必主讲 ·徐乐 ·电子工程学院 场论与复变函数 ·电磁场与微波技术专业 -Email:lexu@mail.xidian.edu.cn -办公电话：029-88204458 -撤信：happyt06(添加时请注明课程名称班级姓名) -主页：web.xidian.edu.cn\lexu 主讲：徐乐 mail.xidian.edu.cn 场论与复变函数 2 课程总览 物理学中的场论 物理学中的场论思想起源于法拉第 课程安排(48) ■1831年，法拉第作出了他最伟大的发现一电 矢量分析与场论(12+2) 复变函数(34) 磁感应。10年研究的愿望一旦实现，他固然感 到极度兴奋，但同时也感到了晨惊。因为用当 时在物理学界占绝对统治地位的牛顿力学，已 矢量及矢量运算 复数及复变函数 积 级 数量场及分析 矢量场及分析 特殊场及分析 经无法解释电磁感应这个新现象了。 解析函数 共形映射 ■牛顿认为，宇宙空间除了粒子以外什么也没有， 而没有粒子的地方则是一无所有的真空。 留数 lexua mail.ridian.edu.cn 场论与复变西敢：。。。· .xidian.edu.cn 场论与复变函藏。。。。·
物理学中的场论 法拉第电磁感应定律 ”古希腊哲学家亚里士多德等人，在讨论磁铁的磁性时就使 用过“力线”这个名称。他们用力线解释磁力，但是并不 法拉第 (Michael Faraday,1791-1867) 把它当做实有的东西，也没有给它下一个确切的定义。 伟大的英国物理学家和化学家.他创造性地 ÷法拉第给力线下了明确的定义，它不仅表示磁力的方向， 提出场的思想，意场这一名称是法拉第最 还可以表示磁力的大小。他把力线当作实实在在的东西， 早引入的他是电藏理论的创始人之一，于 183年发现电磁感应现象，后又相继发现 用力线来思考问题、解决问题。 电解定撑，物质的抗磁性和顺磁性，以及 心法拉第认识到，不仅磁铁周围空间有力线，电流周围空间 光的偏振面在藏场中的旋转， 也存在着力线。磁铁与电流周围的力线指示磁针的受力方 榜次 向，所以应叫磁力线：而充满了磁力线的空间应叫磁场。 (1804.1865 法拉第的场论思想证生了 俄国物理学家和地球物理学家，1836年至 1865年任圣彼得墨大学教授，兼任海军和 师范草院拉物理学款授 mail_ridian.edu.cn ,。,。场论与复变····· fexla mail.xidian.edu.cn 。。。。。。 场论与复变 法拉第电磁感应定律 物理学中的场论 限于当时的科技发展水平与理论水平，法拉第养于“场” 皱黯雷看餐务盈筹茬销军状老，蒂宥推断、蒲镯$在质，以 。法拉第没有羊洪嘉等藝美，也就深有熊丸州这些概垒进行 数学的，挂 去在 麦克斯韦的思想 ·法拉第发现的电磁感应现象：变化的磁场能够激发电场： 的年型年斋嘉建鉴厂跟音馨实中，篓斋 蛋鹭喜麦 责春精瘦电移赛测定哥璧 释，这与菱克斯第的预言相符。 lexwamailxidian.edu.cn ·，·,场论与复变敢。···· e@al.in.·。··。··新论与复变。····
物理学中的场论 第1讲矢量分析 扬论发展的道路 必矢量代数 ·法拉第—麦克斯韦糖兹 ·实验理论再实验 失性函数 1901年，意大利的马可尼与俄国的波波夫分别实现了利用 电磁波进行无线电传播。无线电报、无线电广播、无线电 矢性函数徽积分 话、电视、雷达数不尽的无线电技术，在人类社会蓬 勃发展起来。所有这一切，都是源于法拉第的场论思想。 在1997年的EEE MTT-s International Microwave Symposium,Vol.31359~1384页有6篇关于场论发展的文 章，描述了场论近来存在的问题和新的发展情况。 lexu @.mail xidian.edu.cn 场论与复变西数。·。。· fexula mailxidian.edu.cn 扬论与复变函藏.·。。·10 矢量代数 矢量代数 矢量合成、分解 ”失量概念 ·若在二维空间或三维空间内的任一 点P,存在 个既有大小（或称为模） 运算 又有方向特性的量，则称之为实数 合成 分解 失量； 法则 用黑体4表示，而白体A表示A的大 小（即A的模）： 平行四边形 矢量 分解 ·若用几何图形表示，它是从该点出 法则 发西一条节有箭头的真线段，直线 6 具有 段的长度表 关量4的模，箭头的 不唯 指向表示该矢量A的方向： 三角形 一性 ◆ 矢量一旦被赋于物理单位，便成为 具有物理意义的量，如电场 法则 度E、磁场强度H、速度等等。 xu@mail ridian.edu.cn 扬论与复变面。。。· lexulamail.xidian.edu.cn 杨论与复变函数。·。。· 12
到矢量代数 矢量代数 必标准分解 运算定律 ·向固定坐标系的坐标轴方向分解，如直角坐标系： 。加法 a=ai+a j+ak ·结合律(a+6)+=a+b+) ·交换律a+6=b+a aa上Ja+a2+a ·矢量与数的乘法运算 ·结合律iua =(dra)=(2) a+b=(a,+bi+(a+b)j+(a+ ·分配律 (元+4)a=1ā+ud (a+) =1ā+6 ridian.edu.cn 场论与复变西数。···· 新论与复变函数····· 14 矢量代数 矢量代数 必失量的点积 直角坐标系下的矢量点积 ·结果为标量b=abcose0 a=ai+a j+ak b=bi+bi+bk a-b=ab +ab+ab 正交坐标系 i产ik-jf=0 i行成 ai=a,aj=a,ak=a, ab=b-a (a+b)c=ac+b-8 (1a-b)=2(ab) 交换律 分配律 结合律 levu@mailridian.edu.cn ·，··，·扬论与复变面数·。··5 e②idm:ehz. ·。···。扬论与复变函数。·。···6
矢量代数 矢量代数 必矢量的叉积 必混合积 ·结果为矢量 ·a-b-c围成六面体体积 l axb |=absin axb=-bxa (axB)-c =(e×a)-b=(6×c)a ■直角坐标系中的叉积 冬连叉积 (a×b)×c =(a b.-a.b,)i+(ab,-a,b.)j+(a,b-ab =(ac)b-(b·c)a lexua mail xidian.edu.cn 场论与复变西散。··。· 17 feala mail.xidian.edu.cn 场论与复变函藏。。··。· 18 矢性函数 矢性函数 矢性函数 矢性函数 ■基本概念 ·若某一矢量的模和方向都保持不变，此矢量称为常 ■分量表示： 矢，如某物体所受到的重力。而在实际问题中遇到 ·矢量分解与组合满足三角法则或者平行四边形法则 的更多的是模和方向或两者之 一会发生变化的矢量， 这种矢我们称为变矢，如沿着某一曲线物体运动 ·利用正交直角坐标系把失量分解为三个坐标方向的 的速度等： 矢量； ■矢性函数 ·矢性函数同样可以通过三个坐标轴上的投影分量来 ·设t是一数性变量，A为变失，对于某一区间G[a, 表示，且其分量仍为的函数： b]内的每一个数值t,A都有一个确定的矢量A(t)与 之对应，则称A为数性变量t的失性函数。记为 40=A,0r+A,)°+A(02 ·其中，元，，分别为为，以轴正向的单位矢量 A=A(t),t∈G lexuamail-xidian.edu.cn 场论与复变西敢：。。。。0 lexulamail.xidian.edu.cn 。，·。。畅论与复变函数。。。。。 20
矢性函数 矢性函数 矢性函数 矢性函数 ■矢端曲线： ■矢端曲线的参数方程： ·将空间中所有矢量的起点固定在 =x(t+y()i+(t) 坐标原点，当变化时，矢量的终 点描绘出一条曲线，该曲线称为 ■矢性函数的终端M是/上的一个动点，其三个坐 矢性函数的矢端曲线或图形。 标x,y,随的变化规律分别为： ·认为所有大小相等、方向相同的 矢量是同一个失量 =40 矢性函数的表示式也称为曲线的 矢量方程： y=40 曲晚/的参流方程 =A)+A,0+( 2-A) ridian.edu.cn 场论与复变西敢。···· 21 新论与复变函数· 22 矢性函数微积分 矢性函数微积分 失性函数的导数与徽分 。设失性函数0=40+4+么0的三个分量，4y ·导数 4仙在处均可导，则有： ·设和是的失性函数，当数性变量在 其定义域内从变到1+△（△/+0时，对 应的失量从变化到+山)则称 △A △i=+山-和为e对应于Ar的增量。 A(D) 令： A1+)-A0 At+△t)） 台÷学 四=m ·把一个矢性函数导数的计算转化为三个标量函数的 若极限存在，则称矢性函数在处可导， 导数的计算； 且此极限为矢性函数在处的导数。 ·失性函数的导数仍为失量； lexmiamailridian.edu.cn ···，·场论与复变雷敢。···· 心@m讯m加m·。·····扬论与复变函敢.。···
矢性函数微积分 矢性函数微积分 ■导矢的几何意义 必导矢的几何意义 ·1>0,指向与A一致，指向值增 大的一方： ·△0 ·导矢是失端曲线在处的切向矢量，其指向对应增 方： 大的一方： ·△M→割线MN绕M转动，其极限位 A+△) 置为M处（即t点）的切线，而导失为 A( ·票为切向单位矢， 处制线向量的极限，即与切线平行 40时，与阳 5,-开+ d 方向一致（增大一方）；而当<0时，与u相反(1 (—常数) 6品x-x月+k项 减小一方) 7°复合函数的导数 ■徽分同样可以用分量的形式表述出来： 设a=),=n),则： dAdA du da=0d=[40+A0少+0习d d血d加h =A)d+A0边+A0d山三 =dA.i+dA,d. 场论与复变西。。·。。· 27 杨论与复变函数●。·。。· 28
矢性函数微积分 矢性函数微积分 矢性函数的积分 不定积分性质 ·不定积分 1”明=0a 4「a-a)=a-a)d ·若在的某个区间[a,b1上，0=)，则称)为) 2ji±o-∫)d±dt 5ja×4)-x∫d0d 在该区间上的一个原函数，而：的全体原函数称之为 3°fu云=afd 其中k是常数，石是常矢量 此区间上的不定积分。记为： 6'换元积分法：设u)具有原 函数)，=g)可导，则0为 7部分积分法： [)dr Auw'《的原函数。即： 「d)xu)d-Ar)x0-「r)B0d 了A明'0通=豇+e 。常矢的导数为0，若)为0)的一个原函数，则)的 全体原函数为)+，其中c为任意常矢。 若A=A,0+A,护+A(2,则根据2,3有 。因此有： 了d)-40)t+∫4，)d+可40 [A(tdt=B()+ 将一个矢性消数的不定积分转化为三个数性函数的不定积分 lexw a mailridian.edu.cn 场论与复变雷数··。·· fexula mail.xidian.edu.cn 场论与复变函数。· 矢性函数微积分 矢性函数微积分 定积分 ·矢性函数的定积分计算有类似于数性函数牛顿一莱布 …极限 lim()=tim+lmlim( 尼兹公式的计算公式： m克0-) 连续 limi()-lim 4,(n)=4,() ■若是在区间T，T上的一个原函数，则： 四40=《 ∫4)d=B)-T) 导数 dicd h 微分 dA(t)=dA,idd,y+dd. 积分 ∫0h=A,)dt+可A,d+4)d lexumail ridion.edu.cn ·，。·。·场论与复变面敢。···· 31 le2@ial.记i.l.c ·。····扬新论与复变函数。····2
矢性函数微积分 矢性函数微积分 例1设有二矢性函数 e(o)=cos+sini 三()=-sin元+cosp月 失性函数不=A,(t)R+A,(t方+A,(t)2 证明(=(，且 (⊥c( e(o 运算 LLA(D]=LIA,(D+LIA,(+LIA,()2 华证] ()=) L是算子符号，代表一种运算（极限、导数、积分》 2()=(cosoy+(sin oy j=-sin o i+coso=() 一些基本矢量运算 (o)=(-sin gy +(oos'=-coso t-sing=-o) (p小(9)=cosp(-snp+sin cos0=0→(p)1ξ(p a-b=a-b.cos a(6×c)=c-axb)=5xa) b.b,b 显然，这两个矢性函数均为单位矢量，其模值为1，即为 ax(bxc)=(.c)b-(a.b)c 单位圆矢量，且有()=+90) .mail ridian.edu.cn 场论与复变西敦。···· lexulamail.xidian.edu.cn 。。,。。。,扬论与复变函藏●。。。。· 34 矢性函数微积分 矢性函数微积分 例2证明失性函数棋为常数的充要条件是4=0 &例3已知和)与一非零常矢量B满足A)B=4,又知)与B 冬证必要性：若1A为常数，则F为常数 之间的夹角0为常数，试证明)1(。 对其两边求导，并利用矢性函数求导性质5可知： 证]At)B=t→A(0B=1=A(t)川B引cos0=1 14-0 B为常矢，为常数 充分性：若-0，则-4=24号0 |(0川为常数 由数性函数的求导性质知AP为常数，进而知： A1为常数 ,4”=0→1” 即证到 ridian.edu.cn 场论与复变西散。·。。·5 lexulamail.xidian.edu.cn
矢性函数微积分 矢性函数微积分 冬例4 计算2pe(g+1)dg 必例5 计算p)dp=行-0 解剧 (+1)=cos(+)+sin(+) 冬解 (do(-(0) 换元，令u=0°+1，则 2oe+)d6=[r9u(1d9 =eos号+sin号0-(eos0r+sin0的 =-+ =e(u)du=-g(u)+c =-e(⊙2+1)+ =-sin(+1)+cos(+)+ ridian.edu.cn ,，。·,。场论与复变西敢····· 37 feanmail.xidiun.edu.cn 扬论与复变数。···· 而砖生于杆技大学 作业 电子工醒字院⊕“ http://aee.xidian.odu. P18 新学期快乐 ■2、4、9 en0 lidion.edu.切·，·，，·扬论与复变通敢都，·。。·