第六章 数字滤波器结构
1 第六章 数字滤波器结构
数字滤波器结构 ·6.1概述 ·6.2滤波器的信号流图结构和解法 ·6.3FIR基本网络结构 ·6.4IIR基本网络结构 ·6.5一些其他类型的滤波器结构 ·6.6状态变量分析法 ·6.7各种结构形式的比较 2
2 数字滤波器结构 • 6.1 概述 • 6.2 滤波器的信号流图结构和解法 • 6.3 FIR基本网络结构 • 6.4 IIR基本网络结构 • 6.5 一些其他类型的滤波器结构 • 6.6 状态变量分析法 • 6.7 各种结构形式的比较
6.1概述 任何线性时不变集总参数离散系统都可用 下列三种形式之一来表述其输入输出关 系：差分方程，卷积公式和系统函数。 这三种方法是等价的，从任何一个都能 推导出其它两个。 即使用同一类表示方法，也存在着许多等 价的算法结构，滤波器的工程实现要用 计算机的硬件或软件。不同的算法要求 不同的实现结构，也会影响系统的某些 实际性能。 3
3 6.1 概述 任何线性时不变集总参数离散系统都可用 下列三种形式之一来表述其输入输出关 系：差分方程，卷积公式和系统函数。 这三种方法是等价的，从任何一个都能 推导出其它两个。 即使用同一类表示方法，也存在着许多等 价的算法结构，滤波器的工程实现要用 计算机的硬件或软件。不同的算法要求 不同的实现结构，也会影响系统的某些 实际性能
概述 滤波器实现中需要考虑许多问题，如 ()。计算的效率：即完成整个滤波所需要的乘法 和加法次数； (2)。需要的存储量； (3)。滤波器系数的量化影响； (4)。运算中的舍入和截断误差、饱和和溢出： 不同的算法在满足上述的要求方面是有很大差别 的。在研究F℉T算法时已经看到过，同样的 DFT运算，改变计算结构对提高计算效率和节 省存储量能起多大的作用。 4
4 概述 滤波器实现中需要考虑许多问题，如 (1)。计算的效率：即完成整个滤波所需要的乘法 和加法次数； (2)。需要的存储量； (3)。滤波器系数的量化影响； (4)。运算中的舍入和截断误差、饱和和溢出； 不同的算法在满足上述的要求方面是有很大差别 的。在研究FFT算法时已经看到过，同样的 DFT运算，改变计算结构对提高计算效率和节 省存储量能起多大的作用
6.2 滤波器的信号流图结构 信号流图由节点和有向 支路组成。每个节点 表示一个信号，有向 支路表示信号流动方 向和算法。在数字信 号处理中只有右图所 示的三种基本算法， x (n) ●x1(n)十x2n) 即倍率、加法和单位 时延。没有输入箭头 的节点称为输入节点： 没有输出箭头节点称 图6.2.1三种基本运算的流图表示 为输出节点
5 6.2 滤波器的信号流图结构 信号流图由节点和有向 支路组成。每个节点 表示一个信号，有向 支路表示信号流动方 向和算法。在数字信 号处理中只有右图所 示的三种基本算法， 即倍率、加法和单位 时延。没有输入箭头 的节点称为输入节点； 没有输出箭头节点称 为输出节点。 图 6.2.1 三种基本运算的流图表示
滤波器的信号流图结构 例6.2.1右图表示一个信号流图的实例，可以依 次对每个节点列出方程。五个节点可以列出五 个联立方程： =uw-0.1x4, 0.5 2=zX1, =X2+2x1+0.34, y(n) x4=2x3 0.1 y=0.5x3+x4 图6.2.2基本信号流图的举例 6
6 滤波器的信号流图结构 例6.2.1 右图表示一个信号流图的实例，可以依 次对每个节点列出方程。五个节点可以列出五 个联立方程： 图 6.2.2 基本信号流图的举例 = + = = + + = = − − − 3 4 3 1 4 3 2 1 4 1 1 2 1 4 0.5 2 0.3 , , 0.1 , y x x x z x x x x x x z x x u x
滤波器的信号流图结构 ·用信号流图可以简明地表示系统的运算情况， 同时也很容易列写它的方程。以下均用信号流 图表示网络结构。 ·信号流图中的环路，是指信号顺着箭头流的方 向能回到起点处的整条路径。有环路意味着存 在反馈。上图中x1-x2-x3-x4-x1,x1-x3-x4-x1和 x3-x4-x3都是环路。 ·不同的信号流图代表不同的运算方法，对于同 一个系统函数，可以有很多种信号流图与之相 对应。 7
7 滤波器的信号流图结构 • 用信号流图可以简明地表示系统的运算情况， 同时也很容易列写它的方程。以下均用信号流 图表示网络结构。 • 信号流图中的环路，是指信号顺着箭头流的方 向能回到起点处的整条路径。有环路意味着存 在反馈。上图中x1-x2-x3-x4-x1, x1-x3-x4-x1和 x3-x4-x3都是环路。 • 不同的信号流图代表不同的运算方法，对于同 一个系统函数，可以有很多种信号流图与之相 对应
基本信号流图结构 满足以下条件的信号流图，是在计算机上可实现 的。称为基本信号流图。 (1)信号流图中所有支路进行的都是基本运算， 即支路增益是常数或者是z; (2)信号流图中如果有环路，则环路中必须存 在延迟支路，否则将出现信号x)的计算要要 依赖于x(n)值的悖论状况，是数字系统无法实 现的。没有延迟支路的环路称为代数环，代数 环是构成系统时必须避免的。 (3)节点和支路的数日是有限的。 8
8 基本信号流图结构 满足以下条件的信号流图，是在计算机上可实现 的。称为基本信号流图。 （1）信号流图中所有支路进行的都是基本运算， 即支路增益是常数或者是z -1； （2）信号流图中如果有环路，则环路中必须存 在延迟支路，否则将出现信号xi (n)的计算要要 依赖于xi (n)值的悖论状况，是数字系统无法实 现的。没有延迟支路的环路称为代数环，代数 环是构成系统时必须避免的。 （3）节点和支路的数目是有限的
信号流图方程的解法 当系统内没有环路时，只要靠代入法消去中间变 量就能解出。如果系统内存在环路，就要进行 等式两端的移项合并，有些麻烦。当回路较多 时，那是相当繁琐和容易出错的。 求解时，因变量可以用信号序列x),也可以用 其z变换X(z)。自变量宜用可实现的算子z1。 一步求解的方法有梅森公式，它利用信号流图的 拓朴关系。但计算很繁，不实用。 由于应用了MATLAB,本书作者创新地推出了它 的计算机解法。 9
9 信号流图方程的解法 当系统内没有环路时，只要靠代入法消去中间变 量就能解出。如果系统内存在环路，就要进行 等式两端的移项合并，有些麻烦。当回路较多 时，那是相当繁琐和容易出错的。 求解时，因变量可以用信号序列x(n)，也可以用 其z变换X(z)。自变量宜用可实现的算子z -1 。 一步求解的方法有梅森公式，它利用信号流图的 拓朴关系。但计算很繁，不实用。 由于应用了MATLAB，本书作者创新地推出了它 的计算机解法
信号流图的代数解法例6.2.1 求图6.2.2的系统函数H(z)=Y(z)/U(z). ·解对(6.2.1)式进行z变换，得到： X1(z）=U(z)-0.1X4(2)2 X2(z)=zX1(z), X3(z)=X2(z)+2X1(2)+0.3X4(z), X4()=Y3(2) Y(z)=0.5X3(z)+X4(z) ·经过消元移项等代数处理，得到： =0.52+10 z1(z1+2) 1+2.5z1+2z1 U(z) (1-0.1z1+0.1z1)1-0.1z1+0.1z1 10
10 信号流图的代数解法例6.2.1 求图6.2.2的系统函数H(z)=Y(z)/U(z)。 • 解 对(6.2.1)式进行z变换，得到： • 经过消元移项等代数处理，得到： = + = = + + = = − − − ( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0.3 ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) 0.1 ( ), 3 4 3 1 4 3 2 1 4 1 1 2 1 4 Y z X z X z X z z X z X z X z X z X z X z z X z X z U z X z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.1 0.1 1 2.5 2 (1 0.1 0.1 ) ( 2) (0.5 1) ( ) ( ) − − − − − − − − − + + + = − + + = + z z z z z z z z z U z Y z