西安电子科技大学：《矩阵论》研究生课程教学课件（讲义，2015）22 范数理论及特征值估计

IDIAN 131 UNIVE 矩阵论 主讲教师：徐乐 2015年1月13日星期二

2015年1月13日星期二 矩 阵 论 主讲教师：徐乐

上讲回顾 第21讲范数理论 范数理论及其应用 ·向量范数 ·矩阵范数 ·应用 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 上讲回顾 第21讲 范数理论  范数理论及其应用 • 向量范数 • 矩阵范数 • 应用

向量范数 冬向量范数定义 ·设V为数域K上的向量空间，若对于V的任一向 量x,对应一个实值函数x,并满足以下三个 条件 ·非负性x≥0，等号当且仅当x=0时成立； ·齐次性lax=x,a∈k,x∈V; ·三角不等式k+y≤x+y,x,y∈V ·则称x为V中向量x的范数，简称为向量范数 2s[2[2） H6lder不等式 P,q>1,-+-=1,a,b>0 lexu@mail.xidian.edu.cn 8●●

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 向量范数 向量范数定义  设V为数域K上的向量空间，若对于V的任一向 量x，对应一个实值函数||x||，并满足以下三个 条件 • 非负性||x||≥0，等号当且仅当x=0时成立； • 齐次性 • 三角不等式  则称||x||为V中向量x的范数，简称为向量范数 x x , k,x V;     x y x y ,x,y V    1 1 n nn p q p q ii i i i1 i1 i1 i i ab a b 1 1 p,q 1, 1,a ,b 0 p q                 Hölder不等式

向量范数 冬两类向量范数 ·()6=x) ·进一步推广可得 椭圆范数，=(”Ax OA为厄米正定矩阵 A=W=diag[w1w2…w。 -加权范数 0w,>0 ·2向蚕的即-格数范数风-（②产p1 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 向量范数 两类向量范数  (1) • 进一步推广可得 – 椭圆范数 A为厄米正定矩阵 – 加权范数 wi > 0  (2)向量的p-范数或lp范数   1 H 2 2 x xx    1 H 2 A x x Ax  1 n 2 2 w i i i 1 x w           A W diag w w w    12 n   1 n p p p i i 1 x ,p 1           

向量范数 冬向量范数的等价性 ·定理1 ·设l。、lB为C的两种向量范数 ·则必定存在正数m、M(m、M与x无关)，使得 mlxa≤ke≤Mla ·它就称为向量范数的等价性 ·同时有 sN.s。 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 向量范数 向量范数的等价性  定理1 • 设||●||α、||●||β为Cn的两种向量范数 • 则必定存在正数m、M (m、M与x无关) ，使得 • 它就称为向量范数的等价性  同时有 mx x Mx      1 1 xx x M m     

矩阵范数 ·矩阵范数定义 ·设km×n表示数域k上全体m×n阶矩阵的集合 ·若对于km×n中任一矩阵A,均对应一个实值函数， 并满足以下条件 -非负性：A≥0，等号当且仅当A=0时成立； -齐次性：laA=alA,a∈k; - 三角不等式：A+B≤A+B,A,B∈k ·则称A为广义矩阵范数，若还满足 相容性AB吲≤AIB ·则称剁A为矩阵范数 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6 矩阵范数 矩阵范数定义  设km×n表示数域k上全体m×n阶矩阵的集合 • 若对于km×n中任一矩阵A，均对应一个实值函数， 并满足以下条件 – 非负性： ||A||≥0，等号当且仅当A=0时成立； – 齐次性： – 三角不等式： • 则称||A||为广义矩阵范数，若还满足 – 相容性 • 则称||A||为矩阵范数 A A , k;    m n A B A B , A,B k     AB A B 

矩阵范数 冬常用的矩阵范数 lAxl, ·p-范数 max I可。 lAl-Axl x=1 ·A=(a)mxm,x为所有可能的向量，x=[5,5,…5.] ·列（和）范数 ·谱范数 A,=婴V(A"A) ·行（和）范数 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7 矩阵范数 常用的矩阵范数  p-范数 • A=(ai,j)m×n，x为所有可能的向量，  列（和）范数  谱范数  行（和）范数 p p p Ax A max x   T 12 n x     p p p x 1 A max Ax   n 1 ij 1jn i 1 A max a      H 2 i 1in A max (A A)     n ij 1im j 1 A max a      

矩阵范数 ·F-范数robenis范数)A-(交， ·导出性范数 ·设x‖为数域k上n维向量空间km(k=R或C)的一种 向量范数。可定义矩阵范数为 - lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8 矩阵范数  F-范数(Frobenius范数)  导出性范数 • 设||x||为数域k上n维向量空间kn（k=R或C）的一种 向量范数。可定义矩阵范数为 1 n 2 2 F ij i j1 A a         ， x 1 x0 Ax A max Ax max   x          

应用 必应用领域 ·逼近和误差估计是矩阵范数应用的主要领域 矩阵条件数cond(A)=AA‖ ·由相容性可知AA≥AA=I =xslx→回21 ·对于导出性范数川=1 cond(A)≥1 ·条件数反映了误差放大的程度，条件数越大， 矩阵越病态 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9 应用 应用领域  逼近和误差估计是矩阵范数应用的主要领域 矩阵条件数  由相容性可知  对于导出性范数  条件数反映了误差放大的程度，条件数越大， 矩阵越病态   1 cond A A A  1 1 A A AA I     x Ix I x I 1    I 1  cond A 1   

应用 冬对于方程Ax=b→x=A-1b ·考虑两种情况 ·b存在误差△b,求出的x存在误差△x 一相对误差 赏/sa ·A存在误差△A,求出的解x存在误差△x 相对误差 A-ad() lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 。0。。。。10

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 10 应用 对于方程Ax=b→x=A-1b  考虑两种情况 • b存在误差△b，求出的x存在误差△x – 相对误差 • A存在误差△A ，求出的解x存在误差△x – 相对误差   1 x b A A cond A x b        1 x A A A cond A x A     