西安电子科技大学：《复变函数与场论》课程教学课件（讲义，2016）第17讲 复数项级数

场论与复变函数 主讲：徐乐

场论与复变函数 主讲：徐乐

第17讲复数项级数 冬复数项级数 ·复数列的极限 ·复级数 ·幂级数 ·幂级数 ·收敛园与收敛半径 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数。。。。。。。 2

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 2 第17讲 复数项级数 v复数项级数 § 复数列的极限 § 复级数 v幂级数 § 幂级数 § 收敛园与收敛半径

复数项级数 ·复数范围，级数和数列的关系与实数范围 内的情况类似 ·复数项级数和复变函数项级数的某些概念和定 理都是实数范围内的相应内容在复数范围内的 直接推广 ·需结合高等数学中级数部分内容对比学习 ■本章内容主要介绍复数项和复变函数项级数、 幂级数、泰勒级数以及洛朗级数的相关内容 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 3 复数项级数 v复数范围，级数和数列的关系与实数范围 内的情况类似 § 复数项级数和复变函数项级数的某些概念和定 理都是实数范围内的相应内容在复数范围内的 直接推广 § 需结合高等数学中级数部分内容对比学习 § 本章内容主要介绍复数项和复变函数项级数、 幂级数、泰勒级数以及洛朗级数的相关内容

复数项级数 复数列的极限 ■设{am}(n=1,2,…)为一复数列，其中a=an+ibn ·设a=+ib为一确定的复数 ■若任给定ε>0，相应存在一个正数N(e) "使当n>N时，|ana00 ·此时也称复数列{am收敛于a lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 4 复数项级数 v复数列的极限 § 设{αn}(n=1,2,…)为一复数列，其中αn =an+ibn § 设α=a+ib为一确定的复数 § 若任给定ε>0，相应存在一个正数 N(ε) § 使当n>N时，|αn-α|<ε § 则称α为复数列{αn}当n→∞时的极限，记作 • 此时也称复数列{αn}收敛于α     n n lim

复数项级数 定理一复数列{ad收敛于a的充要条件是 lima,a,limb,=b n-→0 ·证明] la-ak8,n>N-(a,-a)+i(b-b)ks lim a=a n-→0 Hε>0,3N>0 a,-ao0 1-→00 Vε>0,3W>0 a-akN lexu@mail.xidian.ed (a-a)+i(b-b)<8.s

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 5 复数项级数 v定理一 复数列{αn}收敛于α的充要条件是 § [证明] lim ,lim n n n n a a b b         n n lim      0, 0 N | | , n       n N | ( ) ( ) | n n a a i b b      | | n a a    | | n b b    lim n n a a   lim n n b b        0, 0 N | | / 2 n a a    | | / 2 n b b    | ( ) ( ) | n n | | ,    n    n N a a i b b          n n lim

复数项级数 Notel:以复数序列表示复数平面上的点 集，则点列{z收敛于z的定义为 》任给z的一个领域，相应地有一个正整 数N,使得n>N时，zn在这个领域内 Note2:对比实数序列定义及性质知两个收 敛序列的四则运算结果仍收敛，且 其极限为相应极限的四则运算 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 6

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 6 复数项级数 vNote1：以复数序列表示复数平面上的点 集，则点列{zn}收敛于z0的定义为 »任给z0的一个领域，相应地有一个正整 数N，使得n>N时， zn在这个领域内 vNote2：对比实数序列定义及性质知两个收 敛序列的四则运算结果仍收敛，且 其极限为相应极限的四则运算

复数项级数 冬复数项级数 ▣设{am}={an+ibm(n=L,2.)为一复数列，则： ·无穷级数：】 a=+%++ ·级数的部分和： Sn=a1+02+…+Cn ·如果部分和数列{s}收敛，则级数收敛 ·部分和数列的极限成为级数的和，记作 lim s =s ·若部分和数列{s}不收敛，则级数发散 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 7 复数项级数 v复数项级数 § 设{αn}={an+ibn}(n=1,2,…)为一复数列，则： • 无穷级数： • 级数的部分和： § 如果部分和数列{sn}收敛，则级数收敛 § 部分和数列的极限成为级数的和，记作 § 若部分和数列{sn}不收敛，则级数发散 1 2 1 n n n               n n 1 2 s         lim n n s s  

复数项级数 ÷定理二级数∑α，收敛的充要条件是级数∑a,和∑b。 都收敛 ·[证]sn=a4+4,+…+an(a+a42+…+a)+i6+b,+…+bn +i 0n为级数 2a,的部分和 tm为级数∑b,的部分和 由定理一知，{S收敛的充要条件是{om}和{tm收敛 ·由级数收敛的定义知，定理二成立 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 8

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 8 复数项级数 v定理二 级数 收敛的充要条件是级数 和 都收敛 § [证] § σn为级数 的部分和 § τn为级数 的部分和 § 由定理一知，{sn}收敛的充要条件是{σn}和{τn}收敛 § 由级数收敛的定义知，定理二成立 1 n n     1 n n a    1 n n b    n n 1 2 s         1 2 1 2 ( ) ( ) n n         a a a i b b b    n n +i  1 n n a    1 n n b   

复数项级数 Note1:定理二将复数项级数的审敛问题转化为两 个实数项级数的审敛问题 Note2: 复数项级数∑&n收敛的必要条件是lima,=0 2a收敛 →lima,=0 n→00 — →lima=0 1300 2,收敛 →limb=0 n00 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 9 复数项级数 vNote1：定理二将复数项级数的审敛问题转化为两 个实数项级数的审敛问题 vNote2：复数项级数 收敛的必要条件是 1 n n     lim 0 n n    1 1 1 n n n n n n a b            收敛 收敛 收敛 lim 0 n n a    lim 0 n n b    lim 0 n n    

复数项级数 必绝对收敛： 若∑1a,收敛，则称∑a,绝对收敛 条件收敛：非绝对收敛的级数即为条件收敛级数 Notel: 立a,绝对收敛台立46，绝对收敛 [证] 立4绝对收敛→2a收签 n=1 2 a,收敛 lb,a1 ∑b,收敛 la s a+b ∑1b,收敛 ∑a收敛 n ∑1a收敛 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 10

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 10 复数项级数 v绝对收敛：若 收敛，则称 绝对收敛 v条件收敛：非绝对收敛的级数即为条件收敛级数 vNote1： § [证] 1 | | n n     1 n n     1 1 1 , n n n n n n  a b          绝对收敛  绝对收敛 1 n n     绝对收敛 1 | n n      |收敛 | | | | | | | | n n n n a b      n n n a ib    1 | n n a     |收敛 1 | n n b     |收敛 | | | | | | n n n    a b 1 | n n a    |收敛 1 | n n b    |收敛 1 | n n     |收敛