AN 矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年9月29日星期一
矩阵论 主讲教师：徐乐 2014 年 9 月29日星期一
上讲回顾 第三讲直和及线性变换 ·子空间的直和 ■线性变换及其运算 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论● 2
上讲回顾 第三讲直和及线性变换 子空间的直和 线性变换及其运算 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2
子空间的直和 必定义 ·设V,和V,是线性空间的子空间 ·若其和空间V,+V,中的任一元素只能唯一的表示为 V的一个元素与V,的一个元素之和 - 即x∈Y+V, -存在唯一的y∈V,z∈V, 使x=y+z ·则称V,+V,为V与V,的直和 ·记为V⊕'2 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论●
子空间的 和直 定义 设V1 和 V2是线性空间V的子空间 • 若其和空间V1 + V2中的任一元素只能唯一的表示为 中的任一元素只能唯一的表示为 V1的一个元素与V2的一个元素之和 – 即 – 存在唯一的 使 x V1 V2 1 2 y V ,z V – 使 x = y + z • 则称V1 + V2为V1与V2的直和 • 记为 V1 V2 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3
子空间的直和 冬定理 ■关于直和如下四种表述等价 ·(1)V,+V,成为直和Y⊕， ·（2)VnV2={0} (3)dim(+)=dim+dim ·（4)若 一X1,x2…,x,为V的基 -y1y2…,y,为V的基 -则x1,x2…,x,y1,y2…,y,为Y1+V2的基 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
子空间的 和直 定理 关于直和如下四种表述等价 • （1） V + V 成为直和 V V 1 + V2成为直和 • （2） V1 ∩ V2 = {0} V1 V2 • （3） • （4）若 1 2 dim 1 dim 2 dim(V V ) V V – 为V1的基 – 为V2的基 s x , x , x 1 2 t y , y , y 1 2 2 – 则 为V1 + V2的基 t y , y , y 1 2 s t x , x , x , y , y , y 1 2 1 2 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4
线性变换及其运算 冬定义 ·设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射， 使得对于V中的任意元素x均存在唯一的y∈V与之对 应，称T为V的一个变换或算子，记为 冬性质 Tx=y ·线性变换把零元素仍变为零元素 ·负元素的象为原来元素的象的负元素 ·线性变换把线性相关元素组仍变为线性相关元素组 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
线性变换及其运算 定义 设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射， 使得对于V中的任意元素 x 均存在唯一的 y ∈V 与之对 应，称T为V的一个变换或算子，记为 性质 Tx y 线性变换把零元素仍变为零元素 负 素 象为 来 素 象 负 素 Tx y 负元素的象为原来元素的象的负元素 线性变换把线性相关元素组仍变为线性相关元素组 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5
第三讲线性变换矩阵及其对角化 ·线性变换的矩阵表示 冬线性变换及矩阵的值域和核 冬特征值和特征向量 冬矩阵对角化的充要条件 冬内积空间 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论● 6
第 讲三 线性变换矩阵及其对角化 线性变换的矩阵表示 线性变换及矩阵的值域和核 特征值和特征向量 矩阵对角化的充要条件 内积空间 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6
线性变换的矩阵表示 线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换 转化为具体的矩阵形式 ■设T是线性空间Vn的一个线性变换 {1,水2，，xn}是y的的一个基 ·x∈V",存在唯一的坐标表示 Tx=T(51x1+52x2+…+5nxn) 51 =[T(x1,x2,…,xn) 52 = 5x1+52x2+…+5nx,5n」 5n」 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
线性变换的矩阵表示 线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换 转化为具体的矩阵形式 设 T是线性空间 V n的 个线性变换 的 一个线性变换 是V x 1 , x 2 , , x n n的的一个基 ，存在唯一的坐标表示 n x V 1 x x x x x x x 2 1 ( ) 1 1 2 2 n Tx T x x x n n T x x x 2 1 2 ( , , , ) n x x x x x x x n n n 1 2 1 1 2 2 , , , n lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7
线性变换的矩阵表示 确定基元素在该变换下的象就可以确定线 性变换 Tx,=[x1,2,…,x a11a21…aml Tx1x2,…,xn]= 012022…2 X1,X2,,xn 1,x2,…,nA Tx=[x1,2,…,Xn A 55: lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 8
线性变换的矩阵表示 确定基元素在该变换下的象就可以确定线 性变换 i i i n a a Tx x x x 2 1 1 2 , , , in i n a Tx x x x 1 2 , , , x x x A a a a a a a T x x x x x x n n n n n , , , , , , , , , 1 2 12 22 2 11 21 1 1 2 1 2 a a a 1n 2 n nn 1 2 1 2 ,,, Tx x x x A n lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8 n
线性变换的矩阵表示 对于任意元素，在基下变换后坐标表示为 n n Tx=[x1,x2,,xn 72 72 5 .: y nn」 5n」 X←→ Tx←→ A 5.5: n lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论D
线性变换的矩阵表示 对于任意元素，在基下变换后坐标表示为 Tx x x x 2 1 A 2 1 2 1 n n Tx x x x 1 , 2 ,, n n A 1 1 x 2 1 Tx A 2 n n lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9
线性变换的矩阵表示 定义：把A称为在基{c1,x2,,xn}下的矩阵 定理： ■设{x1,x2,,xn}是V"的一个基，T1、T2在该基 下的矩阵分别为A、B。则有 匹+Tx1,x2,…,xn]=1,x2,…,xnA+B) kT,KkA) (TT)x2,x2,xKAB) T-[x1,x2,…,xn]=[1,x2,…,xn]A lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 10
线性变换的矩阵表示 定义：把 A称为在基 下的矩阵 x 1 , x 2 , , x n 定理： 设 是 V n的 个基 一 ， T1 、 T2在该基 下的矩阵分别为 A 、B 。则有 x 1 , x 2 ,, x n ( ) , , , , , , ( ) T1 T2 x 1 x 2 x n x 1 x 2 x n A B , , , , , , ( ) 1 1 2 1 2 kT x x x n x x x n kA ( T T ) , , , , , , (AB ) T1 T2 x 1 x 2 x n x 1 x 2 x n AB 1 1 2 1 2 1 , , , , , , T x x x n x x x n A lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 10 1 2 1 2 , , , , , , n n