第9章在信号与系统中的应用
第9章 在信号与系统中的应用
9.1连续信号和系统 严格说来，MATLAB(就基本部分而言)是不能表 示连续信号的，因为它给出的是各个样本点的数 据。只是当样本点取得很密时可看成连续信号， 什么叫密，要相对于信号变化的快慢而言，形象 地说，在所有相邻样本点之间的数据变化必须非 常小才能看成‘密’，其严格的数学定义此处不 予讨论。以下均假定相对于采样点密度而言，信号 变化足够慢。 例9-1-1连续信号的MATLAB描述 列出单位脉冲、单位阶跃、复指数函数等连续信号 的MATLAB表达式
9.1 连续信号和系统 严格说来，MATLAB（就基本部分而言）是不能表 示连续信号的，因为它给出的是各个样本点的数 据。只是当样本点取得很密时可看成连续信号， 什么叫密，要相对于信号变化的快慢而言，形象 地说，在所有相邻样本点之间的数据变化必须非 常小才能看成‘密’，其严格的数学定义此处不 予讨论。以下均假定相对于采样点密度而言,信号 变化足够慢。 • 例9-1-1 连续信号的MATLAB描述 列出单位脉冲、单位阶跃、复指数函数等连续信号 的MATLAB表达式
程序exn911(1) clear,,t0=0;tf=5;dt=0.05;t1=1;t=[t0:dt:t; %(1)单位脉冲信号， %在t1(t0≤t1≤0处有面积为1的脉冲信号。 t=[t0:dt:tf];st=length(t); n1=floor(t1-to)/dt);%求t1对应的样本序号 x1=zeros(1,st); %把信号先初始化为零 x1(n1)=1/dt; %给出t1处的脉冲信号 subplot(2,2,1),stairs(t,x1)%绘图，用stairs命令 axis(0,5,0,22]) %为了使脉冲顶部避开图框
程序exn911(1) clear, t0=0;tf=5;dt=0.05;t1=1; t=[t0:dt:tf]; % (1)单位脉冲信号, % 在t1(t0≤t1≤tf)处有面积为1的脉冲信号。 t=[t0:dt:tf];st=length(t); n1=floor((t1-t0)/dt); % 求t1对应的样本序号 x1=zeros(1,st); % 把信号先初始化为零 x1(n1)=1/dt; % 给出t1处的脉冲信号 subplot(2,2,1),stairs(t,x1)% 绘图，用stairs命令 axis([0,5,0,22]) % 为了使脉冲顶部避开图框
程序exn911(2) %(2)单位阶跃信号， %信号从to到tf,在t1前为0，到t1处跃变为1. %程序前几句即求t,st,n1的语句与上同 %产生阶跃信号 x2 [zeros(1,n1-1),ones(1,st-n1+1)]; subplot(2,2,3),stairs(t,x2) %绘图 axis(0,5,0,1.1]) %改变图框坐标 %(3)复数指数信号 u=-0.5;w=10;x4=eXp(u+j*W)*t); subplot(2,2,2),plot(t,real(x4)) %绘图， subplot(2,2,4),plot(t,imag(x4)) %绘图
程序exn911(2) %(2)单位阶跃信号， %信号从t0到tf，在t1前为0，到t1处跃变为1. %程序前几句即求t,st,n1的语句与上同 %产生阶跃信号 x2 = [zeros(1,n1-1),ones(1,st-n1+1)]; subplot(2,2,3),stairs(t,x2) % 绘图 axis([0,5,0,1.1]) % 改变图框坐标 %(3)复数指数信号 u=-0.5;w=10;x4=exp((u+j*w)*t); subplot(2,2,2),plot(t,real(x4)) % 绘图, subplot(2,2,4),plot(t,imag(x4)) % 绘图
程序exn911运行结果 ·1,2,X3,x4的波形见右图. 注意若要显示连续信号波 形中的不连续点，用stairs 20 命令；而要使波形光滑些， 10 则用plot命令较好。复数 指数信号可以分解为余弦 和正弦信号，它们分别是 复数信号的实部和虚部。 右图中的两个衰减振荡信 0.5 号就代表了这两个相位差 90度的分量
程序exn911运行结果 • x1,x2,x3,x4的波形见右图. 注意若要显示连续信号波 形中的不连续点，用stairs 命令；而要使波形光滑些， 则用plot命令较好。复数 指数信号可以分解为余弦 和正弦信号，它们分别是 复数信号的实部和虚部。 右图中的两个衰减振荡信 号就代表了这两个相位差 90度的分量。 0 5 0 10 20 0 2 4 -1 0 1 0 5 0 0.5 1 0 2 4 -1 0 1
例9-1-2 线性系统冲击响应 。 编写求任意高阶连续常系数线性系统冲击响应的程序。 ·解：◆建模这个问题在第四章介绍多项式函数库时已打下 了基础，在第七章例7-3-1中又给出了解法，读者可先看 懂那些内容，然后再看本题。任意阶次的连续线性系统可 用下列微分方程表述： d"y dy d"u a- at at a+ at ·写成传递函数形式为 H(s)= Y(s）_bs"+b2sm+…+bns+bmtl Js）as”+a42sn-+…+ans+al ·其特性可用系统传递函数的分子分母系数向量b和a来表示
例9-1-2 线性系统冲击响应 • 编写求任意高阶连续常系数线性系统冲击响应的程序。 • 解:◆建模 这个问题在第四章介绍多项式函数库时已打下 了基础，在第七章例7-3-1中又给出了解法，读者可先看 懂那些内容，然后再看本题。任意阶次的连续线性系统可 用下列微分方程表述： • 写成传递函数形式为 • 其特性可用系统传递函数的分子分母系数向量b和a来表示。 1 1 2 1 1 1 n n m n m n n m m d y d y dy d u du a a a a y b b b u at at at at at − + + + + = + + + + + 1 1 2 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) m m m m n n n n Y s b s b s b s b H s U s a s a s a s a − + − + + + + + = = + + + +
传递函数反变换的求法 如果分母系数多项式没有重根，则可以把两个多项式 之比分解成个一阶部分分式之和。即： Hs)=5+5++h s-P s-P2 s-P 其中p1,p2,pn是分母多项式的n个根，而r1,r2,,rm 是则对应于这个根的留数。一阶分式的反变换可以查表 得到，容易写出冲击响应的公式如下： h(t)=re+5e+…+r,ew 可见只要求出根向量p和留数向量r,线性方程的解就 得到了。求根是代数问题，当阶次很高时，代数方程没有 解析解。可喜的是MATLAB提供了用数值方法求根和留数 的函数residue.m,它的调用格式为： [r,p]=residue(b,a)
传递函数反变换的求法 • 如果分母系数多项式没有重根，则可以把两个多项式 之比分解成n个一阶部分分式之和。即： • 其中p1,p2,…,pn是分母多项式的n个根，而r1,r2,…,rn 是则对应于这n个根的留数。一阶分式的反变换可以查表 得到，容易写出冲击响应的公式如下： • 可见只要求出根向量p和留数向量r，线性方程的解就 得到了。求根是代数问题，当阶次很高时，代数方程没有 解析解。可喜的是MATLAB提供了用数值方法求根和留数 的函数residue.m，它的调用格式为： • [r,p]=residue(b,a) 1 2 1 2 ( ) n n r r r H s s p s p s p = + + + − − − 1 2 1 2 ( ) n p t p t p t n h t r e r e r e = + + +
程序exn912 a=input('分母系数向量a=(书上取poly([0,-1,-2,-5]))) b=input((分子系数向量b=(书上取[1,7,1])) [r,p]residue(b,a), %求留数 k=input(是否要求波形？是，键入1；否，键入0)； if k==1 dt=input('dt=(书上取0.05))； tf=input('tf=(书上取5)；%设定时间数组 t=0:dt:tf;h=zeros(1,length(t)); %h的初始化 for i=1:length(a)-1 %根数为a的长度减1 h=h+r()*ep(p(*t);%叠加各根分量 end,plot(t,h),grid else,end
程序exn912 a=input('分母系数向量a=(书上取 poly([0,-1,-2,-5]) ） ') b=input('分子系数向量b=(书上取 [1,7,1] ） ') [r,p] = residue( b, a), % 求留数 k=input('是否要求波形？是,键入1;否,键入0 '); if k==1 dt=input('dt=(书上取0.05) '); tf=input('tf=(书上取5 '); %设定时间数组 t=0:dt:tf;h=zeros(1,length(t)); % h的初始化 for i=1:length(a)-1 % 根数为a的长度减1 h = h+ r(i)*exp(p(i)*t); % 叠加各根分量 end, plot(t,h),grid else,end
程序exn912运行结果 ·给出系统的传递函数为 s2+7s+1 H(s)= s(s+1)(s+2)(s+5) 0.4 0.3 运行程序en912,依次输入： (注意用poly函数把极点 0.2 向量p=[0,-1,-2,-5]转换成 0.1 系数向量a) 0 a=poly([0,-1,-2,-5]) -0.1 B=[1,7,1],dt=0.05,tf=5 ·得出的h(t)如右图所示
程序exn912运行结果 • 给出系统的传递函数为 运行程序exn912，依次输入： （注意用poly函数把极点 向量p=[0,-1,-2,-5]转换成 系数向量a） a=poly([0,-1,-2,-5]) B=[1,7,1]，dt=0.05，tf=5 • 得出的h(t)如右图所示。 2 7 1 ( ) ( 1)( 2)( 5) s s H s s s s s + + = + + +
9-1-3线性系统零输入响应的计算 线性时不变连续系统的特性可用常微分方程表示为： d-y du bou (n≥m) 求其零输入响应。 解：在零输入条件u=0时，等式右端为零。系统响应的通 解为： y(t)=Cem+Ces+..+Cev 其中，p是特征方程的n个根组成的向量p1,P2…,pn],其 每个分量的系数C则由y及其各阶导数的初始条件y0, Dy0,..,D(n-1)y0来确定
9-1-3 线性系统零输入响应的计算 线性时不变连续系统的特性可用常微分方程表示为： 求其零输入响应。 解：在零输入条件u=0时，等式右端为零。系统响应的通 解为： 其中，p是特征方程的n个根组成的向量[p1 ,p2 ,…,pn ]，其 每个分量的系数Cn则由y及其各阶导数的初始条件y0, Dy0, …, D(n-1)y0来确定。 1 1 1 1 0 1 ( ) n n m n n m d y d y dy d u du a a a y b b b u n m dt dt dt dt dt − − − + + + + = + + + 1 2 1 2 ( ) n p t p t p t n y t C e C e C e = + + +