西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYS 6.2线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义线性空间的简单性质
一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质 §6.2 线性空间的定义与简单性质
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSIT在第三章S2中，我们讨论了数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：(a,az,..",an)+(bi,b2,,bn)=(a, +b,a, +b,",an +bn)k(ar,az,.,an)=(ka,,ka,...,ka,), ke P而且这两种运算满足一些重要的规律，如1α = αα+β=β+αk(lα) = (kl)α(α+β)+=α+(β+)(k + l)α = kα + lαα+0=αα+(-α)=0k(α + β)= kα +kβVα,β,ye p", Vk,le P
1 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) n n n n a a a b b b a b a b a b + = + + + 1 2 1 2 ( , , , , ) ( , , ), n n k a a a ka = ka ka k P 而且这两种运算满足一些重要的规律,如 空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法： + = + 在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量 + = 0 ( ) ( ) + + = + + + − = ( ) 0 1 = k l kl ( ) ( ) = ( ) k l k l + = + k k k ( ) + = + , , , , n P k l P
西安毛子科技大学IDIANIINIVERSIT数域P上的一元多顶式环P[x|中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算同样满足上述这些重要的规律，即f(x)+ g(x) = g(x)+ f(x)(f(x)+g(x)+h(x)= f(x)+(g(x)+h(x)f(x)+0 = f(x)f(x)+(-f(x)=0Vf(x),g(x), h(x) e P[xl,Vk,lep1f(x) = f(x)k()f(x)=(kl)f(x)(k +l)f(x) = kf(x)+lf(x)k(f(x)+ g(x)) = kf(x)+ kg(x)
同样满足上述这些重要的规律，即 ( ), ( ), ( ) [ ], , f x g x h x P x k l P f x g x g x f x ( ) ( ) ( ) ( ) + = + 数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多 项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x + + = + + k l f x kl f x ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) f x f x = f x f x ( ) ( ( )) 0 + − = f x f x ( ) 0 ( ) + = ( ) ( ) ( ) ( ) k l f x kf x lf x + = + k f x g x kf x kg x ( ( ) ( )) ( ) ( ) + = +
西安毛子科技大学-XIDIAN UNIVERSITY一、线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对Vα,βEV,在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为α与β的和，记为=α+β；在P与V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即VαV,VkP,在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为k与α的数量乘积，记为=kα.如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
一、线性空间的定义 设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中 定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V ， 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为 与 的和，记为 = + ；在P与V的元素之间还 定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V k P , , 在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为 k与 的数量乘积，记为 = k . 如果加法和数量乘 法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYVa,β,yev加法满足下列四条规则：① α+β=β+α② (α+β)+=α+(β+)③在V中有一个元素0，对VαV，有α+0=α（具有这个性质的元素0称为V的零元素）④对VαEV，都有V中的一个元素β，使得α＋β=0；（β称为α的负元素）数量乘法满足下列两条规则：@lα=α@ k(lα) = (kl)α数量乘法与加法满足下列两条规则： (k +l)α = kα+lα③ k(α+β)=kα+kβ
加法满足下列四条规则： ① + = + ⑤ 1 = ⑥ k l kl ( ) ( ) = 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ ( ) k l k l + = + （具有这个性质的元素0称为V的零元素） 数量乘法满足下列两条规则 : ② ( ) ( ) + + = + +⑧ k k k ( ) + = + , , V ④ 对 V, 都有V中的一个元素β，使得 + = 0 ;（β称为 的负元素） ③ 在V中有一个元素0，对 + = V, 0 有
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITS注:1.凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算，2：线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间：但这里的向量不一定是有序数组，3．线性空间的判定：若非空集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合就不能构成线性空间
3 ．线性空间的判定： 注： 1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组． 称为线性运算． 就不能构成线性空间． 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合 若非空集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY例1Pn,P[x]均为数域P上的线性空间.例2数域P上的次数小于n的多项式的全体，再添上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法构成数域P上的一个线性空间，常用P[x],表示。P[x], ={f(x)=an-x"- +..+ajx+ao an-,,ai,ao e P)例3数域P上mxn矩阵的全体作成的集合，按矩阵的加法和数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用pmxn表示
1 1 1 0 1 1 0 [ ] { ( ) , , , } n P x f x a x a x a a a a P n n n − = = + + + − − 例1 Pn , P[x] 均为数域 P上的线性空间． 例2 数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添 的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间， 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示． 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 例3 数域 P上 m n 矩阵的全体作成的集合,按矩阵 用 P m n 表示．
西安毛子科技大学-XIDIAN UNIVERSITY例4任一数域P按照本身的加法与乘法构成一个数域P上的线性空间。例5全体正实数R+，1）加法与数量乘法定义为：Va,bεR+,VkRa@ b = log?koα=αk: Va,beRt,VkeR2）加法与数量乘法定义为：koα=αka@b=ab判断 R+是否构成实数域 R上的线性空间
例5 全体正实数R＋ ， logb a b = a k k a a = a b ab = k k a a = 判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 . 1) 加法与数量乘法定义为： a b R k R , , + 2) 加法与数量乘法定义为： a b R k R , , + 例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个 数域P上的线性空间．
西要毛子律技大学XIDIAN UNIVERSITY二、线性空间的简单性质1、零元素是唯一的2、VαEV，的负元素是唯一的，记为-α.Va,β,yev加法满足下列四条规则：①α+β=β+α②(α+β)+y=α+(β+y)③在V中有一个元素0，对VαeV，有α+0=α（具有这个性质的元素0称为V的零元素）√利用负元素，我们定义减法④对VαEV，都有V中的一个元素β，使得α-β=α+(-β)α+β=0：（β称为α的负元素）数量乘法满足下列两条规则：? k(lα) = (kl)α?lα=α数量乘法与加法满足下列两条规则：(k+)α=ka+lα?k(α+β)=kα+kβ
1、零元素是唯一的. 2、 V ，的负元素是唯一的，记为- ． ◇利用负元素，我们定义减法： − = + −( ) 二、线性空间的简单性质
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY3、0α=0, k0 =0, (-1)α =-α,k(α-β)=kα-kβ4、如果 kα=0，那么k=0或α=0.Va,β,yev加法满足下列四条规则：①α+β=β+α(α+β)+y=α+(β+)在v中有一个元素0，对VαV，有α+0=α（具有这个性质的元素0称为V的零元素）④对VαeV，都有V中的一个元素β，使得α+β=0：（β称为α的负元素）数量乘法满足下列两条规则：?lα=α@ k(lα)=(kl)α数量乘法与加法满足下列两条规则：(k+)α=kα+lαk(α+β)=kα+kβ
0 0, 0 0, ( 1) , ( ) k k k k = = − = − − = − 3、 4、如果 k ＝0，那么k＝0或 ＝0