西安电子科技大学：《复变函数与场论》课程教学课件（讲义，2014）第5讲 哈密顿算子及正交曲线坐标系

南安电分许技款警 电子工程学院DD School of Electronic Engineering,Xidian University http://see.xidian.edu.cn 场论与复变函数 主讲：徐乐 2014年9月15日星期一

场论与复变函数 主讲：徐乐 2014 年 9 月15日星期一

Review ■有势场 A= grad u 4=-grad v rot4=0 (xy,) P(x,)dx+[Q(x.y,=)dy+ R(x,y,)d ◆ 管形场 dia三0 U=∫0xy2d- R(x,y,o)d V=-[P(x.y.)d= A≡rotB W=C(C为任何常数) ·调和场 divA=0 x,)=-「广Px,.)- O(x,y)dy rot4=0 (xy)=广OGxy,)+Pxy) lexu@mail.xidian.edu.cn

Review  有势场 A  grad u  A  grad v  rotA  0  有势场 g g (, ,) (, , ) (, , ) (, ,) o oo x yz oo o x y z u x y z Px   y z dx Q x y z dy R x y z dz     管形场 o oo y divA  0  0 0 0 (, ,) (, , ) z y z y U Q x y z dz R x y z dy       A  rotB   0 (, ,) (C ) z z V P x y z dz W C       为任何常数  调和场  W C (C ) 为任何常数 div 0 A   (, ) (, ) (, ) x y o v x y    P x y dx Q x y dy div 0   rot 0 A A    (, ) (, ) (, ) o o o x y y y Q yy   (, ) (, ) (, ) x y u x y Q x y dx P x y dy      lexu@mail.xidian.edu.cn 2 (, ) (, ) (, ) o o o x y u x y Q x y dx P x y dy   

Review ■共轭调和 Ou ov ou ov 共轭调和条件 ox ay'dy dx ouou =0 共轭调和函数 =0 02 O a2 2留 ■拉普拉斯算子 △三 拉普拉逊 调和量 满足拉普拉斯 △u=div(grad 方程，且有二 阶连续偏导数 ■拉普拉斯方程 △u=0 的函数，叫做 调和函数 lexu@mail.xidian.edu.cn

Review  共轭调和 , u vu v         共轭调和条件 x yy x 2 2 0   u u   2 2 2 2 2 2 0 0 x y v v         共轭调和函数 2 2 0 x y    222   拉普拉斯算子 222 xyz        拉普拉逊 满足拉普拉斯  调和量 拉普拉斯 u u  div(grad ) 满足拉普拉斯 方程，且有二 阶连续偏导数 lexu@mail.xidian.edu.cn 3  拉普拉斯方程 u  0 阶连续偏导数 的函数，叫做 调和函数

第5讲哈密顿算子及正交曲线坐标系 ■哈密顿算子 ■正交曲线坐标系 lexu@mail.xidian.edu.cn

第5讲 哈密顿算子及 交曲线 标系 正交曲线坐标系  哈密顿算子  正交曲线坐标系 lexu@mail.xidian.edu.cn 4

哈密顿算子 微分性 矢量性 ■V算子一哈密顿算子 Nablat那勃勒) ·直角坐标系定义：？ Del代尔) ·梯度： gradu Vu 0u+0+ 数乘 ·散度： 4=74 a4,a4 点积 。旋度： ōtdM=7×☒ pa一 叉积 lexu@mail.xidian.edu.cn

哈密顿算子 算 哈密顿算 微分性 矢量性  ▽算子——哈密顿算子 • 直角坐标系定义    Nabla(那勃勒) • 直角坐标系定义： • 梯度： z z y y x x ˆ ˆ ˆ           ˆ ˆ ˆ uuu uxyz      Del(代尔) • 梯度： gradu  • 散度： uxyz x y z        x y z A A A A        gradu  divA  数乘 点 xyz ˆ ˆ ˆ 散度 A x y z      divA  点积 xyz A x y z          • 旋度： rotA  叉积 lexu@mail.xidian.edu.cn 5 x y z y A A A

哈密顿算子 ·一个新的微分算符 (47)u=4 A,0 +4 A.V=A, 一+ (AV)B=A C CB CB 一+4 +4 8A.A,OA. (A. B+A, +A ax dy 0 6B. 6B. =(A +4 +42+ lexu@mail.xidian.edu.cn

哈密顿算子  一个新的微分算符 ( ) xyz uuu A uA A A         AA A A xyz x y z        ( ) xyz  x y z ( ) xyz BBB A BA A A xyz            ( )ˆ xxx xyz BBB A A Ax xyz BBB         x y z A A A A x y z          ( ) ˆ ( )ˆ yyy xyz zzz BBB A A A y xyz BBB AAA           lexu@mail.xidian.edu.cn 6 ( ) zzz AAA xyz z xyz   

哈密顿算子 ■两个矢量恒等式 div(rot)=0 7.Vx)=0 旋无散 rot(gradu)=0 7×(Vu)=0 梯无旋 lexu@mail.xidian.edu.cn

哈密顿算子  两个矢量恒等式 div(rot ) 0 A      ( )0 A  旋无散 rot(grad ) 0 u    ( )0 u 梯无旋 lexu@mail.xidian.edu.cn 7

哈密顿算子 ■两个积分变换 AdⅡ= rotA.ds A.dl= 7×Ad枣 线→面 A.ds divAdy A.ds= V.Adv 面→体 lexu@mail.xidian.edu.cn

哈密顿算子  两个积分变换 Adl A ds   rot        Adl A ds           线→面 L S   L S   线 面 A ds divAdv           A ds Adv   面 体     S V A ds divAdv   面→体 S V A ds Adv     lexu@mail.xidian.edu.cn 8

哈密顿算子 (1)又(cu)=8又w(e为常数) (2)T·(c4)=c7·A(c为常数) (3)V×(c4)=c7×A(e为常数) (4)7(w±)=Vu±7 (5)y(A±B)=7"A+Y·B (6)又X(A士B)=7XA±VXB (7)又·(e)=7w·c(e为常矢) (8)中×(e)=vu×c(e为常矢) (9）V(w)兰478+彩7u (10)7.(A)=wV·A+7u·A (11)7×(u4)=w7×A+YuXA lexu@mail.xidian.edu.cn

哈密顿算子 lexu@mail.xidian.edu.cn 9

哈密顿算子 (16)7×(7)-0, (17)7·(7×A)a0 (18)7×(又×4)=V(7)-△4 (其中M=M1+M,J+M,), (12)V(A·B)■A×(7×》4(A·V)量中B×(寸x4》 *可)A (13)7:Ab)■圆(y×A)-A·（可×) (14)又×(kx)=(B,A-(A,)B-(7"A) +A(7)为 (13)又（罗）=A(4g为物. lexu@mail.xidian.edu.cn 10

哈密顿算子 lexu@mail.xidian.edu.cn 10