Review 冬矢量代数 矢性函数 场论与复变函数 矢性函数微积分 主讲：徐乐 lexu@mail.xidian.edu.cn 场论与复变西散 矢性函数 矢性函数微积分 矢性函数 矢性函数的导数与微分 ■基本概念 ▣导数 ·若某一矢量的模和方向都保特不变，此矢量称为常 ■ 设：是的矢性函数，当数性变量在 矢，如某物体所受到的重力。而在实际问题中遇到 其定义域内从变到+△1（△1≠0时，对 的更多的是棋和方向或两者之 会发生变化的矢量， 这种矢量我们称为变矢，如沿着某一曲线物体运动 应的失量从变化到A+4)，则称 的速度等： △d=At+)-0为A)对应于△的增量。 A(1) ■矢性函数 ■令： 名回和 A(t+△t) ·设是一数性变量，A为变矢，对于某一区间G[a, b]内的每一个数值t,A部有一个确定的矢量A(t)与 之对应，则称A为数性变量t的失性函数。记为 若极限存在，则称矢性函数在处可导， 且此极限为矢性函数在处的导数。 A=A(t),t∈G lexua mail.xidian.edu.cn 场论与复变面数。···· 场论与复变西数 4
矢性函数微积分 矢性函数微积分 ”矢性函数的微分 设A=),B=B)和r=)可导，则有： ·定义 dA=A(t)dr -出+… ■失性函数的微分是一个矢量，且在矢端曲线上处的切 dr ”品d±画-4吸 线方向，但不恒指向增大的一方，当△>时，与和 山h 5品列-盟1腰 方向一致（增大一方）；而当△山<时，与相反(1 3话④=西 (k—常数) 日角台+ 6 减小一方) d 7°复合函数的导数 ■微分同样可以用分量的形式表述出来： 设a=),u=u),则： dAdA du dA=0d=[40.f+40+0]d =A)边+ALd+A)山E =dA,dn idA. lexua mail.xidian.edu.cn 场论与复变函数······ lexul@mail.xidian.edu.cn ,场论与复变函数······· 矢性函数微积分 矢性函数微积分 矢性函数的积分 ”不定积分性质 ·不定积分 1fIk4u1d=kA)山 4'「a4)h=a「au)h ■若在的某个区间a,b上，)=r,则称为 2°jia0)±u1d=∫a0d±∫B0 5「a×0d=ax「a0d 在该区间上的一个原函数，而 的全体原函数称之为 3「u0ad成=af)l 其中是常数，石是常矢量 此区间上的不定积分。记为： 6°换元积分法：设其有原 函数w),H=et)可导，则ot)为 7部分积分法： ∫a)d A(])的原函数，即： ∫))请-0i)-∫)ai) 「A】p0t=B0l+d ▣常失的导数为0，若为的一个原函数，则的 全体原函数为 )其中为任意常矢。 若A=A.)元+A0炉+A,02,则根据2”，3有 ◆ 因此有： [A(ndt=B()+c ∫A0=i∫A,0d+∫A,)h+∫4,0d 将一个东性函数的不定积分转化为三个数性函数的不定积分 u@mailxidian..ed.cn,,。·。·,希论与复变项数、·。·。。· lexu@mail..am.eda.cn。。·。·,菊论与复变函最。。、····
矢性函数微积分 矢性函数微积分 冬定积分 冬总结 ·矢性函数的定积分计算有类似于数性函数牛顿一莱布 极限 m0=mA0+m4,0+im4)归 尼兹公式的计算公式： imA,)=4,) ·连续 im0=A)一1im40=A,《) ·若是在区间[T,T1上的一个原函数，则： m40=46) a0d=)-) 导数 dh山 微分 dA(t)=dA,dAdA •积分 「)d=可4)h+A)d出+可A)d 场论与复变面数。······ lecn@mail.xidia.m.cn,。,。。,,扬论与复变函数 矢性函数微积分 矢性函数微积分 总结 例1设有二失性函数 e()=cos+sini e(@)=-sin元+cosp 失性函数A=A,(t)R+A,(t方+A,(t)2 证明=0， “(= 且(1（的 (o) 运算 LIA(D]=LIA,(+LIA.(+LA,(0]2 证到 L是算子符号，代表一种运算（极限、导数、积分） ()=(cosoY+(sin oYj=-sin oi+cos=() 一些基本矢量运算 o)=(-sing)i+(coso)'j=-cosi-sing=-(o) (ee(p)=cosp(-snp)+-sincoso=0→(p)⊥E(p a.b=a.b.cos a6×)=c(a×b)=b(c×a) 显然，这两个失性函数均为单位矢量，其模值为1，即为 ax(bxc)=(ac)b-(a.b)c 单位圆矢量，且有()=(0+90) lexu(a mail-xidian.edu.en 场论与复变数···。·· lexu@mail..xidian.edu.cn 场论与复变函敬。。。··。。 2
矢性函数微积分 矢性函数微积分 。例2证明失性函数模为常数的充要条件是A4=0 冬例3已知（与一非零常失量满足）再又知 与 B 1证必要性：若1A为常数，则A·i为常数 之间的夹角为常数，试证明 A')⊥A) 对其两边求导，并利用失性函数求导性质5可知： 冬证] (t)-B=14()-B=1()Blcos0=1 A4=0 B为常矢，0为常数 d山 充分性：若号-0，则料4利=21生0 1川为常数 由数性函数的求导性质知A为常数，进而知： 盖利-2-0 A为常数 ,A”=0→升1” 即证] lexuia mail.xidian.edu.cn 场论与复变函敬，······ lexu@mail.xidian.edu.cn 场论与氯变卧取······· 矢性函数微积分 矢性函数微积分 例4 计算2oeg+1)do ·例5 计算p)dp=9-0 解] e(2+1)=cos(+)+sin(+1) 冬解 de-0) 换元令u=02+1,则 「2pe(g+l)d=()u(o]dg =(os受+n号-(cos0i+sn0列 =-f+ =c(u)du=-g(u)+c =-e(⊙+1)+正 =-sin(+1)+cos(+)+ lexu@mail.cidian.edu.cn ,,·,··希论与复变函数。······5 eama.ai.eda.cn。··。·,希论与复变数。。。····16
作业 第2讲数量场 P18 必场论导论 ?矢量场的矢量线 数量场的等值面与等值线 ■2、4、9 数量场的方向导数与梯度 lexua mail.xidian.edu.cn 场论与复变面数。。··。·· 17 lexu@mail.xidian.edu.cn ,场论与复变西数 ···。18 场论导论 场论导论 场论初窥 。场的一个重要的属性是它占有一定空间； ·如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理 量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量 且在该空间域内，除有限个点和表面外，其物理 的一个场。换句话说，在某一空间区域中，物理量的 量应是处处连续的； 无穷集合表示一种场。 ·在研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间的分布状 冬若该物理量与时间无关，则该场称为静态场； 态时，数学上只需用一个代数变量来描述，这些代数变量（即 标量函数)所确定的场称为激量场，如温度场T,乃)、电位 ÷若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或时 扬（化，水）等。 变场。 数量场矢量场 而在许多物理系统中，其状态不仅需要确定其大小，同时还 需确定它们的方向，这就需要用一个失量来描述，因此称为 静态场 失量场，例如电场、磁场、流速场等等。 动态场 lexufa mail.xidian.edu.cn 场论与复变函数。。··。··19 场论与复变西数。 。···。·20
矢量场的矢量线 实量场的矢量线 必矢量场 必矢量线 ·曲线在其上每一点处都与该点的矢量4相 ■M为矢量场中的任意一点；A=AM) 切： ■矢量场中分布在各点处的矢量是场点的 ·失量线方程：d让_少_d也 函数 Ax Ay A ■直角坐标系下，矢量场可表示为： ■Note:A不为0，且其3个分量单值、连续 4=A(x,y,2)i 且具有一阶连续偏导数时，矢量线存在 单值、连续且具 +A,(x,y,z)j 有一阶连续偏导 且互不相交； ■矢量面：通过曲线C的矢量线构成的曲面： +A(x以，z)R ■失量管： 曲线C封闭时的矢量面。 lexua mail.xcidian.edu.en 希论与复变函数。·。····21 lexu@mail.xidlan.edu.cn ,场论与复变逊敢 ,·22 矢量场的矢量线 矢量场的矢量线 ÷例2求矢量场通过点M(2,-1,1)的失量线方程 例1求矢量场4=y2a,+xy0,+2a的矢量线方程。 A=xzi+yzj-(x2+y2)k [解引：失量线应满足的徽分方程为 ÷解矢量线方程应满足微分方程： d dy dz x':y'z A.2vz 2y':A xy yz dx dy xdx ydy y AAA 等比定理 dx dy x2-y2=c x2+y2+z2=c d(x2+y2) dz xy2 x'y dx dz Z=C2x y=Cx 2(x2+y2)z (x2+y2) dx d y'z C1和c是积分常数。 C= C=0 lexu@mail.xidian.edu.cn 场论与复变函数、······23 lexu@muil.xidian.edu.cn 斯论与氮变西藏。······24
数量场的等值面与等值线 数量场的等值面与等值线 必数量场 数量场分析方法 ■数量场中各点处的数量是位置的函数，在直 ■全局特性：等值面； 角坐标系中，是点坐标，y,的函数，即： ■局部特性：梯度： u=u(x,y,z) 等值面 ■Note1:数量场可用一个数性函数来表示； ·在数量场中，使函数取相同数值的所有点组 ■Note2:场存在的空间即为其定义域； 成的曲面称为该数量场的等值面。如温度场的 ■Note3:函数单值、连续且有一阶连续偏导 等温面，电场的等位面等，等值面方程为： u(x,y,z)=c(常数) lexua mail.xidian.edu.cn lexu@mail.xidian.edu.cn 。。。， 场论与复变函歌.。。··。。26 数量场的等值面与等值线 数量场的等值面与等值线 冬等值面 必等值线 ■Note1:函数单值且各连续偏导数不全为0，则等值面 必存在。 ■与三维数量场等值面对应，在函数（化，y)所表 ■Note2:给定不同的常数c,就得到不同的等值面。c取 示的平面数量场中，具有相同数值的所有点连 遍所有可能值时，这族等值面充满数量场所在空间， 成的曲线称为此数量场等值线，如地形图上等 且这族等值面两两互不相交。 高线等。其方程为： Note3:数量场中的每一点都有一个等值面通过，且函 u(x,y)=c 数单值，故每一个点均有且仅有一个等值面通过。 ·数量场的等值面或等值线，可以帮助我们直观 地了解场中物理量的分布状况和变化快慢。 lexu(a mail.xidian.edu.cn 场论与复变函数 ·27 lexu@mail..xidian.edu.cn 场论与复变西数。。。··。·28
数量场的等值面与等值线 ···,场论与复变敬······29 数量场的等值面与等值线 数量场的方向导数与梯度 例3求数量场u=(x+y)2-z通过点(1,0,1)的等 数量场的方向导数和梯度 值面。 ■为了考察物理量在场中各点处局部性特征，需要研究 解1： 场在各点邻域内沿每一方向变化情况。为此，引入方 向导数的概念。 等值面方程的一般形式为：u=(x+y)2-z=c 设M是数量场u=(M)中的一点，从M。 因为点(1,0,1)在等值面上，坐标必满足该方程： 出发沿某一方向引一条射线，在上M。 。M 的邻近取一动点M,MM=p,若当M→M, c=(1,0,1)=(1+0)2-1=0 时（即p→0）：△u_M)-uM) 故要求的等值面方程为(x+y)-z=0 极限存在，则称此极限为数量场在点M。 沿方向的方向导激，记作： 或 z=(x+y) Mo p lexu@mail.cidian.edu.cn 希论与复变丽数，······31 eu0 mail-xidiar.em.cn·。··。·,新论与复变西数。·。····32
数量场的方向导数与梯度 数量场的方向导数与梯度 冬方向导数 冬证] M点坐标为：(，+△x,乃+△，+△) ▣Note1:是数量场在一点处沿某一个方向对距离的变化率； ■Note2:当>0时，表示在该点处数量场沿方向是增加 在M,可微→A=M0-uM,)=Ar+0Ay+产A+@-p 的，反之就是减小的： ω是比p高阶的无穷小。两边除以p得： ■Note3:在直角坐标系下，方向导数有以下定理所述的计 △udu△r,auAy,u△z +@ 算公式： p dx p oy p o p ■[定理若函数u=u(x,y,z)在点M(,)处可徽， c0so -c+cosB+a cosa,cos阝，cosy为方向7的方向余弦。则在处沿 方向的方向导数必存在，且： 当p→0时，取极限可得9=os2+ cosa u cosy 即证 lexu(@mail.xidian.edu.cn 场论与复变硒数。。。。。··33 lexu@mail.xidian.edu.cn 场论与复变西散 数量场的方向导数与梯度 数量场的方向导数与梯度 例4求数量场4=+少在点M(1,1,2)处沿7=+2+22 推论若函数u可徽，且曲线C光滑，则在点M处沿曲线 方向的方向导数。 C(正向)的方向导数与函数在点M处沿切向方向( 指向C的正向一侧)的方向导数相等。 解1方向的方向余旋为 cosa=cos= 例5求函数u=3xyy2在M(2,3)处沿曲线=x2-1朝增 3 大一方的方向导数 由数量场表达式知 公 解1将曲线写成矢端曲线形式可得：下=xi+方=xi+(x2-1) du 2x ou 2y du x+y 212 dx z dy z dz 2 23 朝增大一方曲 将M点坐标代入，则 23 7 17 赖切向方商下'=i+2可=1+4行 60 7 lexu(@mail.xidian.edu.cn 场论与复变函。。··。··35 lexu@mail..xidian.edu.cn 场论与复变西。。。·。。·36
数量场的方向导数与梯度 数量场的方向导数与梯度 梯度 研究所有方向的变化率：不必要也不可行： ■方向导数为数量场在一点沿某方向的变化率； ?研究何方向变化率最大：如何寻找该方向？ 该最大变化率是多少？ ■过给定一点，可以有无穷多个方向，数量场沿 冬再看方向直角坐标系方向导数计算公式： 每个方向都有一个方向导数： 研究所 方向 的变化 cosy tu cosa+iy cos ”可以将变量分解为两组： 数量场在场中一点处 ■只与数量场中的空间点有关： ,,u G 的性质 研究何 ·只与该方向导数研究的方向有关： '' (cosa,c0sB,c0sy→1o 8 化率最 音-6i--l@bw6.i lexu@mail.xidian.edu.cn 希论与复变函数· 37 lexu@mail.xidian.edu.cn 场论与复变函散· 。。。 38 数量场的方向导数与梯度 数量场的方向导数与梯度 ■Notel:G仅与空间点有关，在确定的点处是常矢： 梯度 ■Note2:G在方向上的投影恰为数量场沿该方向的 ■Notel:梯度是矢量； 方向导数： ■Note3:当i与方向一致时，方向导数取得最大值 ■Note2:梯度定义与坐标系无关，仅与数量场 ■Note4:G为数量场在该点变化最快的方向 分布有关： [定义]在数量场u(M0中的一点M处，其方向为函数u(M 在M点处变化率最大的方向，其模恰好等于此最 "Note3:定义直角坐标系哈密顿算子：？会+号 大变化率的矢量，G称为u(M0在M点处梯度，记为： ■Note4:梯度的算子定义：gradu=-Vu grad u G lexu@mail.xidian.edu.cn 希论与复变丽数，······39 lexu@muil.xidian..da.cn·。··。·,场论与复变函数，。、····40