西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.8 若尔当标准形介绍

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYs 7.8若尔当标准形介绍、若尔当（Jordan）形矩阵、二、若尔当（Jordan）标准形

一、若尔当(Jordan)形矩阵 二、若尔当(Jordan)标准形 §7.8 若尔当标准形介绍

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY引入由$7.5知，n维线性空间V的线性变换在某组基下的矩阵为对角形有n个线性无关的特征向量台的所有不同特征子空间的维数之和等于n可见，并不是任一线性变换都有一组基，使它在这组基下的矩阵为对角形本节介绍，在适当选择基下，一般的线性变换的矩阵能化简成什么形状

由§7.5知，n维线性空间V的线性变换在某组基下 的矩阵为对角形   有n个线性无关的特征向量 .   的所有不同特征子空间的维数之和等于n . 可见，并不是任一线性变换都有一组基，使它在这 组基下的矩阵为对角形. 本节介绍，在适当选择基下，一般的线性变换的 矩阵能化简成什么形状. 引入

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY一、若尔当(Jordan)形矩阵定义：形式为20..0012..00J(a,t)=00..120.00...012tx的矩阵称为若尔当（Jordan）块，其中为复数：由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵

0 0 0 0 1 0 0 0 ( , ) 0 0 1 0 0 0 0 1 t t J t           =         的矩阵称为若尔当(Jordan)块，其中  为复数； 一、若尔当(Jordan)形矩阵 定义：形式为 由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵

西要毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY0V111io(19)如：都是若当块；小1 i而下面的准对角形则是一个若当形矩阵0)010(J(1,2)000000000004J(4,1)-00000-i00001-iJ(-i,3)00001 -i注：一级若当块就是一级矩阵，从而对角矩阵都是若当形矩阵

如： ( ) 0000 2 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 , , 0 1 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0 i i                   都是若当块； 1 0 0 0 0 0 (1,2) 1 1 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 (4,1) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ( ,3) 0 0 0 0 1 J J i i J i i             =     −     − −     − 而下面的准对角形则是一个若当形矩阵. 注：一级若当块就是一级矩阵，从而对角矩阵都是 若当形矩阵

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY二、若当(Jordan）标准形1、设是复数域C上n维线性空间的一个线性变换：在V中必存在一组基，使在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵，并是除若当块的排列次序外，该若当形由α唯一决定，称之为的若尔当标准形2、任一n级复矩阵A总与某一若当形矩阵相似，并且除若当块的排列次序外，该若当形矩阵由矩阵A唯一决定，称之为矩阵A的若尔当标准形

1、设  是复数域C上n维线性空间的一个线性变换， 在V中必存在一组基，使  在这组基下的矩阵是若尔当 形矩阵，并是除若当块的排列次序外，该若当形由  唯一决定，称之为  的若尔当标准形. 二、若当(Jordan)标准形 2、任一n级复矩阵A总与某一若当形矩阵相似， 并且除若当块的排列次序外，该若当形矩阵由矩阵 A唯一决定，称之为矩阵A的若尔当标准形

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY3、在一个线性变换的若当标准形中，主对角线上的元素是的特征多项式的全部根（重根按多数计算）。(1、2、3的证明将在第八章给出）

3、在一个线性变换  的若当标准形中，主对角线 上的元素是  的特征多项式的全部根（重根按多数 （1、2、3的证明将在第八章给出） 计算）

西要毛子律技大枣XIDIAN UNIVERSITY附：有时也规定形式为02001..02...000J(a,t)=0 00011tX的矩阵为若当（Jordan）块

1 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 0 1 0 0 0 0 t t J t           =         的矩阵为若当(Jordan)块. 附：有时也规定形式为

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