西安毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY矩阵的秩$3.4矩阵的行秩、列秩、秩矩阵的秩的有关结论二、三、矩阵秩的计算
一、矩阵的行秩、列秩、秩 二、矩阵的秩的有关结论 三、矩阵秩的计算
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY列秩、秩一、矩阵的行秩、aua12a21a22121定义设A=as1asnas2则矩阵A的行向量组(ai,ai2,...,ain), i=1,2,...,s的秩称为矩阵A的行秩：avjanjj=1,2,.,n矩阵A的列向量组:asj的秩称为矩阵A的列秩
一、矩阵的行秩、列秩、秩 定义 的秩称为矩阵A 的行秩； 则矩阵 A 的行向量组 1 2 ( , , , ), 1,2, , i i in a a a i s = 的秩称为矩阵A 的列秩. 矩阵 A 的列向量组 1 2 , 1,2, , j j sj a a j n a = 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n s s sn a a a a a a A a a a = 设
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY引理如果齐次线性方程组auxj +ax,+..+ainx, = 0(1)a21 + a2xX2 +... + a2nxn = 0[asix, +asx, +..+asnx,=0(an al2 ..aina21 A22 ...azn的系数矩阵 A=(as1 as2 .. asn )的行秩 r<n，那么它有非零解(若(1)只有零解，则 r≥n．）
引理 如果齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = = + + + = （ 1 ） 的系数矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a A a a a = 的行秩 r n ，那么它有非零解． （若(1)只有零解，则 r n . ）
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY证：设矩阵A的行向量组α, =(ai,ai2,..",ain), i=1,2,...,s的秩为r，且不妨设α,α2,,α,为其一个极大无关组由于向量组k,,kz,,α与向量组α,αz,.…,α,等价，于是方程组(1)与方程组(1')是同解的ax +ai2X,+...+anx, = 0a21i + a22X, +... + a2nx, = 0(1)0[arX +ar2X, +... +amX,= 0在(1)中 r<n，所以(1)有非零解，从而(1)有非零解
证： 的秩为r， 设矩阵 A 的行向量组 1 2 ( , , , ), 1,2, , i i i in = = a a a i s 且不妨设 1 2 为其一个极大无关组. , , , r 于是方程组(1)与方程组(1')是同解的. 由于向量组 k k 2 2 , , , s 与向量组 1 2 , , , r 等价， 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 0 n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = = + + + = （1'） 在(1')中 所以(1')有非零解，从而(1)有非零解. r n
西要毛子科技大学-XIDIANUNIVERSITY定理4矩阵的行秩一矩阵的列秩，证明：设A=(a)sxn，A的行秩=r，A的列秩=ri,下证r=r． 先证r≥r.设A的行向量组为α,=(au,aiz,,ain)，i=1,2,,s则向量组α,α,,,α,的秩为r不妨设α,αz,,α,是它的一个极大无关组,于是αα2,,α线性无关
定理4 矩阵的行秩＝矩阵的列秩． 证明：设 ，A的行秩＝r，A的列秩＝r A a = ( )ij s n 1， 下证 r r = 1． 先证 r r 1 ． 则向量组 1 2 , , , ,s 的秩为r， 不妨设 1 2 , , , r 是它的一个极大无关组， 于是 1 2 , , , r 线性无关， 设A的行向量组为 1 2 ( , , , ), 1,2, , i i i in = = a a a i s
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY所以方程组x,α+xα+.+x,α,=0只有零解即ax +ax,+..+arx,= 0a12X + a22X2 + ... +ar2x, = 0(2)ainX, +a2nX2 +...+ax,=0只有零解。由引理，方程组（2）的系数矩阵aua21...ar1a12 a22 :... ar2A. :ain an ... arn的行秩≥r（未知量的个数）
即 11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 r r r r n n rn r a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = （2） 只有零解. 1 1 2 2 0 r r 所以方程组 x x x + + + = 只有零解. 由引理，方程组（2）的系数矩阵 11 21 1 12 22 2 1 1 2 r r n n rn a a a a a a A a a a = 的行秩 r （未知量的个数）
西安毛子科技大枣XIDIAN UNIVERSITY从而在矩阵A,的行向量组(a11a219.,ar1,),(a12,a22,*,ar2),..,(a12,a2n*,am)中一定可以找到r个线性无关的向量．不妨设(ai1,a21.--,ar1,),(a12,a22,*,ar2),..,(air,a2r,***,arm)是r个线性无关的行向量，则该向量组的延伸组(ai1,a21,.,ar1ar+1,1,.**,an),,(ara2r,,arar+1,r,*,anr也线性无关．于是矩阵A的列秩r≥r，A的列向量同理可证r≤r.所以r=r
11 21 1 12 22 2 1 2 ( , , , ,),( , , , ), ,( , , , ) r r r r rr a a a a a a a a a 是r个线性无关的行向量， 中一定可以找到 r 个线性无关的向量. 从而在矩阵 A1 的行向量组 11 21 1 12 22 2 12 2 ( , , , ,),( , , , ), ,( , , , ) r r n rn a a a a a a a a a 不妨设 则该向量组的延伸组 11 21 1 1,1 1 1 2 1, ( , , , , , , ), ,( , , , , , , ) r r n r r rr r r nr a a a a a a a a a a + + 于是矩阵A的列秩 r r 1 ． 同理可证 . 1 r r 所以 r r 1 = ． 也线性无关． A的列向量
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSIT定义矢矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩记作秩A或 rank(A)、R(A)注 ①若A=0，则 R(A)=0.② 设 A=(aj)xn, 则 R(A)≤min(s,n).若 R(A)=S，则称A为行满秩的若 R(A)=n，则称A为列满秩的
矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩， 记作秩A 或 rank A( ) 、 R A( ). 定义 注 ② 设 ( ij) ，则 s n A a = R A s n ( ) min( , ). 若 R A s ( ) , = 则称A为行満秩的； 若 R A n ( ) , = 则称A为列満秩的. ① 若 A = 0 ，则 R A( ) 0. =
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY二、矩阵秩的有关结论定理5设 A=(aj)nn，则[A|= 0 R(A)<n;（降秩矩阵）(满秩矩阵）( [A±0台R(A)= n
二、矩阵秩的有关结论 定理5 设 A a = ( )ij n n ， 则 A R A n = 0 ( ) ; ( A R A n = 0 ( ) ) (降秩矩阵) (满秩矩阵)
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY证："≤”：R(A)1，则A的行向量中至少有一个能由其余行向量线性表出，从而在行列式A中，用这一行依次减去其余行的相应倍数，这一行就全变成了0. A = 0
证： 若 n ＝ 1， 则A只有一个一维行向量0， " " R A n ( ) , A 的 n 个行向量线性相关. 从而A＝0， A = = 0 0. 若 n ＞ 1， 则A的行向量中至少有一个能由其余 行向量线性表出， 依次减去其余行的相应倍数，这一行就全变成了0. 从而在行列式 A 中，用这一行 = A 0