第3章行列式 行列式是公元1690年前后诞生的。在传统的线 性代数中，行列式都被放在第一章第一节，其 中充满着繁琐的数学推导，也是初学者最大的 拦路虎之一。但是，随着高斯消元法和计算机 的广泛应用，在方程求解软件中已经嵌入了主 元非零的判解条件，完全可以避开行列式传统 讲法中的多种概念和复杂公式，大大节约了篇 幅，也降低了工科读者的入门难度
第3章 行 列 式 行列式是公元1690年前后诞生的。在传统的线 性代数中，行列式都被放在第一章第一节，其 中充满着繁琐的数学推导，也是初学者最大的 拦路虎之一。但是，随着高斯消元法和计算机 的广泛应用，在方程求解软件中已经嵌入了主 元非零的判解条件，完全可以避开行列式传统 讲法中的多种概念和复杂公式，大大节约了篇 幅，也降低了工科读者的入门难度
3.1二、三阶行列式的意义 3.1.1二阶行列式 行列式的主要用途是判断线性方程组的解是否存在和唯一。 例3.1求下面二元线性方程组的解 41x1+412X2=b, a21X1+a22X2=b2 解：用第二个方程减去第一个方程的421/a,写成矩阵 411 412 当两个主元都不等于零时，可解出x和x为 x=4,-642 5=a6-46 411a22-412021 411a22-a12a21
3.1 二、三阶行列式的意义 3.1.1 二阶行列式 行列式的主要用途是判断线性方程组的解是否存在和唯一。 例3.1 求下面二元线性方程组的解 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b + = + = 21 11 a a ( ) 11 12 1 1 22 12 21 11 2 2 21 1 11 0 a a x b a a a a x b a b a = − − 解: 用第二个方程减去第一个方程的 ，写成矩阵 当两个主元都不等于零时，可解出x1和x2为 11 2 21 1 2 11 22 12 21 a b a b x a a a a − = − 1 22 2 12 1 11 22 12 21 b a b a x a a a a − = −
二阶行列式的定义 ·为了便于记忆，引入双竖线记号： D= a11 412 adz2 -di2dz1 det 41 det(A)(3.1.2) a21 a22 421 称为该系数矩阵A的行列式(Determinant)。把a11,a22的连 线称为丰对角线，把2,2的连线称为其对角线：则二 阶行列式等子主对角线元素乘积减副对角线元素的乘积。 方程组(3.1.1)的解可表示成x1=DD,2=D2/D,其中 ba412 a11 D= D2= b b2 (3.1.3) a22 分别为将方程常数列b取代矩阵A中1,2列所得的行列式。 由此得到判定二元非齐次方程组(3.1.)解的存在判据：其系 数矩阵的行列式det(A)必须不等于零
二阶行列式的定义 • 为了便于记忆，引入双竖线记号： (3.1.2) • 称为该系数矩阵A的行列式(Determinant)。把a11,a22的连 线称为主对角线，把a12,a21的连线称为其副对角线，则二 阶行列式等于主对角线元素乘积减副对角线元素的乘积。 • 方程组(3.1.1)的解可表示成x1=D1 /D，x2=D2 /D，其中 (3.1.3) 分别为将方程常数列b取代矩阵A中1,2列所得的行列式。 由此得到判定二元非齐次方程组(3.1.1)解的存在判据：其系 数矩阵的行列式det(A)必须不等于零。 11 12 11 12 11 22 12 21 21 22 21 22 det det( ) a a a a D a a a a a a a a = = − = = A 1 12 1 2 22 b a D b a = 11 1 2 21 2 a b D a b =
例3.2二阶行列式的几何意义 平面上有一个平行四边形OACB,A、B两点的坐标分别为 (a1,b1)(a2,b2),如图所示，求平行四边形OACB的面积。 解：作辅助线，从图上可得： SOACB-SOEDB +SCDB-SALO-SAEDC B(az,b) -SOEDB-SAEDC =ab2-a2b 4(a,b1) 说明该平行四边形的面积刚好等于 以A、B两点坐标所构成的二阶行列式。 由此可见，如果两个向量共线，它们构成的平行四边形面积 为零，其行列式也为零，方程无唯一解的几何与代数判据 就得到了统一
例3.2 二阶行列式的几何意义 平面上有一个平行四边形OACB，A、B两点的坐标分别为 (a1 ,b1 )(a2 ,b2 ) ，如图所示，求平行四边形OACB的面积。 解：作辅助线，从图上可得： 说明该平行四边形的面积刚好等于 以A、B两点坐标所构成的二阶行列式。 由此可见，如果两个向量共线，它们构成的平行四边形面积 为零，其行列式也为零，方程无唯一解的几何与代数判据 就得到了统一。 OACB OEDB CDB AEO AEDC OEDB AEDC 1 2 2 1 S =S +S -S -S =S -S = − a b a b
3.1.2 三阶行列式 ·例3.3求下面三元线性方程组的解 411x1+412x2+a13x3=b1 21X1+a222+a233=b2 a31x+a32X2+a33X3=b3 ·解：利用高斯消元法可以得到 412243+41242341+a342142-413422431-a124a21a33-a1a23a32) =b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-a13a22b3-a12b2a33-b1a23a32 定义： 41a243 D=a21a2a23=41422a33+a2023431+01342142-4142n431-a42143-0142342 a1a3243 为A的三阶行列式
3.1.2 三阶行列式 • 例3.3 求下面三元线性方程组的解 • 解: 利用高斯消元法可以得到 定义： 为A的三阶行列式， 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + = + + = + + = (a a a a a a a a a a a a a a a a a a x 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 1 + + − − − ) 1 22 33 12 23 3 13 2 32 13 22 3 12 2 33 1 23 32 = + + − − − b a a a a b a b a a a b a b a b a a 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 31 32 33 a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = + + − − −
三阶行列式的几何意义 。 它是6项的代数和，每一项都是 3个元素的乘积，其中3项为正， 另3项为负。为了便于记忆，图 3-2给出了它的计算规则。左上 到右下的三个实线箭头所经的 三个元素连乘积取正号，右上 到左下的虚线箭头所经的三个 (a13,a23,033】 元素的连乘积取负号。 三阶行列式的几何意义是以三 个三维列向量为三条边构成的 平行六面体的体积，如图3-3， (a11,021,a31) y(a12,a22,a32)
三阶行列式的几何意义 • 它是6项的代数和，每一项都是 3个元素的乘积，其中3项为正， 另3项为负。为了便于记忆，图 3-2给出了它的计算规则。左上 到右下的三个实线箭头所经的 三个元素连乘积取正号，右上 到左下的虚线箭头所经的三个 元素的连乘积取负号。 • 三阶行列式的几何意义是以三 个三维列向量为三条边构成的 平行六面体的体积，如图3-3
三阶行列式的代数特征 根据三阶行列式的定义，可以把式(3.1.5)的右端定义为D1, 再扩展到x2,X,写出 b a12413 a11 a11 az b Dx=b2 a22 a23=D,Dx3=a21b2a23=D2,Dx3=a21 a22b2=D3 b3a32 a33 a31b3433 a31 432 b3 ·当此方程组的系数行列式D0时，可以得到它的解为： X=D/D,x2=D2/D,X=D3/D。其中D1、D2、D3是用常 数项列b分别替换D中的第1、2、3列所得到的三阶行列式 如果分母上的行列式D等于零，那么解的分母就为零，其 结果是无穷大（常数0），说明其解不存在。所以，系数行 列式不等于零det(A)0也是三阶非齐次线性方程组的解存 在的必要条件
三阶行列式的代数特征 • 根据三阶行列式的定义，可以把式(3.1.5)的右端定义为D1， 再扩展到x2 ,x3，写出 • 当此方程组的系数行列式D≠0时，可以得到它的解为： x1=D1 /D，x2=D2 /D，x3=D3 /D。其中 D1 、D2 、 D3是用常 数项列b分别替换D中的第1、2、3列所得到的三阶行列式。 如果分母上的行列式D等于零，那么解的分母就为零，其 结果是无穷大(常数/0)，说明其解不存在。所以，系数行 列式不等于零det(A) ≠0也是三阶非齐次线性方程组的解存 在的必要条件。 1 12 13 11 1 13 11 12 1 1 2 22 23 1 2 21 2 23 2 3 21 22 2 3 3 32 33 31 3 33 31 32 3 b a a a b a a a b Dx b a a D Dx a b a D Dx a a b D b a a a b a a a b = = = = = = ，
3.2n阶行列式定义之一：显式法 从前述的低阶行列式可以演绎出高阶行列式的定义。目前， 有三种不同的演绎方法，可形成三种定义。 (1)显式法： 根据行列式的结构直接进行演绎。二阶行列式(3.1.1)由 两项之和组成，每项为两个元素相乘；三阶行列式 (3.1.6)由六项（即3的阶乘3！）之和组成，每项为三个 元素相乘；依此类推，n阶行列式应该由n!项之和组成， 每项为个元素相乘。照此式计算时，需要做的乘法次 数为(n-1)*nl。当n=4时，3*4！=72，n=5时，4*5！=480..， 阶数略高一些，运算量更大。而演绎各项的符号规则更 加复杂，必须引入“逆序数”等概念..，很繁琐。行列 式的“可畏”，源头就在这里
3.2 n阶行列式定义之一：显式法 从前述的低阶行列式可以演绎出高阶行列式的定义。目前， 有三种不同的演绎方法，可形成三种定义。 (1)显式法： 根据行列式的结构直接进行演绎。二阶行列式(3.1.1)由 两项之和组成，每项为两个元素相乘；三阶行列式 (3.1.6)由六项（即3的阶乘3！）之和组成，每项为三个 元素相乘；依此类推，n阶行列式应该由n！项之和组成， 每项为n个元素相乘。照此式计算时，需要做的乘法次 数为(n-1)*n!。当n=4时，3*4!=72，n=5时，4*5!=480…， 阶数略高一些，运算量更大。而演绎各项的符号规则更 加复杂，必须引入“逆序数”等概念…，很繁琐。行列 式的“可畏”，源头就在这里
行列式定义之二：代数余子式法 它的思路是把显式法的表达式降阶，通过行列式按行展开的 特性，可以把n阶行列式降为n个(n-1)阶行列式。比如， 上述的三阶行列式就可以写成三个二阶行列式之和： a11 412 413 a22 a23 a, a22 D=a21 22 a2=4a2 433 +9 432 a31 a32 33 用这个方法n阶行列式的计算量为比显式法约减少n/2倍，确 定各项的正负号的规则也简化一些，但要引入更多新名 词和新概念
行列式定义之二：代数余子式法 它的思路是把显式法的表达式降阶，通过行列式按行展开的 特性，可以把n阶行列式降为n个(n-1)阶行列式。比如， 上述的三阶行列式就可以写成三个二阶行列式之和： 用这个方法n阶行列式的计算量为比显式法约减少n/2倍，确 定各项的正负号的规则也简化一些，但要引入更多新名 词和新概念。 11 12 13 22 23 23 21 21 22 21 22 23 11 12 13 32 33 33 31 31 32 31 32 33 a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a = = + +
行列式定义之三：对角主元连乘法 二方程组的系数矩阵，通过高斯消元法得出行阶梯形式 (3.1.1),其主对角线上两个主元的连乘积为a11a22 a12a21,正是其系数矩阵的行列式。 三阶方程组系数矩阵作高斯消元后的行阶梯形式为 au 412 a13 U=0(a142-a2a)/a1 423-413421/41 0 0 (a14203+a42,41+a134242-a1342z431-a242a3-a11a23a32)/（a1422-a242i） 其主对角线上的三个主元连乘积恰好等于其系数矩阵的三阶 行列式。由此可以推想，将n阶系数方阵用高斯消元法 变换为行阶梯形，其对角线上所有主元的连乘积就是该 方阵的行列式
行列式定义之三：对角主元连乘法 二阶方程组的系数矩阵，通过高斯消元法得出行阶梯形式 (3.1.1) ，其主对角线上两个主元的连乘积为a11a22- a12a21，正是其系数矩阵的行列式。 三阶方程组系数矩阵作高斯消元后的行阶梯形式为 其主对角线上的三个主元连乘积恰好等于其系数矩阵的三阶 行列式。由此可以推想，将n阶系数方阵用高斯消元法 变换为行阶梯形，其对角线上所有主元的连乘积就是该 方阵的行列式 ( ) ( ) 11 12 13 11 22 12 21 11 23 13 21 11 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 11 22 12 21 0 - / - / 0 0 ( - - - ) / - a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + U