西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY83.6线方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构二、一般线性方程组解的结构
一、齐次线性方程组解的结构 二、一般线性方程组解的结构
西要毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY齐次线性方程组解的结构ax, +a2x2+...+ainx, = 0(1)a21xi + a22X2 +.. + a2nxn = 0asix +asx, +...+asnx,=01 解的性质性质1（1）的两个解的和还是（1）的解性质2（1）的一个解的倍数还是（1）的解性质3（1）的解的任一线性组合还是（1）的解
一 、 齐次线性方程组解的结构 1 解的性质 性质1 （1）的两个解的和还是（1）的解. 性质2 （1）的一个解的倍数还是（1）的解. 性质3 （1）的解的任一线性组合还是（1）的解. 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = (1)
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY2解空间定义设W为齐次线性方程组（1）的全体解向量所成集合，则1) Vn n, eW, n+n,eW2)VkeP,VneW, kneW即W关于解的线性运算封闭，所以W是一个向量空间，称之为齐次线性方程组（1）的解空间
2 解空间 所成集合，则 1 2 1 2 1) , + 、 W W 2) , , k P W k W 空间，称之为齐次线性方程组（1）的解空间． 设 W 为齐次线性方程组（1）的全体解向量 即 W 关于解的线性运算封闭，所以 W 是一个向量 定义
西安毛子科技大学二XIDIAN UNIVERSITY3基础解系定义子齐次线性方程组(1)一组解向量ni,n2,Nr,若满足i）n,n2,,nr线性无关;；ii）（1)的任一解向量可由 ni,n2,，nr线性表出则称n1,n2,,n,为(1)的一个基础解系
齐次线性方程组(1)一组解向量 1 2 , , , r ， 若满足 ii）(1) 的任一解向量可由 1 2 线性表出. , , , r i） 1 2 , , , r 线性无关； 则称 1 2 , , , r 为(1)的一个基础解系． 3 基础解系 定义
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY4基础解系的存在性定理7在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于n-r，其中n是未知量的个数,r=R(A)
4 基础解系的存在性 定理7 在齐次线性方程组有非零解的情况下， 它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数 等于 n r − ，其中n是未知量的个数， r R A = ( )
西安毛子科技大学=XIDIAN UNIVERSITY证：若R(A)=r<n，不妨设aa1a21 a,darO± 0,ari ar"4则（1）可改写成aux, +a2x2 +..+ airx, =-ai,r+ixr+1ainx,a21Xi +a22X2 +..+a2rx, =-a2,r+1Xr+1a2nx(2)arx +ar2X +...+ax, =-ar,r+1Xr+1-arnXn
证： 则（1）可改写成 若 R A r n ( ) = ， 11 21 1 0, r a a a a a a a a a 12 1r 22 2r r2 rr …… …… ……………… …… 不妨设 11 1 12 2 1 1, 1 1 1 21 1 22 2 2 2, 1 1 2 1 1 2 2 , 1 1 r r r r n n r r r r n n r r rr r r r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + + + + + + + = − − − + + + = − − − + + + = − − − （2）
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY用 n-r组数(1,0,...,0),(0,1,...,0),·..,(0,...,0,1)代入自由未知量(xr+1,Xr+1...x)就得到（2）的n-r解，也即（1）的n-r个解ni = (c11,C12,".*,Cir,1,0,..., 0)n2 = (C21,C22,..,C2r,0,1,...,0)In-r = (Cn-r,1,Cn-r,2,"*-,Cn-r,r,0,0,..,1)且 n,n2,…,nn-r 满足:①n,n2…,nn-r线性无关
代入自由未知量 ( , , , ) x x x r r n + + 1 1 ， 也即（1）的 n r − 个解 1 11 12 1 2 21 22 2 - - ,1 - ,2 - , ( , , , ,1,0, ,0) ( , , , ,0,1, ,0) ( , , , ,0,0, ,1) r r n r n r n r n r r c c c c c c c c c = = = 用 n r − 组数 (1,0, ,0),(0,1, ,0), ,(0, ,0,1) 就得到（2）的 n r − 解， 且 1 2 , , , n-r 满足： ① 1 2 n-r , , , 线性无关
西安毛子科技大学一XIDIAN UNIVERSITY事实上，若k,n+k,n2++kn-rnn-r=0,即k,n+k,n2+....+kn-rnn-r=(*,*,..,*,kj,k2,...,kn--) =(0,0,.,0).. ki = k, =...= kn-r = 0,故ni，N2,，nn-r线性无关②任取（1）的一个解n=(ci,C2,,cn)可由ni,n2,Nn-r线性表出
事实上，若 1 1 2 2 - - 0, n r n r k k k + + + = 1 2 ( , , , , , , , ) n r k k k = − = (0,0, ,0) 1 2 0 n r k k k = = = = − ， ② 任取（1）的一个解 1 2 ( , , , ), n = c c c 即 1 1 2 2 n r n r k k k + + + …… − − 故 1 2 , , , n r − 线性无关． 可由 1 2 , ， , n r − 线性表出．
西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY事实上，由，n2，nn-r是（1）的解，得Cr+ini +………·+Cnnn-r也为（1）的解，即Cr+ini +... +Cnnn-r = (*,*,.".,*,Cr+1,.",cn)为（1）的解．它与n 的最后n-r个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解故n=Cr+ini +....+c,nn-r .由①②知，ni,n2，,nn-r为（1）的一个基础解系
事实上，由 1 2 , , , n r − 是（1）的解，得 c c r n n r + − 1 1 + + …… 也为（1）的解，即 1 1 1 ( , , , , , , ) r n n r r n c c c c + − + + + = 为（1）的解. 它与 的最后 n r − 个分量相同， 即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解． 故 = + + c c r n n r + − 1 1 …… . 由①②知， 1 2 , , , n-r 为（1）的一个基础解系．
西要毛子科技大枣YIDIANINIVERSIT推论1任一线性无关组的与（1）的某一基础解系等价的向量组都是（1）的基础解系证：设n,n2,nt为（1）的一个基础解系,α,αz,,α,线性无关，且与n,n2,",nt等价,则 s=t，且α,可由 ni,n2,,n线性表出,所以α;也为（1）的解向量(i=1,2,,t).任取（1）的一个解向量n，则n可由n，2，nt线性表出，从而n可由α,α2，α,线性表出，α,αz,α,也是（1）的基础解系
推论1 任一线性无关组的与（1）的某一基础解系 等价的向量组都是（1）的基础解系． 设 1 2 , , , t 为（1）的一个基础解系， 1 2 , , , s 线性无关，且与 1 2 , , , t 等价， 且 i 可由 1 2 , , , t 线性表出， 所以 i 也为（1）的解向量 证： 则 s t = , ( 1,2, , ). i t = 任取（1）的一个解向量 ，则 可由 1 2 ， ， ， t 线性表出， 从而 可由 1 2 , , , t 线性表出. 1 2 , , , t 也是（1）的基础解系