第4章平面和空间向量 线性系统的许多重要特性可以用向量的概念来描 述，因为向量可以描述两个或两个以上的实数组 成的数组特征。二维和三维空间中的向量有鲜明 的几何意义，也有广泛的应用价值，掌握它们的 基本特性就可更好地从几何空间概念来理解线性 代数方程组的某些性质，同时也可帮助人们去抽 象推想高维的向量空间。，本章将介绍向量空间的 基本概念，用它来进一步诠释线性方程组的几何 意义；以便从几何概念过渡到代数推理，进而用 数学软件来解决它们的计算问题。下一章则讨论 二、三向量线性变换中一些较深入的问题
第4章 平面和空间向量 线性系统的许多重要特性可以用向量的概念来描 述，因为向量可以描述两个或两个以上的实数组 成的数组特征。二维和三维空间中的向量有鲜明 的几何意义，也有广泛的应用价值，掌握它们的 基本特性就可更好地从几何空间概念来理解线性 代数方程组的某些性质，同时也可帮助人们去抽 象推想高维的向量空间。本章将介绍向量空间的 基本概念，用它来进一步诠释线性方程组的几何 意义；以便从几何概念过渡到代数推理，进而用 数学软件来解决它们的计算问题。下一章则讨论 二、三向量线性变换中一些较深入的问题
4.1向量的类型 ·物理向量：向量这个术语起源于物理，用以表示既有大小 又有方向的物理量，如力，位移和速度等。那些只需用一 个实数来表示的物理量，如温度、压力和质量等就称为标 量。向量还可以有更广泛的意义，可以把任何由多个参数 描述的变量视为向量。如： ·1)一个班的学生本学期学了五门课，则每人的成绩就可 用五个分数组成的向量来反映； ·5).把人口按年龄分别统计可以得到一个具有100多维的 向量，如再按性别分开，得到的是200多维的向量。 。 不难看出，向量的引入极大地扩展了对象建模的深度和广 度
4.1 向量的类型 • 物理向量：向量这个术语起源于物理，用以表示既有大小 又有方向的物理量，如力，位移和速度等。那些只需用一 个实数来表示的物理量，如温度、压力和质量等就称为标 量。向量还可以有更广泛的意义，可以把任何由多个参数 描述的变量视为向量。如： • 1）一个班的学生本学期学了五门课，则每人的成绩就可 用五个分数组成的向量来反映； • … … • 5）.把人口按年龄分别统计可以得到一个具有100多维的 向量，如再按性别分开，得到的是200多维的向量。 • 不难看出，向量的引入极大地扩展了对象建模的深度和广 度
几何向量和位置向量 ● 几何向量：把平面上 y 的向量的箭尾A的坐 标值取为(a1,a2),而 B (b1:62) 把箭头所处的点B的 坐标值取为(b1,b2), -◆Q(b1,a2） PP(b1-a1,b2-a2) 联接A点到B点的箭 A(a1,a2) 头就称为几何向量。 用v=AB示： 0 A称为向量的起点，而B称为向量的终点。这样的几何 向量，要用a1,a2,b1,b2四个实数才能表示。 把向量的箭尾A移到原点，箭头B就移到P点。这时的向 量作用线通过了原点，称为位置向量
几何向量和位置向量 • 几何向量:把平面上 的向量的箭尾A的坐 标值取为(a1,a2)，而 把箭头所处的点B的 坐标值取为(b1,b2)， 联接A点到B点的箭 头就称为几何向量。 用 示： •A称为向量的起点，而B称为向量的终点。这样的几何 向量，要用a1,a2,b1,b2四个实数才能表示。 •把向量的箭尾A移到原点，箭头B就移到P点。这时的向 量作用线通过了原点，称为位置向量。 v AB =
代数向量 ·代数向量：把平面中的几何向量V用它在和y两个 方向的分量x和Vy来表示，写成表示式： ·这就是平面中用线性代数表示向量的方法。粗看 起来，它与几何向量的表示法没有太大的差别， 但到了三维以上，几何向量将失去意义，而代数 向量的维数可以无限地扩展，以满足工程和经济 模型分析的需要。从几何到代数，也就是从三维 向高维抽象的线性代数方法论
代数向量 • 代数向量：把平面中的几何向量v用它在x和y两个 方向的分量vx和vy来表示，写成表示式： • • 这就是平面中用线性代数表示向量的方法。粗看 起来，它与几何向量的表示法没有太大的差别， 但到了三维以上，几何向量将失去意义，而代数 向量的维数可以无限地扩展，以满足工程和经济 模型分析的需要。从几何到代数，也就是从三维 向高维抽象的线性代数方法论。 1 1 2 2 x y v b a v b a − = = − v
4.2向量及其线性组合 ·4.2.1平面和空间向量的矩阵表示 平面中的向量v用它在x和y两个方向的分量V1和v2来表示， 行向量写成v1,v2],列向量时为v= 为了节省 V 篇幅，有时按向量转置的规则，把列向量写成[V1,2]T。 ·例4.1设 ]{ 要求画出这两个向量的图形。 解：u和V都是二维空间的列向量。可以用平面坐标系中的 两个点，或从坐标原点引向这两点的箭头来表示
4.2 向量及其线性组合 • 4.2.1 平面和空间向量的矩阵表示 平面中的向量v用它在x和y两个方向的分量v1和v2来表示， 行向量写成[v1，v2]，列向量时为 ，为了节省 篇幅，有时按向量转置的规则，把列向量写成[v1，v2]T 。 • 例4.1 设 要求画出这两个向量的图形。 解：u和v都是二维空间的列向量。可以用平面坐标系中的 两个点，或从坐标原点引向这两点的箭头来表示。 1 2 v v = v 1 1 2 2 2 3 , , 4 1 u v u v = = = = − u v
绘制平面向量的程序 也可以用程序pla401来画，得到的 图形见右图。图中也给出了： U-V u+v= 4-y 42-y2 程序pla401的核心语句为： u=[2;4],V=[3;-1] drawvec(u),hold on drawvec(v,'b'),hold on -3-2-1 2345 drawvec(u+v,'g'),hold on drawvec(u-v,'m'),hold off grid on
绘制平面向量的程序 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x y u-v u+v u v u-v 也可以用程序pla401来画，得到的 图形见右图。图中也给出了： 程序pla401的核心语句为： u=[2;4],v=[3;-1] drawvec(u),hold on drawvec(v,'b'),hold on drawvec(u+v,'g'),hold on drawvec(u-v,'m'),hold off grid on 1 1 1 1 2 2 2 2 u v u v u v u v + − = − = + − u + v u v
向量的加减 ·几何向量的加减按平行四边形法则进行，它在笛卡儿坐标 中的分量则满足简单的代数加减法。对于如图所示的平面 上的二维向量，写成代数形式，为： u+v= 4+y W-Y= 4-y u2+y2 2-y2 向量的线性组合：设c,d为任意数（标量），则表示了向 量u,v的任意线性组合。取例题4.1中的u和V,得到： 。 在图4-2中也画出了c=1和d=-1时的这两个合成向量。不 管c,d取什么值，合成向量b一定是处在x-y平面上；具有 这种性质向量b的全体称为一个二维的向量空间
向量的加减 • 几何向量的加减按平行四边形法则进行，它在笛卡儿坐标 中的分量则满足简单的代数加减法。对于如图所示的平面 上的二维向量，写成代数形式，为： • 向量的线性组合：设c,d为任意数（标量），则表示了向 量u,v的任意线性组合。取例题4.1中的u和v，得到： • 在图4-２中也画出了c=1和d=-1时的这两个合成向量。不 管c,d取什么值，合成向量b一定是处在x-y平面上；具有 这种性质向量b的全体称为一个二维的向量空间。 1 1 1 1 2 2 2 2 u v u v u v u v + − = − = + − u + v u v ， 2 3 2 3 4 1 4 c d c d c d c d + = = + = − − b u + v 1 2 b = ， b
三维空间的向量加减 ·对于空间向量，用下标1,2,3分别表示笛卡儿坐标xy,z方 向的分量，可类似地推得： 4 4+y [4-v 。若= ,V= 则 u+v= u2+V2 ,u-V= 42-V2 V3 L私+」 4-3 例4.2设列向量u=[1;-2;2],V=[-2;3;-1],求u+V,u-V, 1 2 解：写成列向量： W= 2 ,V= 2 -1 「3 「-1 wl=u+v= -1 w2=u-v- -3 1 1. 3
三维空间的向量加减 • 对于空间向量，用下标1,2,3分别表示笛卡儿坐标x,y,z方 向的分量，可类似地推得： • 若 则 。 • 例4.2 设列向量u=[1;-2;2], v=[-2;3;-1]，求u+v,u-v， 解：写成列向量： 1 1 2 2 3 3 , , u v u v u v = = u v 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 u v u v u v u v u v u v + − = + − = − + − u + v u v ， 1 2 -2 , 1 , 2 1 = = − u v 3 -1 1 = = w1 u + v -1 -3 3 = − = w2 u v 0 1 2 3 -1 0 1 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 u+v u(1,-2,2) v(2,1,-1) u-v
三维空间中的两维向量空间 我们希望读者在学习线性代数时，把三维向量的 矩阵表达式与它们的在三维空间的形状结合起来 ,所以给出了向量uV,w1,w2的立体图。读者可 以自己在草稿纸上练习。 要注意图中u,V两个向量在三维空间组成一个平面 ,它们的合成向量w1,w2必定也在这个平面上， 这在几何上可以想象，但图示就不易看清。，在本 书的程序集中，收藏了它的三维图形，文件名是 fpla403.fig,读者可以在MATLAB命令或☒形窗中 调出这个文件，然后点击其三维旋转按钮，将能 观察到空间向量u,V,w1,w2都处在一个平面上。 也可以说这个平面是，一个二维向量空间，向量 u,V,w1,w2处在同一个向量空间币
三维空间中的两维向量空间 • 我们希望读者在学习线性代数时，把三维向量的 矩阵表达式与它们的在三维空间的形状结合起来 ，所以给出了向量u,v,w1,w2的立体图。读者可 以自己在草稿纸上练习。 • 要注意图中u,v两个向量在三维空间组成一个平面 ，它们的合成向量w1,w2必定也在这个平面上， 这在几何上可以想象，但图示就不易看清。在本 书的程序集中，收藏了它的三维图形，文件名是 fpla403.fig，读者可以在MATLAB命令或图形窗中 调出这个文件，然后点击其三维旋转按钮，将能 观察到空间向量u,v,w1,w2都处在一个平面上。 也可以说这个平面是一个二维向量空间，向量 u,v,w1,w2处在同一个向量空间中
4.2.2向量的几何长度和方向余弦 (0.0,3)5 (0,2) 1(1.2】 /1,2.3) ++喝 5=12+22 14=12+22+32 (0.2,0 (1.0 (1.0.0) (1,2.0) 向量几何长度的符号为，在直角坐标系中，几何长度 为它的各个分量的平方和的开方。图4-4表示二维向量(1,2) 的几何长度为=√+2)=5，三维向量(1,2,3)的几何 长度为√P+22+32)=√4。 ·线性代数中常常把向量中所包含的元素数称为长度，二维 向量的长度为2，三维向量的长度为3。MATLAB中用 length命令求向量的元素数，而用norm(译为“范数”) 命令来求几何长度，读者要注意避免把这两者相混淆
4.2.2 向量的几何长度和方向余弦 • 向量几何长度的符号为 ，在直角坐标系中，几何长度 为它的各个分量的平方和的开方。图4-4表示二维向量(1,2) 的几何长度为 ，三维向量(1,2,3)的几何 长度为 。 • 线性代数中常常把向量中所包含的元素数称为长度，二维 向量的长度为2，三维向量的长度为3。MATLAB中用 length命令求向量的元素数，而用norm（译为“范数”） 命令来求几何长度，读者要注意避免把这两者相混淆。 v 2 2 v = + = (1 2 ) 5 2 2 2 (1 2 3 ) 14 + + =