第6章在信号与系统中的应用
第 6章 在信号与系统中的应用
例6.1连续信号的MATLAB描述 (1)单位冲激函数 1/A x0=8-0F0 t<t<t,+△ 其余 (2)单位阶跃函数： x,0=-h)=0 1 1<t<t1+△ t<0 (3)复指数函数 x3(t)=e(u+jo)t
例6.1 连续信号的MATLAB描述 （1）单位冲激函数 （2）单位阶跃函数： （3）复指数函数 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 0 t t t x t t t + = − = 其余 + = − = 0 0 1 ( ) ( ) 1 1 2 1 t t t t x t u t t u t x t ( j ) ( ) e 3 + =
例6.2LTI系统的零输入响应 ·n阶线性时不变连续系统的微分方程 d"y d"-ly 4dr+a dt a盘+=+ 己知y及其各阶导数的初始值为y(O),y)(O),., yn)(O),求系统的零输入响应。 ·解：方程的解为 y(t)=Cie+Ce+..+Cep p1,p2…,Pn是方程a12+a22n-1+..+an+ant1=0的根， C1,,Cn由y及其各阶导数的初始值来确定
例6.2 LTI系统的零输入响应 • n阶线性时不变连续系统的微分方程 已知y及其各阶导数的初始值为y(0),y (1)(0)，…， y (n-1)(0)，求系统的零输入响应。 • 解：方程的解为 p1 , p2…,pn是方程a1 n+a2 n-1+…+ an+ an+1 =0的根, C1，…，Cn由y及其各阶导数的初始值来确定。 , d d d d d d d d d d 1 1 1 1 1 2 b u t u b t u a y b t y a t y a t y a m m m m n n n n n + + − + ++ + = ++ + p t n p t p t C C C n y(t) e e e 1 2 = 1 + 2 ++
例6.2LT系统的零输入响应（续） 。C1+C2+..+Cn=y0 yo=y(0) .p1C1+p2C2+...+pnCn=Dy0 p"C+p2-C2++pCn D"yo 1 Dyo pa-1
例6.2 LTI系统的零输入响应(续) • C1+ C2+…+Cn = y0 y0 = y(0) • p1C1+ p2C2+…+ pnCn=Dy0 0 1 1 2 1 1 2 1 p1 C p C p C D y n n n n n− n− − − + ++ = = − − − − 0 1 0 0 2 1 1 1 2 1 1 1 2 D D 1 1 1 y y y C C C p p p p p p n n n n n n n
例6.2LTI系统的零输入响应（续） 。即VC=YO ·其解为C=V八Y0 ·式中 C=[C1,C2,…,Cn]';=[0,Dyo,…,D”yo] 1 1 V= P2 Pn p- P- ·V为范德蒙矩阵，在MATLAB的特殊矩阵库中有 vander。.调用方法：V=vander(p)
例6.2 LTI系统的零输入响应(续) • 即 V·C = Y0 • 其解为 C =V \ Y0 • 式中 • V为范德蒙矩阵，在MATLAB的特殊矩阵库中有 vander。调用方法: V=vander(p) [ , , , ]'; [ , D , , D ]' 0 1 1 2 0 0 0 C C C y y y n n − C = Y = = − −1 −1 2 1 1 1 2 1 1 1 n n n n n p p p p p p V
例6.3n阶LT1系统的冲激响应 ·n阶微分方程，写成系统函数为： H(s)= Y(s)bism+bzsm++oms+bmti U(s) as"+azsn-+ans+an+l ·冲击响应就是H(S)的拉普拉斯反变换，可以把H(S) 展开为极点留数式。 H(s)= k台S-Pk ·其反变换为 h(t)=】 reP k=
例6.3 n阶LTI系统的冲激响应 • n阶微分方程，写成系统函数为： • 冲击响应就是H(s)的拉普拉斯反变换，可以把H(s) 展开为极点留数式。 • 其反变换为 1 1 1 2 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) + − + − + + + + + + + = = n n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b U s Y s H s = − = n k k k s p r H s 1 ( ) = = n k p t k k h t r 1 ( ) e
例6.4 卷积的计算 ·根据卷积公式： (o=∫4r)(t-r)dz ·因此编程的过程为： ·（1)写出h(t)的MATLAB表达式； ·(2)写出u()的MATLAB表达式； ·(3)利用MATLAB的卷积语句y=conv(u,h)求解 ·(4)画曲线plot(t,y)
例6.4 卷积的计算 • 根据卷积公式： • 因此编程的过程为： • （1）写出h(t)的MATLAB表达式； • （2）写出u(t)的MATLAB表达式； • （3）利用MATLAB的卷积语句y=conv(u，h)求解 • （4）画曲线plot(t,y)。 = − t y t u h t 0 ( ) ( ) ( )d
例6.5LT1系统的零状态响应 ·设二阶连续系统 +8y=u dr2 dt 求其冲激响应。若输入为u=3t+cos(0.1),求其 零状态响应y()。 解：特征方程22+2入+8=0 ·求出其特征根为p1,p2及相应的留数r1,r2,则冲 击响应为： h(t)=repi +repal 0名 输出y()可用输入u()与冲击响应h()的卷积求得
例6.5 LTI系统的零状态响应 • 设二阶连续系统 求其冲激响应。若输入为u = 3t + cos (0.1t)，求其 零状态响应y(t)。 解：特征方程 2+2 + 8 = 0 • 求出其特征根为p1，p2及相应的留数r1，r2，则冲 击响应为： • 输出y(t)可用输入u(t)与冲击响应h(t)的卷积求得。 y u t y t y + + 8 = d d 2 d d 2 2 p t p t h t r e r e 1 2 1 2 ( ) = +
例6.6 有重极点时的计算 ·n级放大器，每级的传递函数均为o0/(s+o0),求 阶跃响应，画出n不同时的波形和频率特性。 ·解：阶跃信号下系统的输出为 Y(s)= 06 1 (s+0)” s 求Y(s)的拉普拉斯反变换，即得到阶跃响应y()。 遇到的困难是重极点，公式复杂，且结果不稳定。 为了避开重极点问题，可以有意把极点拉开一些， 例如设n个极点散布在-0.950到1.05o0之间，那 样也就可当非重极点来列程序
例6.6 有重极点时的计算 • n级放大器，每级的传递函数均为0/(s+0)，求 阶跃响应，画出n不同时的波形和频率特性。 • 解：阶跃信号下系统的输出为 求Y(s)的拉普拉斯反变换，即得到阶跃响应y(t)。 遇到的困难是重极点，公式复杂，且结果不稳定。 为了避开重极点问题，可以有意把极点拉开一些， 例如设n个极点散布在-0.950到1.050之间，那 样也就可当非重极点来列程序。 0 0 1 ( ) ( ) n n Y s s s = +
例6.7方波分解为多次正弦波之和 ·图示的周期性方波，其傅里叶级数为 n+gn+…+2k-m2-+ f()=4 sint 3 ·分别计算 f0)=4sm1 4 0.5 元 0 pi 2pi 3pi 4 f3(t)=-(sint+sin3t) 元 3 0.5 ·直到9次谐波，并做图。 0 5 图6.7-1输入周期性方波
例6.7 方波分解为多次正弦波之和 • 图示的周期性方波，其傅里叶级数为 • 分别计算 • 直到9次谐波，并做图。 图6.7-1 输入周期性方波 - - x − + − + + + = k t k f t t t sin(2 1) 2 1 1 sin 3 3 1 sin 4 ( ) sin 3 ) 3 1 (sin 4 ( ) sin 4 ( ) 3 1 f t t t f t t + = =