西安电子科技大学：《实用大众线性代数》课程PPT教学课件（MATLAB版）第6章 线性代数其他领域应用

第6章在后续课程中的应用 本书前五章讲述了线性代数的基本理论，并且 把它应用在数学插值与拟合、花学、传热学 物料配比、计算机☒形学、成本计算、人口与 生态等领域中。为了使不同专业的读者普遍能 够接受，举应用实例时只能以常识和大一的知 识水平为原则，基本都不用到后续课和工程知 识。，线性代数的后续应用问题就由第六、七两 章来芥坛

第6章 在后续课程中的应用 本书前五章讲述了线性代数的基本理论，并且 把它应用在数学插值与拟合、化学、传热学、 物料配比、计算机图形学、成本计算、人口与 生态等领域中。为了使不同专业的读者普遍能 够接受，举应用实例时只能以常识和大一的知 识水平为原则，基本都不用到后续课和工程知 识。线性代数的后续应用问题就由第六、七两 章来介绍

6.1电路中的应用 例6.1电阻电路的计算 图6所示的电路中，已知 R1=22,R2=42, R3=122,R4=42, R5=122,R6=42, R7=22,设电压源 us=10V。求3，u4,u7。 解：用回路电流法进行建模。选回路如图6-1中所示，设三个 网孔的回路电流分别为a,b和ic。根据基尔霍夫定律，任 何回路中诸元件上的电压之和等于零。 各回路电压方程为：

6.1 电路中的应用 例6.1 电阻电路的计算 图6所示的电路中，已知 R1 = 2 , R2 = 4 , R3 = 12 , R4 = 4 , R5 = 12 , R6 = 4 , R7 = 2 ，设电压源 us = 10 V。求i3,u4,u7。 解: 用回路电流法进行建模。选回路如图6-1中所示，设三个 网孔的回路电流分别为ia,ib和ic。根据基尔霍夫定律，任 何回路中诸元件上的电压之和等于零。 各回路电压方程为：

直流电路的计算 (R1 R2 R3)ia-R3ib =us R3ia+(R3+R4+R5)ib-R5ic=0 -R5b+(R5+R6+R7)ic=0 R+R2+R3 -R3 0 1 矩阵形式为： -R3 R+Ra+Rs -Rs 0 0 -Rs R+R+R,i。 0 →AI=u 将参数代入后为： 18 -12 07 「17 -12 28 -12 0 -12 18i 0

直流电路的计算 (R1 + R2 + R3)ia - R3ib = us - R3ia + (R3 + R4 + R5)ib - R5ic = 0 - R5ib + (R5 + R6 + R7)ic = 0 矩阵形式为： 将参数代入后为： 1 2 3 3 a 3 3 4 5 5 b s 5 5 6 7 c 0 1 0 0 0 R R R R i R R R R R i u R R R R i     + + −         − + + − =           − + +          AI = us a b s c 18 12 0 1 12 28 12 0 0 12 18 0 i i u i     −         − − =           −        

直流电路的计算 程序pla601如下。 A=[18,-12,0;-12,28,-12;0,-12,18]; b=[1;0;0];us=10;U=rref([A,b*us]) 程序运行的结果为： 1000.9259 0.9259 U= 01 00.5556 即 I= 0.5556 0010.3704 0.3704 ·任何稳态电路问题，都可以用线性代数方程描述。实际的 电路往往有很多个回路组成，手工解这些高阶方程组将非 常繁琐且不可靠，使用矩阵方程和计算机软件是必不可少 的

直流电路的计算 程序pla601如下。 A=[18,-12,0; -12,28,-12; 0,-12,18]; b=[1;0;0]; us=10; U=rref([A,b*us]) 程序运行的结果为： 即 • 任何稳态电路问题，都可以用线性代数方程描述。实际的 电路往往有很多个回路组成，手工解这些高阶方程组将非 常繁琐且不可靠，使用矩阵方程和计算机软件是必不可少 的。 1 0 0 0.9259 0 1 0 0.5556 0 0 1 0.3704     =       U a b c 0.9259 0.5556 0.3704 i i i         = =             I

例6.2交流稳态电路的计算 如图所示交流稳态电路， 设Z1=-j2502, Z2=2502,Is=2∠0A, 0.51◇Z0 负载ZL=500+i5002, 求负载电压。 解：(1)用节点电压法建模。设节点电压Ua、Ub和电流l为 未知量（都是复数），根据进出a,b点的电流相等，列出 方程组如下，其中系数（阻抗值）也都是复数。 1。+ U= +0.5i

例6.2 交流稳态电路的计算 如图所示交流稳态电路， 设Z1 = -j250 ， Z2 = 250 ，Is = 2∠0A， 负载ZL = 500+j500 ， 求负载电压。 解:（1）用节点电压法建模。设节点电压Ua、Ub和电流I1为 未知量（都是复数），根据进出a,b点的电流相等，列出 方程组如下，其中系数（阻抗值）也都是复数。 a b s 1 2 2 1 1 1 U U I Z Z Z     + − =   b a b 1 2 2 1 1 0.5 L U U U I Z Z Z − + = + a 1 1 1 U I Z =

交流稳态电路的计算 将未知量Ua,Ub和l均移到等号左端，整理为矩阵方程，得 -0.5 0 Z i,→AX=BL Z, Z 0 Z 解题程序为pla602,将s代入，并用矩阵解出Ua,Ub,l1, 程序中变量都已是复数。程序运行结果显示Ub的实部和虚部， 也可用向量的幅值absUb和相角angleUb表示： Ub=-2.5000e+002-7.5000e+002i即Ub=-250-750i absUb=790.5694,angleUb=-108.4349

交流稳态电路的计算 将未知量Ua,Ub和I1均移到等号左端，整理为矩阵方程，得 解题程序为pla602，将Is代入，并用矩阵解出Ua,Ub,I1， 程序中变量都已是复数。程序运行结果显示Ub的实部和虚部， 也可用向量的幅值absUb和相角angleUb表示： Ub = -2.5000e+002 -7.5000e+002i 即Ub = -250 - 750 i absUb = 790.5694，angleUb = -108.4349 a 1 2 2 b 2 2 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0.5 0 0 1 0 1 s L U Z Z Z U I Z Z Z I Z =   + −                     − − −                    −         AX = BIs

程序pla602.m核心语句 %设定元件参数 Z1=-j*250;Z2=250;ki=0.5;1s=2+j*0;zL=500+j*500; %设定系数矩阵A a11=1/Z1+1/Z2;a12=-1/Z2;a13=0; a21=-1/Z2;a22=1/Z2-1/zL;a23=-ki; a31=1/Z1;a32=0;a33=-1; %设定系数矩阵A,B A=[a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33];B=[1;0;0]: X=A1B*1s;Ub=X(2)%求方程解X=[Ua;Ub;l1]及负载电压 %求负载电压的幅度和相角 absUb=abs(Ub),angleUb=angle(Ub)*180/pi

程序pla602.m核心语句 % 设定元件参数 Z1=-j*250; Z2=250; ki=0.5; Is=2+j*0; zL=500+j*500; % 设定系数矩阵A a11=1/Z1+1/Z2; a12=-1/Z2; a13=0; a21=-1/Z2; a22=1/Z2-1/zL; a23=-ki; a31=1/Z1; a32=0; a33=-1; % 设定系数矩阵A,B A=[a11,a12,a13; a21,a22,a23; a31,a32,a33]; B=[1;0;0]; X=A\B*Is;Ub=X(2) % 求方程解X=[Ua;Ub;I1]及负载电压 % 求负载电压的幅度和相角 absUb=abs(Ub), angleUb=angle(Ub)*180/pi

6.2力学中的应用 。 在力学中，静力学是一个代数问题，它研究物体 受力后的平衡方程。一个物体在平面上平衡，需 要两个方向力的平衡方程和一个力矩平衡方程。 空间物体的平衡需要三个坐标方向的力平衡和力 矩平衡，总共6个平衡方程。如果是几个物体相互 作用下的平衡，那么方程的总数就会成几倍的增 加。若用手工方法一个一个地去解联立方程，那 是非常麻烦的。 ·这些方程组通常都是线性的，所以可以归结为矩 阵方程求解。用线性代数方法可以避免解单个方 程和单个变量，只要把系数矩阵输入程序中，就 可同时得出所有的解

6.2 力学中的应用 • 在力学中，静力学是一个代数问题，它研究物体 受力后的平衡方程。一个物体在平面上平衡，需 要两个方向力的平衡方程和一个力矩平衡方程。 空间物体的平衡需要三个坐标方向的力平衡和力 矩平衡，总共6个平衡方程。如果是几个物体相互 作用下的平衡，那么方程的总数就会成几倍的增 加。若用手工方法一个一个地去解联立方程，那 是非常麻烦的。 • 这些方程组通常都是线性的，所以可以归结为矩 阵方程求解。用线性代数方法可以避免解单个方 程和单个变量，只要把系数矩阵输入程序中，就 可同时得出所有的解

例6.3求双杆系统的支撑反力 (a)两杆系统的受力图 (b)分立体受力图 两杆系统受力如上图所示，已知G1=200,G2=100,L1=2; L2=1.414,01=π/6,2=π/4，求所示杆系的支撑反力Na, Nb,Nc. 解：画出杆1和杆2的受力图，如图6-3b。其中Na,Wb,Nc都 用其x,y方向的分量Nax,Way,Wbx,by,Wcx,Ncy表示， 于是可列出方程如下：

例6.3 求双杆系统的支撑反力 两杆系统受力如上图所示，已知G1 = 200, G2 = 100, L1 = 2; L2 =1.414，1 = /6, 2 =/4，求所示杆系的支撑反力Na, Nb, Nc。 解: 画出杆1和杆2的受力图，如图6-3b。其中Na, Nb, Nc都 用其x, y方向的分量Nax, Nay, Nbx, Nby, Ncx, Ncy表示， 于是可列出方程如下:

双杆系统的平衡方程 ·对杆件1： x方向力平衡： ∑X=0,Nax+Ncx=0(6.2.1) y方向力平衡： ∑Y=0,Nay+Ncy-G1=0(6.2.2) 绕A点力矩平衡：∑MA=O, NcyL1cosθ1-NcxL1sin01-G1L1/2c0sθ1=0 (6.2.3) ·对杆件2： X方向力平衡： ∑X=0,Wbx-Wcx=0 (6.2.4) y方向力平衡： ΣY=0,by-Ncy-G2=0(6.2.5) 绕B点力矩平衡：ΣMg=O, NcyL2cos02 NcxL2sin02+G2L2/2cos02 0 (6.2.6)

双杆系统的平衡方程 • 对杆件1: x方向力平衡： ΣX = 0, Nax + Ncx = 0 (6.2.1) y方向力平衡： ΣY = 0, Nay + Ncy - G1 = 0 (6.2.2) 绕A点力矩平衡：ΣMA = 0, NcyL1cos1-NcxL1sin1-G1L1/2cos1 = 0 (6.2.3) • 对杆件2: x方向力平衡： ΣX = 0, Nbx - Ncx = 0 (6.2.4) y方向力平衡： ΣY = 0, Nby - Ncy - G2 = 0 (6.2.5) 绕B点力矩平衡：ΣMB = 0, NcyL2cos2 + NcxL2sin2+G2L2/2cos2 = 0 (6.2.6)