Review 有势场A=grad u 4=-grad v rotA=0 u(x.y,z)= Px,y,)k+∫广0xy2d+ R(x,y,z)dz 场论与复变函数 冬管形场 divA=0 0=∫0xyk-∫广R(xyo4 V=-∫Pxy,)t A≡rotB W=C(C为任何常数) 必调和场 div4 =0 v(x,y)=- P(x,y )dx- O(x.y)dy rot=0 主讲：徐乐 u(x.y)= O(x,y)dx+ P(x,y)dy lexu@amail xidian.edu.cn 场论与复变西敢 。。 2 Review 第5讲哈密顿算子及正交曲线坐标系 冬共轭调和 ou ov ou ov 哈密顿算子 dx ay'dy ex 共轭调和条件 au0-0 正交曲线坐标系 axv 共轭调和函数 是0 拉普拉斯算子 △三 拉普拉逊 02 冬调和量 满足拉普拉斯方程， 拉普拉斯方程 △u=div(gradu) 且有二阶连续偏导数 的函数，叫调和函数 △1l=0 场论与复变教： xidian.edu.cn
哈密顿算子 哈密顿算子 V算子一哈密顿算子 ?一个新的微分算符 ·直角坐标系定义：v号号+ Nablat那勃勒 au=40停4号 ■梯度： radu =Vu ++ 数乘 Del代尔) .v=42 ■散度： a认c404 dx dy dz 点积 a.v)B=4返 v.4-4,4+4 ■旋度： 叉积 A fexutmail.xidian.eda.cn 场论与复交函。···· lexuaimailcidian.edu.cn 场论与复变西激.···· 哈密顿算子 哈密顿算子 必两个矢量恒等式 必两个积分变换 div(rot)=0 7-(V×4)=0 旋无散 ∮a.i=oa.s∮.l=∬x. 线一面 rot(gradu)=0 7x(Vu)=0 梯无旋 ∯A.店=∬a ∯4.=∬pa动 面一体 fexulmail.xidian.edu.cn eu@mail vidian.en······场论与复变袁○····
哈密顿算子 哈密顿算子 (1)V(cu)=cVu(c为常数) (12)V(A·B)=A×(7×B)+(A·V)B+B×(V×A) (2)V·(c4)=eV·A(c为常数) +(B·V)A (3)V×(cA)=cV×A(c为常数) (13)V·(A×B)=B·(V×A)-A·(V×B) (4)7(u±)=Vu±Vt (14)V×(A×B)=(B:V)A-(A·V)B-B(V·A) +A(V·B) (5)V·(A±B)=V·A±V,B (15)V·(V4)=72u=△u(△u为调和量) (6)V×(A±B)=7×A±7×B (7)V·(uc)=74·c(c为常矢) (16)V×(Vu)=0, (8)V×(we)=Vu×c(c为常矢) (17)V·(V×A)=0, (9)V(w)=u7p+。7u (18)V×(7×A)=V(7·A)-△4 (10)V·(uA)=u7·A+7u·A (其中AM=△Ai+△A,J+AA,k), (11)7×(A)=u×A+7u×A fexulamallxidian.edu.en 场论与复变通教··。·· lexuamail xidian.educn 。。,。。,论与复变西数 10 哈密顿算子 哈密顿算子 (19)Vr==r [f(u)gu)]' =f'(u)g(u)+f(u)g'(u) (20)V·r=3 (21)V×r=0 ·哈密顿算子服从 (22)Vf(w)=f(u)74 乘积的微分法则 (23)V,)=乎u+芝 作用于n顶乘积 V= + + v.a-+04, u ay 时可以写成n项 (24)v)-f,=frr 之和： ·徽分性在每项 矢量性 微分性 中分别只对一 (25)V×[f(r)r]=0 a a V×A 个变起作用： a (26)V×(r3r)=0(r≠0) a证 矢量性如同一 A A A 般矢量起作用 扬论与复变通教：·。。·1 场论与复变西
哈密顿算子 哈密顿算子 例1证明V(uw)=Vv+vVu 例1证明7(uw)=uVv+vVu ·证直接法 ·证公式法 V(uv)=V(uv)+V(uv) -d()()): V(uv)=u.Vv vVu=V(uv) V(uv)=u,Vv+v.Vu V(uv)=uVv+vVu =uVv+vVu fexut manl.xidian.edu.en ,,。场论与复变数。···· lesu@moil xidian.edu.cn 哈密顿算子 哈密顿算子 例2证明 V.(uA)=uV.4+Vu.A 例3验证 j(a×)di=2∬a:dk a为常矢 ■证] 7.(uA)=V·(uA+V.(uA) ■证 ∮(a×r)-di=Jj川x(axFs V.(uA)=uV.A=uv.A V·(uA)=7uA.=Vu·A 7x(a×月=7×(a×F)+Vx(a×F) Vx(a xr)=a(V.F)-(aV) V×(a×元)=(V)a-(V,a) V.(tuA=uV.A+Vu·A Vx(axF)=a(V.F)-(a.V)+(FV)a-F(V.a) (a.=a +a,0y =ax+ai+a2=a Vx(axF)=2a ∮(a×)-dl=2a:s fexumail.xidian.cdu.cn ·,··，·场论与复变通数。···· 15
甲子工程学院⊕尘① Suhool of Electronic Engineering.Xidian University http://see.xidian.ed 正交曲线坐标系 空间点除了能用直角坐标，)表示外，也可以用 Let's have a rest! 另外三个有序数(4,92,93)来表示 q是（化，y,)的单值函数，对应于空间曲线，故称其 为点的曲线坐标； lexu@mail xidian.edu.cn 。。。。,场论与复变函 。。。 正交曲线坐标系 正交曲线坐标系 冬坐标曲面 91(x,y,z)=G 坐标曲线相互正交 z q3 a ·各坐标曲线在该点的切线互相正交 892 q(x,y,z)=c2 ”坐标曲面相互正交 a ■9是单值函数 9(x,y,z)=C3 ·各坐标曲面在相交点处的法线互相正交 ·在空间各点，每族等值曲面都仅有一个曲面 正交曲线坐标系 经过 曲线 ■a,为曲线4，上的切向单位矢，且指向g曲线增大一方，若a1, 坐标曲线 42,43互相垂直且满足右手螺旋关系，则称构成的坐标系为 正交曲线坐标系： ·坐标曲面两两相交形成的曲线 ■最常用的两种正交曲面坐标系 ·坐标曲面q1=℃和q2=c,坐标曲面形成的坐标 一圆柱坐标系 曲线上仅有q在变化，因此称为q3曲线。 一球面坐标系 论与复变数。。·。··” lexu@mail xidian.edu.en 20
正交曲线坐标系 正交曲线坐标系 拉梅系数 =产山 冬H称为拉梅系数 0q1 ■坐标曲线弧微分d,=±√dr2+dy2+d ■G.Lame' ■点坐标(q,9,93)的函数 -dq*8g: z+ d d-laaq 必拉梅系数表示的体积元 dv =ds,ds,ds,=H,HH,dqdq dqs ds, y+@+(yd山， 拉梅系数 Bg. 拉梅系数表示的面积元 ds,= H,=. +y+( ds=ds ds=H,H,dg dg dq, q2 8q, 8q: ds=ds,ds=H,H,dg dqs ds, r+y+匹}d西 ds,=H dq, ds=dsds,=H,H;dq dgs ", 场论与复变西戴· 。。。 lexu@moil xidian.edu.cn 场论与复变函数· ··22 正交曲线坐标系 正交曲线坐标系 一般曲线的弧微分 冬圆柱坐标系 ■圆柱坐标系中任意点P可用p,p,z ds"=ds +ds,?+ds 表示，与直角坐标系的关系为： 冬直角坐标系与正交曲线坐标系弧微分的关系 p=+ arctan 2=2 H'dq2+H2 dq2"+H'dq ?=dx2+dy+dz? ■除a,外，a。和a都会随点的位置而发生改变，不是常失。 但三者总保持正交且遵循右手螺旋法则。 coso sin -sin g cosg 0 ,×in=a 0 0 fexulmail.xidian.edu.cn ，··，·场论与复交面数：····2
正交曲线坐标系 正交曲线坐标系 例5求圆柱坐标系的拉梅系数 ÷解21弧微分公式法 。解1川定义法 H 匹++匹 . H'do+H dq+H dq2=dx+dy?+dz? x=pcos dx cos odp-psin odo v=psin dz=dz 2=2 dy sin odp+pcos odo x=pcos y=psino H 'dp'+H 'do+H.'dz"=dp+p'do+dz Z=Z =++停 H。=l,H。=p,H,=1 fexutamall.xidian.edu.cn 。。 场论与复变通数●· lexu@mail xidian. 。·。。,扬论与复变西敢 26 正交曲线坐标系 正交曲线坐标系 ■Notel: 0≤0≤0 0≤p≤2元 心哈密顿算子：P忌品 ■Notc:由于曲面坐标系中坐标轴方向的单位矢量一般 -00≤z≤00 不再是常矢，因此哈密顿算子参与矢量运算的时候需 ■Note2: r=pa。+zd 要考虑到对方向单位矢的微分作用。 ·Note3:长度增量：dl。=d中，dl。=pdo,dl=dz pa。a ■Note4:拉梅(G.Lame)系数<度量系数：长度增量与各自坐标 增量之比： 么==，么==p,么==1 .a=1dp4)+144 do dz "Note5:与单位矢量垂直的三个面积元： 4pA。4 ds=dl dl =pdodz;ds=dldl.=dpdz;ds.=dl dl=pdodp 拉普拉斯算子：=1ap0+↓0+0 ■Note6:体积元： dy =dl,dl,dl,pdpdodz fexulamall.xidian.edu.cn 场论与复变西··。。·” lexuamail xidian.edu.cn 场论与复交西数 28
正交曲线坐标系 正交曲线坐标系 ■Notel: 0≤r≤00 球坐标系 0≤0≤π ▣球坐标系中任意点P可用r,,0 0≤0≤2π 表示，与直角坐标系的关系为： ■Note2: A=Aan+Aan+Aa。 r=√++z ■Note3: o-arctan 长度增量：dl,=dr,dl。=rd0,dl。=rsin0dp ■Note4:拉梅(G.Lame)系数：长度增量 与各自坐标增量之比： ·a,a和a都会随点的位置而发生改变，不是常矢。三 =广，h3= dr le=rsin do 者总保持正交且遵循右手螺旋法则。 sin cos sinsin p cos0 a ■Note5:与单位矢量垂直的三个面积元： coscoso cosesin -sin am×an=a ds,=dladl =r'sin Ododg.dso=dl dl =rsin edrdo,ds.=dl dla=rdrd -sin coso 0 ■Note6:体积元： dv=dldldl=rsin Odrddo .,。,。扬论与复变数。···· 9 lexu a mail vidian.edu.cn ·。··。·,场论与复变西数 正交曲线坐标系 正交曲线坐标系 心哈密顿第子：品 1 正交曲面坐标系中的场分析：。 ■Note:由于曲面坐标系中坐标轴方向的单位矢量一般 ■梯度： 不再是常矢，因此哈密顿算子参与矢量运算的时候需 西4+阿：4+n4 要考虑到对方向单位矢的微分作用。 ■散度：有=已么4+2，)+h44】 sinosinn h九，hag, 0g2 cqt 7,A= 60 0o ha ha,has V×A= ■旋度： 1 拉普拉斯算子： rsin0or 00 V×A to ■拉普拉斯运算： h4点4店4 1a,2a 1a2 2=7 1 a 72u= 8hh ou 8 hh ou r'sineco 00)rsin'0d0 hh,h dq h da Bq2hg红cghg fexutmail.xidian.edu.en ····扬论与复交面···1 u@xidned以雪·。·····扬论与复变函数.····32
正交曲线坐标系 作业 例6在一对相距为的点电荷+和-q的静电场中，当距离 证明V×μA=W×A+Vu×A >时，空间电位表达式为p5,6,)=一 求其电场强度E,O,p小。 Ar C0s 0 必证明 （4)u=Av4 [解！在球面坐标系中，哈密顿微分算子又的表达式为 证明Vx(a)=(Fxa)》 常矢 E=-70=- p1p 1 p V= .1a 1 r80 4o + r80 rsine cOS0=- 2ql -cos0 用两种方法计算球坐标系的拉梅系数 4πE p gl a a0 46,280 0s0=- 2ql sin0 E=-Vo= (2cos0a,+sin 0a) 46r 4π6r 80=0 86 fexula.mail.xidian.edu.cn 场论与复变数。·。·3好 lexu@mail.xidian.edic.en 场论与复变西数。··。· 34 西餐宽子种植大孝 里子工醒字院⊕①① School of Electronic Engineering,xidian University http://see.xidian.edu.cn