西安电子科技大学：《矩阵论》研究生课程教学课件（讲义，2014）14 矩阵的奇异值分解

131 UNIVE 矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年12月10日星期三

2014年12月10日星期三 矩 阵 论 主讲教师：徐乐

不红 上讲回顾 第13讲QR分解及满秩分解 ·矩阵QR分解计算方法 ·矩阵的满秩分解 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 上讲回顾 第13讲 QR分解及满秩分解  矩阵QR分解计算方法  矩阵的满秩分解

QR分解 冬求QR分解的方法 ·方法一l采用Givens,方法 ■方法二]采用Householde方法 ·[方法三]Gram-schmidt正交归一化方法 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 QR分解 求QR分解的方法  [方法一]采用Givens方法  [方法二]采用Householde方法  [方法三] Gram-schmidt正交归一化方法

矩阵的满秩分解 冬定义 E∈Cmxr,G1 ECrxn ■设A∈Cmx"(r>0) =FGL ·若存在矩阵F∈CIXr G∈Crx =(FD)(D-G) ·使得A=FG =F(DD-)G ·称其为A的一个满秩分解 A=FG ■Note: ·F为列满秩矩阵，即列数等于秩 VD∈Crw ·G为行满秩矩阵，即行数等于秩 任何非零矩阵均 ·满秩分解不唯一 可逆方阵 存在满秩矩阵 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 矩阵的满秩分解 定义  设 • 若存在矩阵 • 使得A=FG • 称其为A的一个满秩分解  Note： • F为列满秩矩阵，即列数等于秩 • G为行满秩矩阵，即行数等于秩 • 满秩分解不唯一 m n A C (r 0) r    m r F Cr   r n G Cr  r r D Cr   可逆方阵 1 1 1 1 F G (FD)(D G) F(DD )G A FG       mr rn F C ,G C 1r 1r     任何非零矩阵均 存在满秩矩阵

矩阵的满秩分解 定义：设A∈Cmx"(r>0) ·若存在矩阵F∈CIrG∈Cxn ■使得A=FG ·称其为A的一个满秩分解 Note: G ·满秩分解不唯一 =FG 0 冬存在性定理 ·任何非零矩阵均存在满秩矩阵 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 矩阵的满秩分解 定义:设  若存在矩阵  使得A=FG  称其为A的一个满秩分解 Note:  满秩分解不唯一 存在性定理  任何非零矩阵均存在满秩矩阵 m n A C (r 0) r    m r F Cr   r n G Cr  . G A F . S .... FG . O                 

矩阵的满秩分解 Hermite标准形（行阶梯标准形） 00102 0001 3 a设B∈Cmx"(r>0) B 0000 0 ·且满足 00000s ·B的前行中每一行至少含一个非零元素（称为非零 行)，且第一个非零元素为1，而后(m-r)行的元素 全为零（称为零行） ·若B中第i行的第一个非零元素（即1）在第j列 (1,2,),则j1<j2<.<j ·矩阵的第j1列，第j2列，，第，列合起来恰为m阶单 位方阵1m的前r列（即j1,j2,,j,列上除了前述的1外 全为0)则称为Hermite标准形 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6 矩阵的满秩分解 Hermite标准形（行阶梯标准形）  设  且满足 • B的前r行中每一行至少含一个非零元素（称为非零 行），且第一个非零元素为1，而后(m-r)行的元素 全为零（称为零行） • 若B中第 i 行的第一个非零元素（即1）在第ji列 (i=1,2,…,r)，则 j1 < j2 <…< jr • 矩阵的第j1列，第j2列，…,第jr列合起来恰为m阶单 位方阵Im的前r列（即j1 , j2 ,…, jr列上除了前述的1外 全为0）则称为Hermite标准形 m n B C (r 0) r    4 5 2 2 4 5 00102 00013 B C 00000 00000                 j1 j2

矩阵的满秩分解 冬满秩分解的一种求法 A=FG ·设A∈Cmxm ·采用行初等变换将A化成Hermite标准形，其矩阵形 式为EA=B,其中B为Hermite标准形定义中给出 的形状 ·选取置换矩阵 一用P右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可将该矩阵 的第j:列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第1列 令P=[BI] =[ee.…e,]neCw r列(n-r)列 ·令G=B的前r行∈Cr F=AP∈Cmx lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7 矩阵的满秩分解 满秩分解的一种求法  设 • 采用行初等变换将Ａ化成Hermite标准形，其矩阵形 式为ＥＡ＝Ｂ，其中Ｂ为Hermite标准形定义中给出 的形状 • 选取置换矩阵 m n A Cr   – 用Ｐ右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可将该矩阵 的第ｊｉ列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第ｉ列 – 令 • 令Ｇ＝Ｂ的前ｒ行  1  r (n r) P P |*   列 列 1 2r n r 1 j jj r n r P e e ...e C         r n Cr  m r F AP C 1 r    A FG 

第14讲矩阵的奇异值分解 冬酉对角分解 一般矩阵的奇异值分解 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论●

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8 第14讲 矩阵的奇异值分解 酉对角分解 一般矩阵的奇异值分解

酉对角分解 冬厄米矩阵的谱分解 ·A为厄米矩阵，则存在酉矩阵U 0 UHAU= =Λ 0 入 A=UAUH-∑uu ·将U写成列向量形式 i-l U=[u1u2…u.] lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9 酉对角分解 厄米矩阵的谱分解  Ａ为厄米矩阵，则存在酉矩阵Ｕ  将Ｕ写成列向量形式 1 H 2 n O U AU O                  U u u ... u    12 n n H H iii i 1 A U U uu     

酉对角分解 冬非奇异矩阵的酉对角分解 。定理 ·设A为n阶非奇异矩阵，则存在n阶酉矩阵U及V, 使得 01 0 62 U"AV= o,>0(i=1,2,,n) uV 0 i=1 ·若将U、V写成U=[u,u,…u],V=[y1v2… Vn. lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 10

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 10 酉对角分解 非奇异矩阵的酉对角分解  定理 • 设Ａ为ｎ阶非奇异矩阵，则存在ｎ阶酉矩阵Ｕ及Ｖ， 使得 • 若将Ｕ、Ｖ写成 H 1 2 n O U AV , . . O                    i    0(i 1, 2,..., n) U u u ... u , V v v ... v    12 n 12 n    n H iii i 1 A uv    