第5卷第2列 STUDIES IN高等弦美既器HEMATICS 8 论工科线性代数的现代化与大众化 陈怀琛 (西安电子科技大单电子工程学院，陕西安710071 摘要针对现有工科线性代数教学大钢没有明确应用需求背录的事实，给出工程学科中大量的线性代数向 题它们必须借助数学软件才能得到解决，由此说明课程现代化的必要性指出线性代数中的 学生并无用处，将它们简化将能有利干本课的大众化。为了课程现代化和大众化，建议把线性代数分成两门课来 上，第一门是一年级的必修公共课：第二门是高年级的选修深人课 关键词 线性代数：数学软件：矩库计算：行列式：向量空间：特征根：特征向是 中图分类号0151.26 文献标识码A 文章编号1008-1399(2012)020000-00 数学与工程的结合在本世纪中最明显特色就是 1965年制订。由于课程当初主要用于数学系，因此 计算机广泛应用于科学计算，但是在大学的数学教 比若重占层抽象的“N维向量空间”，目标是为更抽 育中，并没有得到充分的体现，学生学习的主要仍是 象的高年级数学课程作铺垫。“矩阵应用”的这个侧 笔算，与未来的工作严重脱节。在线性代数课程中 面则受到相当程度的忽视，与后续课的需要存在着 这一点表现尤其明显。实践证明，线性代数课程的现 巨大鸿沟。 代化改革将是提高大学数学教育应用水平的一个有 20世妃后50年计管技术的高速发展，推动了大 效的切人点，本文将对此讲行论述。 规模工程和经济系统问的解决。使人们看到，线性 1 关于线性代数课程目标的争论和演变 代数和相关的矩阵模型是如微积分那样的数学 具。无所不在的线性代数问题，等待着各层次的工程 从上世纪起，线性代数从一门较抽象的理论学 技术人员快速精确地去解，修这门课程的学生绝大 科发展成为所有专业科学计算的技术基础，从少数 多数已是非数学系的。然而，这门课程却仍然沿用了 数学家的象牙之塔讲入到每个大学牛的手头工且 为数学系设计的以抽象的N维向量空间为主线的 库。这一转换可以概括为“现代化” 和“大 众化”两个 大纲，对矩阵模型及相关的计算极度地忽视。大多数 方面，没有任何 ]其他课程会在短期内经历这样 学生对这门课的反映是抽象、冗繁，枯燥、无用。他们 的巨变。如何认识和应对这个变化，并在有限的时间 在毕业并工作多年后仍普遍批评这门课“有用的不 内，把最需要的内容教给具有不同需求的学生，使课 教，教了的没用”，提出了列的改革题求 程的改造能够以更自觉的方式，更明确的目标，在更 对这种要求的答复集中表现 199 年美国 泛的领域向前推进，这是本文的主题。在 LASG(线性代数大纳研究组)提出的五条改革 说的“工科”，只是为了简短顺口，论述的内容也适用 议山比要占品，要满足非数学专业面向应用的需 于理、经、管等非数学专业。 要：以阵运为基础（不是向量空间）： 虽然线性代数已经列为大学的公共数学基础 从学生的实际 水平出发（低年级）：要采用最新的 课，但要记这个角色怀相当断，比日标不非常模 软件工具（用计算机）.这四条强调的都是提高 糊，它远未起到应有的作用微积分已 程的实用性，降低其抽象性。为了适应少数学生深 计划中存在了两百年，它和工科后续课已进行了无 化理论的需求，加了第五条：对想读数学学位的学 数次磨合。而线性代数的第 一本研究生教材出现在 生应另开一门高年级课程。这些建议在美国的线 190年代，第一本本科教材出现在1959年，第一个 性代数界得到了广泛的支持 1992 年起，又由国 CPMU(美国本科数学大纲委员会)建议大纲于 科学基金会(NSF)资助了为期六年的AT1AST 划团，对教师讲行数学软件的培训。美国当前的教 基金项目：高教司项日利用技术T具改法课程 “用sd 学内容和教材3,已经与20年前大不相同了。概 作者简介：怀实改工科线性代 ,主要从工科漫君 括起来 “是现代化，普遍用计算机解决 可题 是大众化，使理论基础不高的普通学生都能听懂
2 并会用矩阵解题。MTT的G.Strang教授提出了 “用数学”，层次差别也很大。再就是需典·知可能 “让线性代数向世界开放”的口号可，听他视频课 往往难于兼顾，为达到最主要的目标，必须要忍痛 的已超过100万人。 割爱。所以选择课程内容和方法时要在这些方面 中国的线性代数在1980年代开始进入大学 下功夫。 1995年，教育部数学教指委正式发布了对它的“教 工科对线性代数的需求及要增补的内容 学其本要求”它所用的恰恰县羊同改革前的大细， 面且理论功深.实践为零。卧对理论和实践严重失衡 我们主必以机械类、申子信良类、和控制类的教 学计划为对象进行调查，研究它们的后续课程中有 哪些地方用到线性代数。从在的结果中可以发现 要抓了“有用的不教”、“实践为零”的问题，先利用 各专业都有十门以上的后续课要用线性代数，下面 补十教材《线性代数实践及MATLAB入1同，细 在力学、电路、自动控制原理和数字信号处理四门课 织了全校的教师培川班。又绵写了理论与实俄结合 中各举一个普通的例子（图1）. 的教材《工程线性代数(MATLAB版)可，在学生 7 中进行了试点教学。目的就是强调矩阵建模和计 机应用那个侧面，这些工作得到了数学基础课程分 教指委的赞同和高教司的支持，2009年，高教司设 0.5△ 立了“利用信自书术工且改浩课程”的原目，其中由 西安电子科技大学牵头，18所大学参与，实施 “用 MATLAB及建模实践改造工科线性代数 子项。 年多来，共有200多名教师、45000名学生参加了这 )这个流包的模型是三阶复教找生 项改革，由于利用了概念形象化的手段、算题简捷化 的丁且和丰京多彩的应用实例.受到参试师生善治 的欢迎。在2011年项目评审时得到了教育部高 校数学与统计学教指委数学基础课程分教指委的高 度评价。参试师生提出的主要诉求是增加上机实践 的时数。 要补充实：践内容，只要证明旧内容的不足，容易 114m1 16m 得到认可。但学时会有所增加，而且解决不了理论过 (b)这个站构的力学镀型是13背线性方程组 难过深、数学系味道太重的问题。全面的改革，应该 刑掉部分工科当前不用的东西，这就容易引起争议 弄不好影响改革进程。因此这两年中，我们对理论简 化的问题没有付诸试哈。主要讲行调杏，只动口，不 动手。现在机算的问题已经解决，我认为应该进人对 理论教学内容作改革的攻坚阶段。这里最重要的出 发点是“需求牵引”，因为后续课和毕业后工作的需 求是客观存在并与时俱进的，按照客观需要决定教 (⊙这个控制系统的型是四线性方程 学大是课程麻合的好方法。试里特别要强腊曲占 ·是把学生的近期需求与远期需 相 对于大学一年级来说，本科的后续课要用的内容，属 于近期需求，必须尽力满足，而且应该列为必修的内 容；远期需求是指未来工作或考研等可能用到的内 容，不应列为公共基础课内容，可以到高年级时由少 数学生选修 其二是数学系学生要“搞数学”，非数学系学 (山个器的桃型是13阶性方程 生则是要会“用数学”，这两者是很不同的。同样是 图1 几门后续误中到的线性代数模
3 这此题本该用矩阵求解，但现在的师生都只会 程及各点误差：它们是否钩成一个圆？求该拟合圆的 用低效初等的代人法、消去法来解。 方程（图2）。 在文献[2-6】中可以还找出类似的儿十个例 -11.3247月17%：+1213.1796y 子，比如三坐标测量仪的数据分析要用矩阵，测量 卫星轨道数据要解超定矩阵方程，頫谱分析要用 1024阶复数矩阵乘法，根据k点幅谱要求设计N 阶最佳滤波器遇到的是N阶超定方程：数值方法 课中N点的曲线拟合要解N一1阶超定方程；解偏 微分方程的有限元法要解儿十万阶的矩阵方程 “。可以说，凡是要用计算机解题的地方都要用矩 阵但后统课需要解的县高阶、复数的线性方程 组，而我们的线性代数课程没有教学生矩阵求解 的软件工具，包括数百万现在已是各行业骨干的 数师及工程师都没学过。矩降模型若不用软件 且，比效率还不加却等代数，而复杂此的，加图1中 ()五个空间点及合平面 的(d,十个小时也算不出来。图1 中的这些题目者 按矩阵模型用计算机算，几分钟就解出来了。这不 是在国际科学技术竞争中自甘落后吗？ 说到底，工科机，电、控制专业所需要的数学，无 非是代数和微积分，代数问题比微积分还多。毕业的 学生遇到微积分还可以去查查书，找解答：碰到代数 问题就一筹莫展。代数题的特点是“紧”，“矩阵 软件”是针对这个特点的杀手铜。现在的线性代数 只教前一半，那就是丢掉了这个杀手铜的桔髓。稍复 杂些的代数问题就不会解，而它占到了工程中数学 问题的一多半。这种教学中的偏领已经造成我国 代人才在数学能力上的畸形，严重影响了工科学生 ()坐标龄棒后平面成为一根线 图2三维空间五点的共面性分析 的接养质量 例2给出三角形刚体在平面上的初位置和绘 除了解高阶方程这一头的缺失之外，在向量 位置，问这个位移如何用矩阵乘法来表示？从初位置 空间这一头也有间颗。传统的线性代数总强调N 到终位置，如何分成十步来实现连续动画（图3） 维抽象向量空间的重要性。我们也在本科果程中 进行了调查，可是到现在还没有找到 一个有说服 力的需求实例。有人指出，将一个函数展开为 阶傅里叶级数，可以看成是N维向量的叠加。是 的，专门搞代数的人可以这样去理解，但绝大多 数搞工的老师和本科教材都不会从这个角度去 思考，而是用波形叠加来理解，这更加符合工科 形象思维习惯。 对工科大学生来说，最重要的是看得见、摸得者 的欧儿里得空间，后续课中就有很多实际应用问题， 有些是在现代化机械车间中就会遇到的： 例1 三坐标测量仪测得工件截面上五点的 图3平面运动表为矩阵烫法 维坐标，问这些点是否在一个平面上？求该平面的方
例3任何刚体的空间转动能否又怎样用矩阵 数学家Wom在2010年指出，即使是差国，在学 乘法表示 校内的许多课程仍然在用手算，而到企业和社会上， 3D动画需要把三维物体的形象投影到 他们所用的都是CAD软件，即机算，如果仍然只会 二维的屏落上，怎样用矩阵运算来实现投影？ 手算，他们将被解雇。“School math(学校数学)”不 这此都县很直观的“线性代数和空间解析几何” 向“Real world math(直实世界数学)”靠找，会浩 的问题，但按现在的不用计算机的教材教课，这些 成巨大的鸿沟，浪费大量的社会资源，影响国民经济 题都是解不出来的。也就是说，在向量空间的敦学内 的发展，这段话对线性代数尤其适用 容上，喊的是N维向最空间，其实连二、三维的问颗 工科学牛学数学是为了“用数学”，数学系学中 都没搞懂，而后者才真正是工科大学本科的迫切 是“搞数学”（指研究数学），其实大多数数学系学生 求。当把上述间题用计算机软件来解时，空间解析儿 毕业后是做大、中学数学老师，也还是用数学，搞数 何又进人了新的层次。并且为学生理解和堂捏三坐 学的是极少数。这两者有很大的不同，培养的方法也 标测量、机器人和机械手、计算机图形学、2D,3D动 应该完全不同。举学车为例吧，在儿十年前，当汽车 漫技术、三维空间六自由度航行器运动学等广泛的 还没有大批量生产时，车的质量不稳定，开车的人罗 即代化新课程作了准各 不渐地甜整修用它的各种部件，开车的必须懂汽作 线性代数花了很大篇幅讨论N维向量空间，这 的详细结构，培养一个司机和培养 个技术品差不 在当时也许是合理的。因为教学对象是数学系的研 多，要花很多时间：到了今天，由于汽车质量的提 生，福调的是推导和证明.那时不没有计算机，不 和各种自动化装置的应用，学开车可以完全不了解 能指望线性代数有多少工程应用价值.现在时代发 车的结构.他们只要知道驾座周围的仪表和操纵 生了巨大的变化，线性代数已成为科学计算的基 杆会对车的运动产生何种影响，又认路，就能熟练 教学对象是立体概念尚待生立的低年级学生（我蚁 驶了。学开车只要几天，开车大众化很容易实现 寸制图，知道让有此人神立空间每念是多么困难，何 “用数学”和“搞数学”的差别也类似，由于数 况N维)，计算机已普及到人手 台，强调的是面向 软件已经高度自动化，“用数学”者对于数学理论的 现代化工程应用。目标、对象、条件都不同了，大纲怎 推理和证明的要求可以大大降低，对计算的细节也 么能一成不变呢？50多年来，线性代数的发展都是 无需深究，主要要知道所做计算的目标和物理意义， 闹绕着计算技术实现的，它的教学内容当然应该体 知道达到目标的多种途径及其优劣，能做出比较选 现出时代的精神 择。还要知道数学软件中各种命令的用途，以及计算 由于线性代数内容非常丰富，各类学生的需求 机可能作出的反成。正如钱学查指出的灯，“数学因 在理论和应用两个领域又有很大的差异，可以设想 不是为了学生学会自己夫求解，而是为了学生学会 改革的大方案应该是把线性代数分成两门课。第 让电子计算机去求解，学会理解电子计算机给出的 门是低年级公共课，强盟矩阵方程的解和欧氏空间， 容案，知其所以然。 强调形象教学和感性认识，强调计算机软件应用，以 食行列式作为例子。中国大部分线性代数书 满足本科四年中各后续课程的科学计算需求为必达 都从数序起讲，光N阶行列式的定义和它的性质 的起码目标：第二门是高年级选修课，它可以为数学 就要花儿个学时，但大部分的师生连 三阶行列 系的后续课程做铺垫，也为可为考研做准备，其内容 式的川音义都不知首，付四阶卜行列式从 可有史高的抽象性。不过学第二门课也要有第 来没有算过，更没有用过。人们都知道行列式的用 课作为基础，因为任何高级的抽象思维必须建立在 途足判解的存在性，再问一下，判解和求解哪个容 大量的感性知识之上。这样，第一门课就会变得较为 易？多数人是答不出来的1盐实，用高斯消元洪解 形象而易学，全体理工科本科和大专学生都要修，所 方程比按定义计算行列式快得多，即求解比判解 以要特别强调它的大众化方向。 的计算复杂度小很多(5阶差10倍，25阶差102 倍)，与其费力判解，不如直接求解。用计算机算题 3解决好线性代数课的大众化问题 都是直接求解，如果无解，计算机会告诉你.“行列 要解决好这个问题，首先要弄清楚工科毕业生 式接近于零，解不可靠”，这时工程师要做的是从 究竞是如何使用数学的.开发Mathematica软件的 物理上找原因，决不必去重算行列式的。只有书呆
子才会先算行列式判解，再去求解如果右人按克 唯一性，这个命题就没必要研究下去了！不知线性代 拉歌法则管N+1个行列式去求N个解，中是N重 数为什么例外，明明已由行列式为零判为庸解的命 的书子了老师教了学生所有算行列式的方法 题，却还要花时间去研究这些庸解组成的空间？这绝 不结合应用.貌似内容多、水平高，其结果很可能 不是工科的需求！目前知道，它的唯一的需求是来自 培养出来“不会用数学”的书呆子！ 线性代数自身的求特征向量，因为求的解不是一个 舍简就紧的根源在于“犒数学”的人看来，最 点，而是 一根过原点的线（即一维子空间），才出现欠 重要的是解的“存在和唯一性”，要从源头就有严 定方程组能解的问颗 格的证明，这就必须从严格定义出发，所以行列式 特征向量的计算实际上涉及三个串接的难关， 便被奉为圣灵，放在线性代数的第一章第一节开 第一个是求持征方程，它涉及到繁琐的行列式计算； 进。因为要笔算行列式，所以要引出并证明它的许 第二个是特征根的计算，涉及一元高次多项式求根： 多性质而从“用数学”的人看来，既然行列式计 第三个才是解欠定方程组，想用手算矩阵的特征问 根本无助于求方程解，那么为了计算它而推导的 量必须过这三关，其中最难是第二关，因为手工只能 性质都没右工程价值，完全可以不进。只要以一 求到二阶，到了三阶，这一关就过不去，在第三关上 三阶行列式为例弄清它的儿何意义，知道它等于 下再大功夫也是白搭。可见，即使是三阶（非老师清 零为什么意味若无解或向最组线性相关就够了， 好的)实系数方阵，特征向量就不可能靠手算求出 真正计算必须得靠计算机 更无必要拉扯出更抽象的N维向量子空间。要想对 有些老师会认为这样讲行列式水平太低了，我 学生有用，主要是讲清特征向量的概念，要计算必须 建议您们看看Sag在教材[5]中是怎么讲的，他 得靠计算机 特意把行列式列为第五章，并在序言中写明了这样 上面举了两个例子，都是占学时很多的难点，却 布局的意义，就是为了贬低行列式计算，避免误导学 都不是工科本科所需要的重点，可以大大精简。其他 生直去算它在这章中，他讲了行列式的十个性质 的内容也可以用类似的方法（即按它对工科有无用 代数余子式以及克拉默法则，采用的方法都是举 处来判断取舍)来处理，在这个过程中，我们才能 三阶行列式的例题来说明（不是证明）。几句话带过， 正吃透线性代数的全部内容，并用各专业需求的胃 就是只要你知道有这么回事，他的这本书就这样完 液对它进行消化，创造出适合于相应专业的浓缩营 全避开了任何N维空间的推导，同时他的课却得至 养品，培养出真正会用数学的人才。不做这个消化 了一百万的听众，在中国这样的书该被嗤之以鼻了。 作，像反乌动物一样，把吃讲夫的素材全部照样叶· 所以要想出版大众化的教材，评价的标准必须把易 来喂学生，那是很不可取的.要做好消化工作，数学 懂实用（而不是证明严密）放在第一位。大众化的线 和专业敦师的结合是必不可少的条件。靠清一色的 性代数不仅要能为普通大学的新生所接受，最好也 同行教师来搞改革，很不利于创新思维的出现。作为 能为高职高专的学生所掌握和使用，那就必须删去 工科出身的教师，我愿意同有志于斯的数学家合作， 一切人为的“路虎”，把线性代数变得浅显易懂 共同编写大众化的线性代数教材。我所写的线性代 再来看线性方程组解的特性的讨论，其实难点 数及后续课用矩阵解题教材和许多论文可在我的主 就是研究欠定方程组的解空间，那是 个占学时很 (htp://chen.matlabedu. n/)中找到 多，师生都感到摸不到头脑的主题，它在工程上的用 有些老师会反对，说你要删去的这些理论对增 途却儿乎为零任何一个正确建立的工程问题以箱 养学牛思维能力多么重要。这典看学时约束条件，争 存在确定的解，故其数学模型只可能是适定或超定 论的焦点是：对非数学系低年级，在有限的学时内 不可能是且有无数庸解的欠定方程组。欠定方程县 什么县学生最需要并能馆接受的内容，有此争论可 条件欠缺造成的，工程师可以用“条件不足”为理由 能会持续较长的时间，为了不影响公共课教学大纲 而拒绝欠定命题，超定命题则是工程师必须会解的 的制订，我们建议设置一门高级选修课，它可收容这 现在却不教。“大讲欠定，不讲超定”是线性代数“教 些有争议的高深内容，而保证必修课程中内容的实 了的没用，有用的不教”的典型。其实，数学界从来 用和精炼公共线性代数的大众化每年将使儿百万 强调命题的“存在和唯 ”,也就是说，如果解不满足 学生和技术人员受益，他们将接受概念简洁，目的明
确的理论，并日会用什算机方便地解决西到的代数 师太少，需要形成一个学习和培的环培，像羊国 问题，使数学用于现实世界，对我国的现代化事业价 在1992一1997年实行的ATLAST计划那样：“大 出巨大贡献。高级线性代数课程是为拟深造理论的 众化”应该是我们奋斗的当前和长期的目标，需罗 高年级工科及数学系学生进行铺垫的。在大四开这 各方面的专家权威进行吏多的分析和论证，希 门选修课，学生的理论和实践的基础都打好了，接受 教有部的学术指导部门能予以足够的关注，能参 能力大大提高，而且选课的必是学生中的尖子，任课 照美国LACSG那样，组织各方而专家进行有充分 教师人数诚少了，执教者必是教师中的精华。可以放 准备的讨论，形成有权威的改革建议 手讲他们擅长的内容，教学质量必有很大的提高学 生学完后很快参加考研，效果肯定好得多（现在的考 参考文献 研题也该改，要理论与实践结合)，何必要在低年级 [1]Calson D.Johnson C.Lay D.et al,Resources for 上那些太抽象的课，让90%以上的师生陪绑受罪 Teaching Linear Algebral Ml 吃力不讨好呢。把线性代数分成两门课可以防止基 MA. 本学时的膨胀，确实会是领导、各类教师、各类学生 ation of America.1997:53-58 皆大欢喜的事，我们应该促成它的实现 2]Leon S.Herman E.Faulkenberry R.ATLAS Computer Exercises for Linear Algebral M.2nd ed. 4结语 Fmulkenberry:Prentice Hall.2003. 对工科学生而言，数学课应该使他们有宏 C37 Lcon S.Linear Algebra with Applications M].6th ed. 的用数学的思想，要使工程师了解工程中可能国 北京.机械工出社.202. 到的各种数学问题的类别，并且知首应该用什么 []1 vD. 样的数学理论和软件工具来解决，这是 一种高水 北京：电子工业出版社：2004 [5]Strang G.Introduction to Linear Algebra[M].4th ed. 平的抽象，由于计算机软件的高度发授和自动化， Wellesley MA:Wilsley-Cambridge Press.2009. 他人和前人的经验都已经集成在教件中，不必自 己部憧，不 [6们陈怀探，龚态民.线性代数实践及MAT1AB人[M口.2 定要求掌握其编程、推导的细节。用 版.北京：电子工业出版社，2009 了载件，后续课和工程中大品的线性代数以及其 [7陈怀球，高淑潭，杨减.工程线性代数：MATLAB版 他数学问题，就有了多快好省的解决办法。所以 M0北京：电子工业出版社，20 现代化”是“大众化”的基础。现在“现代化”的客 [8]钱学森.回顾与展望：老交大的放事[M南京：江苏文 观条件已经完全具备，主要是掌握软件工具的老 艺出版社，19S8. On Modernization and Popularity of Linear Algebra for Engineering CHeN Huaichen Alsstract:The curriculum of engineering linear algebra was studied.Its main problem was Inck of elear application demand Many linca that solved without computer were shown.Using software can make this course more useful.Many difficult theories were pointed out to be useless in nom-mathematical area.Simplifying these contents can make this course more popular.To realize moderization and popularity,suggestion of spliting the course into two (one as common required lowerdevision course.the other as an clective upper- Keywords: lincar algebra,mathematical software,matrix computation,determinant,vector space.eigen value.eigen vectors