西安电子科技大学：《实用大众线性代数》课程PPT教学课件（MATLAB版）第5章 线性变换及其特征

第5章线性变换及其特征 线性代数归根到底就是讨论方程组 Ax=b,只是采取不同的角度。本书前三 章是已知A和b求x,解的方法是以A的行 变换（也就是方程）为主；第四章则把A 的看作列向量组，把Ax看作列向量的线 性组合，研究其和是否能等于另一个向量 b。这一章则把A看作一个变换，把x域中 的图形或向量变换到b域（本章中看作y域） 中，要研究的是变换前后两个坐标系内的 图形和向量会有何种变化。这三个不同角 度反映了不同的对线性代数的应用需求， 也深化了对线性方程组的研究

第5章 线性变换及其特征 线性代数归根到底就是讨论方程组 Ax=b，只是采取不同的角度。本书前三 章是已知A和b求x，解的方法是以A的行 变换（也就是方程）为主；第四章则把A 的看作列向量组，把Ax看作列向量的线 性组合，研究其和是否能等于另一个向量 b。这一章则把A看作一个变换，把x域中 的图形或向量变换到b域(本章中看作y域) 中，要研究的是变换前后两个坐标系内的 图形和向量会有何种变化。这三个不同角 度反映了不同的对线性代数的应用需求， 也深化了对线性方程组的研究

5.1平面上线性变换的几何意义 设x及y分别为n及m维向量，A为m×n矩阵，把方程Ax=y中 的x看成输入变量，y看作输出变量，则这个矩阵A就执行 了把x域内的向量组变成y域内向量组线性变换。若A是 2×2矩阵，则如图5-1所示，直线变换后仍为直线，三角 形仍为三角形，且线段的比例也不变，中点仍在中点。图 中v指变换前的点，T(W)指变换后的点。此处T(W=Av。 T(v3) T(v1) T(v2)

5.1 平面上线性变换的几何意义 设x及y分别为n及m维向量，A为m×n矩阵，把方程Ax=y中 的x看成输入变量，y看作输出变量，则这个矩阵A就执行 了把x域内的向量组变成y域内向量组线性变换。若A是 2×2矩阵，则如图5-1所示，直线变换后仍为直线，三角 形仍为三角形，且线段的比例也不变，中点仍在中点。图 中v指变换前的点，T(v)指变换后的点。此处T(v)=Av

平面线性变换产生的图形示例 用本书pla501来完成计算和绘图，其核心语句如下。 X=[0,1,1,0;0,0,1,1];subplot(2,3,1),fl(x1,),0],[x(2,:),0],'r） axis equal,axis([-1.5,1.5,-1,2]),grid on A1=[-1,0;0,1],y1=A1*x,subplot(2,3,2),fly1(1,),0],y1(2,),0],'g) 这里把y2~y5的绘图语句中的坐标设置和标题语句都作了 省略，读者不难从y1的绘图语句推断。运行这个程序可以 得到前面列出的y1y5的值，它们与x一样都用2×5的矩阵 表示，同时得到图5-2所示的图形。可以看出，矩阵A1使 原图对纵轴生成镜像（反射），矩阵A2使原图在横轴方 向膨胀，矩阵A3使原图在纵轴方向压缩，矩阵A4使原图 向右上方剪切变形，矩阵A5使原图沿反时针方向旋转 t=pi/6

平面线性变换产生的图形示例 • 用本书pla501来完成计算和绘图，其核心语句如下。 • x=[0,1,1,0;0,0,1,1];subplot(2,3,1),fill([x(1,:),0],[x(2,:),0],'r') • axis equal,axis([-1.5,1.5,-1,2]),grid on • A1=[-1,0;0,1],y1=A1*x, subplot(2,3,2),fill([y1(1,:),0],[y1(2,:),0],'g') • …… • 这里把y2~y5的绘图语句中的坐标设置和标题语句都作了 省略，读者不难从y1的绘图语句推断。运行这个程序可以 得到前面列出的y1~y5的值,它们与x一样都用2×5的矩阵 表示，同时得到图5-2所示的图形。可以看出，矩阵A1使 原图对纵轴生成镜像（反射），矩阵A2使原图在横轴方 向膨胀，矩阵A3使原图在纵轴方向压缩，矩阵A4使原图 向右上方剪切变形，矩阵A5使原图沿反时针方向旋转 t=pi/6

不同的矩阵A产生的变换结果 例5.1设x为二维平面上的一个单位方块，其四个顶点为 (0,0),（1,0),（1,1),(0,1),加一个(0,0)。把不同的2×2矩阵A 左乘此组2×5数据矩阵，可以得到多种不同的图形。 (1) 10 A1= 1 )0110 y2= 1.5 1.5 0 0 (2) /0 0 1.0 1.0 Y3= 0 1.0 1.0 0 (3) 0.5 0.5 0 0 1.0 1.5 0.5 0 (4) A4= y4= 1.0 1.0 0 cos t -sin t 0 0.866 0.366-0.500 0 A5 (5) y5= sint cos t 0.500 1.366 0.866 0

不同的矩阵A产生的变换结果 例5.1 设x为二维平面上的一个单位方块，其四个顶点为 (0,0), (1,0), (1,1), (0,1),加一个(0,0)。把不同的2×2矩阵A 左乘此组2×5数据矩阵，可以得到多种不同的图形。 (1) (2) (3) (4) (5) 1 0 0 -1 -1 0 0 , 0 1 0 0 1 1 0     − = =         A1 y1 1.5 0 0 1.5 1.5 0 0 , 0 1 0 0 1.0 1.0 0     = =         A2 y2 1.0 0 0 1.0 1.0 0 0 , 0 0.5 0 0 0.5 0.5 0     = =         A3 y3 1.0 0.5 0 1.0 1.5 0.5 0 , 0 1.0 0 0 1.0 1.0 0     = =         A4 y4 cos t -sin t 0 0.866 0.366 -0.500 0 , sin t cos t 0 0.500 1.366 0.866 0     = =         A5 y5

不同的变换矩阵A生成的图形 (a)x=[0,1,1,0:0,0,1,1] (b)A1=-1,0:0,1] (c)A2=[1.5,0:0,1] 02 0 0 0 0 (d)A3=[1,0:0,0.5] (e)A4=[1,0.5;0,1] (①A5=[0.866,0.5；-0.5,0.866] 2 2 0

不同的变换矩阵A生成的图形 -1 0 1 -1 0 1 2 (a) x=[0,1,1,0;0,0,1,1] -1 0 1 -1 0 1 2 (b)A1=[-1,0;0,1] -1 0 1 -1 0 1 2 (c)A2=[1.5,0;0,1] -1 0 1 -1 0 1 2 (d)A3=[1,0;0,0.5] -1 0 1 -1 0 1 2 (e)A4=[1,0.5;0,1] -1 0 1 -1 0 1 2 (f)A5=[0.866,0.5;-0.5,0.866] 1  2   1  2  1  2  1  2  1  2 - 1

变换矩阵A的意义 把这些变换矩阵看做两个二维列向量的组合A=[α1，a2], Q1,α2也被称作此变换的基向量，图上画出了这些向量。 线性变换A对x平面上不同方向的向量产生的作用是不同的。 可以取x平面上的一个单位向量，让它渐渐转动，看看变 换后的y=Ax如何变化。MATLAB设计了这样一个演示程 序，程序名为eigshow,其输入变元是二维矩阵A。键入 eigshow([1,0.5;0,1)就出现了所示的图形。 用鼠标左键点住绿色的x向量并拖动它围绕原点转动，它表 示原坐标系中的单位向量。图中同时出现以蓝色表示的 Ax向量，它表示变换后的新向量y。y与x在长度和相角上 的不同就表示了该变换造成的这个向量的幅度增益和相角 增量

变换矩阵A的意义 把这些变换矩阵看做两个二维列向量的组合A=[α1 ,α2 ]， α1 ,α2也被称作此变换的基向量，图上画出了这些向量。 线性变换A对x平面上不同方向的向量产生的作用是不同的。 可以取x平面上的一个单位向量，让它渐渐转动，看看变 换后的y=Ax如何变化。MATLAB设计了这样一个演示程 序，程序名为eigshow，其输入变元是二维矩阵A。键入 eigshow([1,0.5;0,1])就出现了所示的图形。 用鼠标左键点住绿色的x向量并拖动它围绕原点转动，它表 示原坐标系中的单位向量。图中同时出现以蓝色表示的 Ax向量，它表示变换后的新向量y。y与x在长度和相角上 的不同就表示了该变换造成的这个向量的幅度增益和相角 增量

eigshow([1,0.5;0,1])产生的图形 [1.000.50#0.001.007 9/01 ake A'x porallel to 可 习东a韩【加eR0 图5-3 矩阵A4的特征向量和特征值演示

eigshow([1,0.5;0,1])产生的图形 图 5-3 矩阵 A 4 的特征向量和特征值演示

图上的特征值和特征向量 当两个向量处在同一条直线上时（包括同向和反向），表示 两者之间的方向重合，只差一个实数乘子入。 AX=λX (5.1.7) 把这时的向量x称为特征向量，对应的乘子λ称为特征值。 在这个图中，当x转到士1的水平位置时，Ax也恰好与x重合， 并具有同样的长度，说明其特征值等于1，特征向量则是 实数单位向量1+j0。至于不同方向的x所产生的y=Ax,只 靠特征值和特征向量就无法解释了，必须观察整个x-Ax的 曲线。例如在x位于45度附近时，Ax变得很长，这就说明 了原来单位方格的对角线被拉长，形成了剪切现象

图上的特征值和特征向量 当两个向量处在同一条直线上时（包括同向和反向），表示 两者之间的方向重合，只差一个实数乘子λ。 Ax=λx （5.1.7） 把这时的向量x称为特征向量，对应的乘子λ称为特征值。 在这个图中，当x转到±1的水平位置时，Ax也恰好与x重合， 并具有同样的长度，说明其特征值等于1，特征向量则是 实数单位向量1+j0。至于不同方向的x所产生的y=Ax，只 靠特征值和特征向量就无法解释了，必须观察整个x-Ax的 曲线。例如在x位于45度附近时，Ax变得很长，这就说明 了原来单位方格的对角线被拉长，形成了剪切现象

特征值和特征向量的意义 ·矩阵A的特征向量和特征值是指能满足特征 方程(5.1.7)的x和入，两者分别表徵了特征点 所处的方向和畸变的大小。为了进一步看 出矩阵的特征和它们变换的效果之间的关 系，可计算出这五个矩阵的行列式和特征值。 特征向量p和特征值λ的手工计算很繁，只 要求读者能用MATLAB计算。调用的命令 是[p,lambda]=eig(A),这里同时计算了A的 行列式及特征值，结果如下：

特征值和特征向量的意义 • 矩阵A的特征向量和特征值是指能满足特征 方程(5.1.7)的x和λ，两者分别表徵了特征点 所处的方向和畸变的大小。为了进一步看 出矩阵的特征和它们变换的效果之间的关 系,可计算出这五个矩阵的行列式和特征值。 特征向量p和特征值λ的手工计算很繁，只 要求读者能用MATLAB计算。调用的命令 是[p,lambda]=eig(A)，这里同时计算了A的 行列式及特征值，结果如下:

五种变换矩阵的特征值特征向量 n=daa=-ln-[09=[)9 (5.1.8) de)-15 (5.1.9) n=d=5-[8 (5.1.10) 0 1a[8 m-w=-L-[094[0] (5.1.11) 0 )0.866-0.5i (5.1.12)

五种变换矩阵的特征值特征向量 1 1 1 0 1 0 det( ) 1, , 0 1 0 1 D      − = = − = =         A p 1 1 2 2 0 1 1.0 0 det( ) 1.5, 1 0 0 1.5 D      = = = =         A p 2 2 ， 3 3 0 1 0.5 0 det( ) 0.5, , 1 0 0 1.0 D      = = = =         A p 3 3 4 4 1.0 -1.0 1 0 det( ) 1, , 0. 0. 0 1 D      = = = =         A p 4 4 5 5 0.7071 0.7071 0.866 + 0.5i 0 1, , - 0.7071i 0.7071i 0 0.866 - 0.5i D      = = =         p5 (5.1.8) (5.1.9) (5.1.10) (5.1.11) (5.1.12)