西安电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第七章 参数估计

第七章 参数估计 §1 点估计 §3 估计量的评选标准 §4 区间估计 §5 正态总均值与方差的区间估计 §6 (0--)分布参数的区间估计 §7单侧置信区间

第七章 参数估计 §1 点估计 §3 估计量的评选标准 §4 区间估计 §5 正态总均值与方差的区间估计 §6 (0--1)分布参数的区间估计 §7 单侧置信区间

第七章 参数估计 付论数理镜计学的基本问题---镜计推断 口统计推断：利用样本提供的信息对总体的某些统 计特性进行估计或判断，从而认识总体。 口统计推断分为两大类： (1)参数估计（第七章）(2)假设检验（第八章） §7.1点估计 设总体X的分布函数的类型为已知，但是它的某 些参数是未知的，通过总体的一个样本来估计总体 未知参数的值的问题称为参数的点估计问题

设总体X 的分布函数的类型为已知，但是它的某 些参数是未知的，通过总体的一个样本来估计总体 未知参数的值的问题称为参数的点估计问题． 第七章 参数估计 §7.1 点估计 ❑统计推断:利用样本提供的信息对总体的某些统 计特性进行估计或判断，从而认识总体。 (1)参数估计(第七章）(2)假设检验(第八章) ❑统计推断分为两大类: 讨论数理统计学的基本问题---统计推断

>点估计问题的一般提法： 设总体X的分布函数为F化，O,其中O为待估计的参数.X, X2,,Xn是X的一个样本，x1,2,n是相应的样本值， 点估计：用样本X1,X2,X构造一个适当的统计量 (X1,X2,X), 用它的观察值 6(1,x2,xn) 作为未知参数的近似值.称合(K,X2,Xn为日的估计量 称x,2,x,)为的0估计值. 估计量和估计值统称估为估计，并都简记为仓. [注]参数的估计量6是样本X,X,X的函数. >点估计常用方法：矩估计法；极大似然估计法

设总体X的分布函数为F(x, ), 其中 为待估计的参数. X1 , X2 ,..,Xn是X的一个样本,x1 , x2 , …,xn是相应的样本值. ➢点估计问题的一般提法: 点估计: 用样本X1 , X2 , …,Xn构造一个适当的统计量 用它的观察值 作为未知参数的近似值.   称   (X1 , X2 , …,Xn)为 的估计量. (x1 , x2  , …,xn)  称 为的 估计值. 估计量和估计值统称估为估计,   并都简记为 . ➢点估计常用方法: 矩估计法; 极大似然估计法. [注]参数的估计量 是样本X1 , X2  ,..,Xn 的函数.  (X1 , X2 , …,Xn),   (x1 , x2 , …,xn)

矩估计法 阶样本矩 矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩.因为由 大数定律知，样本的k阶矩依概率收敛于总体的k阶矩.这种用样 本（原点）矩作为总体（原点）矩的估计量的方法称为矩估计法， 设总体X的分布函数为F(x;01,02,,0),其中0,02，…，0 为待估参数，如果μ=E(X)(i=1,2,,k)存在，u为8,02，，0 的函数，记=u(01,02,,0)(i=1,2,,k),X1,X2,…Xn为总体 X的样本，用A;来估计EX),建立k个方程： A1=1(01,02,,0 61=01(A1,A2,,A月 A2=u2(01,02,,0) 62=日，41，A2,,A A=k(01,B2,,0d 6k=0(A,A2,,A月 用仓作为的估计量--矩估计量

一、矩估计法 矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩. 因为由 大数定律知, 样本的k阶矩依概率收敛于总体的k阶矩.这种用样 本(原点)矩作为总体(原点)矩的估计量的方法称为矩估计法． 设总体X的分布函数为F(x; 1 ,  2 , ..., k),其中1 , 2 , ... , k 为待估参数,如果 i=E(X i)(i=1,2,..,k)存在, i为1 , 2 ,…,k 的函数,记i= i (1 , 2 , …, k ) (i=1,2,..,k), X1 , X2 , …,Xn为总体 X的样本,用Ai 来估计E(X i ), 建立 k 个方程: A1= 1 ( 1 ,  2 , …, k ) A2= 2 ( 1 ,  2 , …, k ) ……………. Ak= k ( 1 ,  2 , …, k ) 1=  1 (A1 , A2 , …, A k  )  2=  2 (A1 , A2 , …, A k ) …………….   k =  k (A1 , A2 , …, A k  )  用 作为i的估计量------矩估计量. i  = = n i k k Xi n A 1 1 k阶样本矩 k   2 1 Ak A A 2 1

求矩估计的方法 k阶样本矩 4名 设总体X的分布函数为F(x;01,B2,,0),其中 0,02,…,0为待估参数， (1)求总体X的前k阶矩 =E(X)=μ(01,0，，0)，=1,2，…，k (2) 令 A=4(81,82,,0), =1,2,…,k (3) 解出 6,=8,41,A2,,Ak),i=1,2,…k 仓，为0，的矩估计量

◆求矩估计的方法 设总体X的分布函数为F(x; 1 ,  2 , ..., k),其中 1 , 2 , ... , k为待估参数,  为i 的 矩估计量. i  = = n i k k Xi n A 1 1 k阶样本矩 (1)求总体X的前 k 阶矩 i=E(X i)= i (1 , 2 , …, k ) , i=1,2, .. ,k (2) 令 Ai = i (1 , 2 , …, k ) , i=1,2, .. ,k (3) 解出  i =  i (A1 , A2 , …, A k ) , i=1,2, .. ,k 

例1设总体X服从[a,b]上的均匀分布，a,b未知， X,X2,,Xn为来自总体X的样本，试求a,b的 矩估计量. 解 41=EX)=+ 4,=E(X2)=D(X)+[E(X2=-a2+a+b2 12 4 由矩估计法，令 3 2 二A a+b a-X--X). -2+a+b'=A B=X+. 3 Σ(X,-) 12 1n i=i

例1 设总体X服从[a，b]上的均匀分布，a，b未知， X1 , X2 , …,Xn为来自总体X的样本,试求a，b的 矩估计量．      + + − = = + = + = = 4 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) [ ( )] , 2 ( ) 2 2 2 2 2 1 b a a b E X D X E X a b E X  解  由矩估计法,令        = + + − = + 2 2 2 1 4 ( ) 12 ( ) 2 A b a a b A a b      = + − = − − 3( ) ˆ ˆ 3( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 b A A A a A A A   = = = + − = − − n i i n i i X X n b X X X n a X 1 2 1 2 ( ) 3 ˆ ( ) , 3 ˆ

例2设总体X的均值E(X)=μ，方差D(X)=σ2都存在， 且o2>0.但，o2均为未知.X1,X2,,X为来自总体 X的样本，求μ，σ2的矩估计量. 解J41=E(X)=4 42=E(X2)=D(X)+[E(X)I2=o2+u2 由矩估计法，令“=A, o2+42=A2 ù=x, 2=A1=X 62=A2-A 总体均值与方差的矩估计量的表达式 不因不同的总体分布而不同

   = = + = + = = 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) [ ( )] ( )      E X D X E X 解 E X    + = = 2 2 2 1 , A A    由矩估计法,令 总体均值与方差的矩估计量的表达式 不因不同的总体分布而不同．  ˆ = A1 = X 2 2 1 2  ˆ = A − A 例2 设总体X的均值E(X)=, 方差D(X)=2 都存在, 且2 >0.但 ,2 均为未知. X1 , X2 , …,Xn为来自总体 X的样本, 求,2 的矩估计量.      = − = = n i Xi X n X 1 2 2 ( ) 1 ˆ ˆ ,  

>常见分布的参数矩估计量 (1)若总体X~b(1,p),则未知参数p的矩估计量为 =X (2)若总体X~b(N,p)则未知参数p,N的矩估计量为 ,- N= X2 ,p=1- i=1 x-1(x,-2 X i=1

(1)若总体X~b(1, p), 则未知参数 p 的矩估计量为 p ˆ = X (2)若总体X~b(N, p), 则未知参数p , N的矩估计量为 ➢常见分布的参数矩估计量 X X X n p X X n X X N n i i n i i   = = − = − − − = 1 2 1 2 2 ( ) 1 , ˆ 1 ( ) 1 ˆ

3)若总体X~N(,o2),则未知参数μ，σ2的矩估计量为 应=x,2=1∑(X:-X0 (4)若总体X~π()，则未知参数入的矩估计量为 元=x,或i-1∑x,-)2 点估计的矩估计法要求总体原点矩存在，而有些随机变量的 原点矩不存在，就不能用此法进行参数估计。此外，矩估计 有时不唯一；再者它没有利用总体分布函数所提供的信息， 因此很难保证它有优良的性质

(3)若总体X~ N(,2 ), 则未知参数,2的矩估计量为 = = = − n i Xi X n X 1 2 2 ( ) 1 ˆ ,ˆ (4)若总体X~ (), 则未知参数 的矩估计量为 , ˆ  = X = = − n i Xi X n 1 2 ( ) 1 ˆ 或  点估计的矩估计法要求总体原点矩存在，而有些随机变量的 原点矩不存在，就不能用此法进行参数估计。此外，矩估计 有时不唯一；再者它没有利用总体分布函数所提供的信息， 因此很难保证它有优良的性质

二、最大似然估计法 最大似然估计法是目前仍然得到最广 泛应用的一种方法，它是建立在极大似然 原理的基础上的一个统计方法。 最大似然法原理的直观想法：“概率最大的事件 最可能出现”.例如有一个事件，若知道它出现的概率 只能是0.01或0.99，而在一次观测中，此事件出现，此时 自然会说它的概率应为0.99.因此参数估计的极大似 然法是要选取这样的值来作为参数的估计值，使得当 参数取这一数值时，观测结果出现的可能性为最大

二、最大似然估计法 最大似然估计法是目前仍然得到最广 泛应用的一种方法，它是建立在极大似然 原理的基础上的一个统计方法。 最大似然法原理的直观想法: “概率最大的事件 最可能出现”. 例如有一个事件,若知道它出现的概率 只能是0.01或0.99,而在一次观测中,此事件出现,此时 自然会说它的概率应为0.99.因此,参数估计的极大似 然法是要选取这样的值来作为参数的估计值,使得当 参数取这一数值时,观测结果出现的可能性为最大