西安电子科技大学：《矩阵论》研究生课程教学课件（讲义，2014）12 矩阵的QR分解

UNIVE 矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年12月10日星期三

2014年12月10日星期三 矩 阵 论 主讲教师：徐乐

上讲回顾 冬第11讲矩阵三角分解 ·Gauss消元法的矩阵形式 ■LU分解与LDU分解 ·其他三角分解 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 上讲回顾 第11讲 矩阵三角分解  Gauss消元法的矩阵形式  LU分解与LDU分解  其他三角分解

Gauss:消元法的矩阵形式 n元线性方程组 a51+4252+…+an5n=b 02151+4252+…+02n5n=b2 Ax=b ans+an252++amnsn =bn L=L,L2…Ln a咄 a 1-11 C-12 Cn2 a- Cnn-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 Gauss消元法的矩阵形式 n元线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 11 22 n n n n n n nn n n aa a b aa a b aa a b                       Ax b  (0) (0) (0) 11 12 1 (1) (1) ( 1) 22 2 ( 1) n n n n nn aa a a a A a                  2111 12 12 1 1 1 1 1 n n n n nn c L c c cc c                       L  LL L 12 1  n

Gauss:消元法的矩阵形式 Step1: a a A四=A)= a w 。令c1= 0 an a ·构造Frobenius矩阵L1 ■Step2: a a as a ·令C2= A2=A: 品 … 。构造Frobenius矩阵L2 … a a a at 8 ·Stepr: a-D av a-b ·令C= a,44i … ·构造Frobenius?矩阵Lr a lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu @mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 Gauss消元法的矩阵形式  Step1: • 令 • 构造Frobenius矩阵 L 1  Step2: • 令 • 构造Frobenius矩阵 L 2  Stepr: • 令 • 构造Frobenius矩阵Lr (0) 1 1 (0) 11 i i a c a  (0) (0) (0) 11 12 1 (1) (1) (1) 1 (0) 22 2 1 (1) (1) 2 0 n n n nn aa a a a A LA a a                    (1) 2 2 (1) 22 i i a c a  (0) (0) (0) (0) 11 12 13 1 (1) (1) (1) 22 23 2 (2) 1 (1) (2) (2) 2 33 3 (2) (2) 3 n n n n nn aaa a aa a A LA a a a a                          1 1 r ir ir r rr a c a    (0) (0) (0) (0) 11 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) () 1 1 1 () () 11 1 () () 1 rr n rr r r r rr rr rn r r r rr rn r r nr nn a aa a aa a A LA a a a a                                       

LU分解与LDU分解 冬可采用如下方法将分解完全确定 L为单位下三角矩阵 U为单位上三角矩阵 ·将A分解为LDU 。L,分别为单位下三角，单位上三角矩阵 D为对角阵D=diagld1,d2,…,ln】 △ d= (k=1,2,,n)△。=1 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 LU分解与LDU分解  可采用如下方法将分解完全确定  L为单位下三角矩阵  U为单位上三角矩阵  将A分解为LDU • L，U分别为单位下三角，单位上三角矩阵 • D为对角阵 D diag[ , , , ] 1 2 n  dd d  1 k k k d    

其他三角分解 定义设A具有唯一的LDU分解 ·A的Doolittle分解 ·将D,U结合起来得A=LU(U=DU) ·A的Crout2分解 ·将L,D结合起来得A=L(L=LD) 冬厄米正定矩阵的Cholesky2分解 A=GGH lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6 其他三角分解 定义 设A具有唯一的LDU分解  A的Doolittle分解 •  A的Crout分解 • 厄米正定矩阵的Cholesky分解  H A GG 

其他三角分解 冬Crout分解算法 「1 412 2= 21 U= 42 3 12 423 先算列后算行 132 43n 1n2 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论●

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 其他三角分解 Crout分解算法 7 11 21 22 n n nn 1 2 l l l L ll l                 12 1 2 1 1 1 n n u u u U                 

第12讲矩阵的QR分解 Givens矩阵与Givens7变换 冬Householder矩阵与Householder变换 QR分解 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论●

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8 第12讲 矩阵的QR分解 Givens矩阵与Givens变换 Householder矩阵与Householder变换 QR分解

Givens矩阵与Givens变换 必定义 设实数c与s满足c2+s2=1 ←(i) T= 〉 Givens矩阵 (初等旋转矩阵) ←() 标记为 Tj=Tj(c,s) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu @mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9 Givens矩阵与Givens变换 定义  设实数 c 与 s满足 2 2 cs1   i,j 1 1 c s (i) 1 1 s c ( j) 1 1                                             Givens矩阵 （初等旋转矩阵） T T (c,s) ij ij  标记为

Givens矩阵与Givens?变换 由Givens矩阵所确定的线性变换称为Givens 变换 ■亦称初等旋转变换 ·Notel:存在0，使得c=cos(O),s=sin(θ) ■Note2:平面直角坐标系中绕原点旋转0变换 cos(0) sin(0) y= -sin(0) cos(0) ▣Note3: 实Givens矩阵可推广为复初等旋转矩阵 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 10

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 10 Givens矩阵与Givens变换 由Givens矩阵所确定的线性变换称为Givens 变换  亦称初等旋转变换  Note1：存在θ，使得  Note2：平面直角坐标系中绕原点旋转θ变换  Note3：实Givens矩阵可推广为复初等旋转矩阵 c cos( ),s sin( )    cos( ) sin( ) y x sin( ) cos( )          