x(n-3) (b). x 2 (n) = (1+n+n2 )x(n) (c ). x 3 (n) = (1/2)n x(n-2)