西安电子科技大学：《矩阵论》研究生课程教学课件（讲义，2014）15 Penrose广义逆的性质

矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年12月10日星期三

2014年12月10日星期三 矩 阵 论 主讲教师：徐乐

上讲回顾 第14讲矩阵的奇异值分解 ·酉对角分解 ·一般矩阵的奇异值分解 ·Penrose)广义逆 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 上讲回顾 第14讲 矩阵的奇异值分解  酉对角分解  一般矩阵的奇异值分解  Penrose广义逆

酉对角分解 冬厄米矩阵的谱分解 ·A为厄米矩阵，则存在酉矩阵U 0 UHAU- =Λ 0 A=UAUH=∑u ■将U写成列向量形式 U=[u1u2…u] lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 酉对角分解 厄米矩阵的谱分解  Ａ为厄米矩阵，则存在酉矩阵Ｕ  将Ｕ写成列向量形式 1 H 2 n O U AU O                  U u u ... u    12 n n H H iii i 1 A U U uu     

酉对角分解 冬非奇异矩阵的酉对角分解 ·定理 ·设A为n阶非奇异矩阵，则存在n阶酉矩阵U及V, 使得 01 0 62 U"AV= o,>0(i=1,2,,n) 0 6 A= i=1 ·若将U、V写成U=[u,u2…u],V=[y,v2…vn] lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 酉对角分解 非奇异矩阵的酉对角分解  定理 • 设Ａ为ｎ阶非奇异矩阵，则存在ｎ阶酉矩阵Ｕ及Ｖ， 使得 • 若将Ｕ、Ｖ写成 H 1 2 n O U AV , . . O                    i    0(i 1, 2,..., n) U u u ... u , V v v ... v    12 n 12 n    n H iii i 1 A uv    

酉对角分解 冬酉对角分解的求法 ·先对AHA对角化（酉对角化） ■求出变换矩阵V ·再令U=AV∑ A=U∑VH lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 酉对角分解 酉对角分解的求法  先对AHA对角化（酉对角化）  求出变换矩阵V  再令 1 U AV    H AU V  

一 般矩阵的奇异值分解 定理：设A∈Cm知 ·则存在m阶酉矩阵U及n阶酉矩阵V,使 0 r行 UHAV= 0 0(m-r)行 6 r列 (n-r)列 62 A=U lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu @mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6 一般矩阵的奇异值分解 定理：设  则存在 m阶酉矩阵 U 及 n阶酉矩阵 V ， 使 m n A C r   1 2 H r 0 O r U AV 0 O O (m r) r (n r)                       行 行 列 列 1 2 H r O AU V . O O                    

o 01 V= [V I V] r列(n-r)列 VH(AHA)V= 0 令U1=AV∑ 冬由基扩充定理可知，可在U,的基础上构造酉 矩阵U=[UU2] lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 由基扩充定理可知,可在Ｕ１的基础上构造酉 矩阵Ｕ＝[U1|U2] 7 2 1 2 2 H H 2 r n n O V (A A)V . O O                     V |V 1 2  V r (n r)  列 列 

Penrose 广义逆 必何谓广义 ·即推广了原有概念或结果 逆矩阵一般概念 ·针对非奇异的（或称为满秩的)方阵 ·这一概念可推广到 ·奇异方阵 ·非方矩阵 ·事实上，Penrose)广义逆矩阵涵盖了两种情况 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8 Penrose 广义逆 何谓广义  即推广了原有概念或结果 逆矩阵一般概念  针对非奇异的（或称为满秩的）方阵  这一概念可推广到 • 奇异方阵 • 非方矩阵 • 事实上， Penrose广义逆矩阵涵盖了两种情况

Penrose 广义逆 Penrose定义 .设A∈Cmxm,若Z∈Cxm且使如下四个等式成立 AZA=A,ZAZ=Z,(AZ)=AZ,(ZA)=ZA ·则称Z为A的Moore-Penrose(广义)逆 ·记为A+ ■上述四个等式又依次称为Penrose方程（i一iv) Moore-.Penrose逆的存在性和唯一性 ·定理：任给A∈Cmm，A*均存在且唯一 A=UDVH Z=VDUE lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9 Penrose 广义逆 Penrose定义   则称Z为A的Moore-Penrose(广义)逆  记为A＋  上述四个等式又依次称为Penrose方程（i－iv)  Moore-Penrose逆的存在性和唯一性  定理：

Penrose 广义逆 {,逆的定义 。HA∈CmⅫ，若Z∈Cxm ■且Z满足Penrose方程中的第（①），()，…，()个方程， 则称Z为A的，逆 ■记为Ai山 ■其全体记为A{i,j,,} ·共15类C4+C+C3+C4=15 ·常用如下5类 -A1},A{1,2,A{1,3},A{1,4},A{1,2,3,4} lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 。。-··。。10

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 10 Penrose 广义逆 {i,j,l}逆的定义   且Z满足Penrose方程中的第 个方程， 则称Z为A 的{i,j,l}逆   其全体记为 • 共15类 • 常用如下5类 – A{1}, A{1,2}, A{1,3}, A{1,4}, A{1,2,3,4} (i),(j), ,(l)  A{i, j, ,l}  1234 C C C C 15 4444  