西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第五章 二次型 5.1 二次型的矩阵表示

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITYs5.1二次型的矩阵表示一、n元二次型非退化线性替换二、三、矩阵的合同四、小结

一、n元二次型 二、非退化线性替换 三、矩阵的合同 四、小结 §5.1 二次型的矩阵表示

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY问题的引入：解析几何中中心与坐标原点重合的有心二次曲线f = ax? + 2bxy + cy?选择适当角度(x = x'coso- y'singθ，逆时针旋转ly = x'cose+ y'sine坐标轴f =a'x2 +c'y(标准方程)

问题的引入: 解析几何中 选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴 (标准方程) 中心与坐标原点重合的有心二次曲线 2 2 f ax bxy cy = + + 2  cos sin cos sin x x y y x y     = −   = +   2 2 f a x c y = +    

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY代数观点下二次齐次多项式f(x,X2,.",x.)X, =Ciyi +Ci22 +...+Ciny'n作适当的X, =Cuyi +Ci2y2 +..+Cin'n非退化线性替换(Xn=Cnii+Cn22 +...+CnnJ'n只含平方项的多项式(标准形)

代数观点下 作适当的 非退化线 性替换 只含平方项的多项式 二次齐次多项式 1 11 1 12 2 1 2 11 1 12 2 1 1 1 2 2 n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y  = + + +   = + + +     = + + + (标准形) 1 2 ( , , , ) n f x x x

西安毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITY一、n元二次型a, e P,i, j=1,2,...,n,1、定义：设P为数域，n个文字Xi,X2,,Xn的二次齐次多项式f(xi,X2,",xn) = ax +2a24jx, +...+2ainjxn+a2x? +.....+2a2nxex.(1+assx? +...+2aanxgxn+amtn称为数域P上的一个n元二次型

一、n元二次型 1、定义：设P为数域， 称为数域P上的一个n元二次型． ① 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) 2 2 n n n f x x x a x a x x a x x = + + + n个文字 x x x 1 2 , , , n 的二次齐次多项式 , , 1,2, , , ij a P i j n  = 2 22 2 2 2 2 n n + + + a x a x x 2 33 3 3 3 2 n n + + + a x a x x + 2 nn n + a x

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY注意1)为了计算和讨论的方便,式①中x(i<i)的系数写成2aj2)式①也可写成f(x,x2,x,)=Zaix) +2 Eajxx;i=-11<i<jSn

注意 2) 式① 也可写成 2 1 2 1 1 ( , , , ) 2 n n ii i ij i j i i j n f x x x a x a x x =    = +   1) 为了计算和讨论的方便,式①中 x i j ij( )  的系数 写成 2 . ij a

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY2、二次型的矩阵表示1）约定①中aj=ai，j，由xx,=xx，有f(xi,X2,..,xn) =aix) +ai2Xx2 +.....+ainxixn+a2ixx, +a2x? +...+a2nxn+anxnX +anXnX, +...+annZZ.xixji②Ti=1 j=1

1） 约定①中aij =aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有 ② 2、二次型的矩阵表示 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x x a x a x x a x x = + + + 2 21 2 1 22 2 2 2 n n + + + + a x x a x a x x + 2 n n n n nn n 1 1 2 2 + + + + a x x a x x a x 1 1 n n i j ij i j a x x = = =  

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYaua12n(Ae p"xn)a21a22a2nAanan2.ann则矩阵A称为二次型f(x,xz，,x,）的矩阵

11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n n n nn a a a a a a A a a a     =       令 ( ) n n A p   则矩阵A称为二次型 的矩阵. 1 2 ( , , , ) n f x x x

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITYXi专，由2)令X=·x,7tania12aina22anna21XAX =(xi,x)x..an1annXnan2."WWajx;a2jx;=(Xi,X2).,Xn)"Wiix

1 2 , n x x X x     =       2) 令 由 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ... ... ( , ,..., ) ... n n n n n nn n a a a x a a a x X AX x x x a a a x        =          1 1 2 1 2 1 1 ( , ,..., ) n j j j n j j n j n nj j j a x a x x x x a x = = =         =               

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYx2a*, ++a*+jl-(xax) =Ca,xixjV-i=l j=1f(xI,X2....x,)= X'AX于是有

于是有 1 2 ( , ,..., ) . n f x x x X AX =  1 1 2 2 1 1 1 n n n j j j j n nj j j j j x a x x a x x a x = = = = + + +    1 1 ( ) n n i ij j i j x a x = = =   1 1 n n i j ij i j a x x = = =  

西要毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY注意：1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即A =A2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即若 X'AX=X'BX 且A=A,B'=B，则 A= B.（这表明在选定文字X,X2.,x,下，二次型f(xi,X2.x）=XAX完全由对称矩阵A决定.)正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具

注意: 2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 正因为如此，讨论二次型时矩 阵是一个有力的工具. 若 X AX X BX 且 ，则 A B = .   = A A B B   = = , 1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 A A  = . （这表明在选定文字 下，二次型 完全由对称矩阵A决定.) 1 2 ( , ,..., ) n f x x x X AX =  1 2 , ,..., n x x x