西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.4 特征值与特征向量

西安毛子科技大学二XIDIAN UNIVERSITYS7.4特征值与特征向量一、特征值与特征向量二、特征值与特征向量的求法三、特征子空间四、特征多项式的有关性质

一、特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的求法 §7.4 特征值与特征向量 三、特征子空间 四、特征多项式的有关性质

西安毛子律技大学XIDIAN UNIVERSITY引入有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性变换都可以用矩阵来表示.为了研究线性变换性质希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵，从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是一个对角矩阵?

从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当 的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵? 引入 有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵. 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质

西安毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITY一、特征值与特征向量定义：设是数域P上线性空间V的一个线性变换若对于P中的一个数α，存在一个V的非零向量5，使得(5)= ,则称2.为α的一个特征值，称为的属于特征值2.的特征向量

设  是数域P上线性空间V的一个线性变换， 则称 0 为  的一个特征值，称  为  的属于特征值 0     ( ) , = 一、特征值与特征向量 定义： 若对于P中的一个数 存在一个V的非零向量  , 0  , 使得 的特征向量. 0

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY注：①几何意义：特征向量经线性变换后方向保持相同(>0)或相反(<0).=0 时，()=0.②若是的属于特征值孔.的特征向量，则k（keP,k≠O)也是的属于α.的特征向量( ： o(k)= ko()=k()= 2,(k) )由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若()=且()=，则 =:

① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持 由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， ( ) 0 0         ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k = = = 注： 相同 ( 0) 0  或相反 0 ( 0).   0  = 0 , 时  ( ) = 0. ② 若  是  的属于特征值 0 的特征向量，则 k k P k  ( , 0)   也是  的属于 的特征向量. 0 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即 若       ( ) ( ) = = 且 ，则   =

西安毛子科技大学二XIDIANUNIVERSITY二、特征值与特征向量的求法分析：设 dimV=n，j,82,,8n是V的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为A设,是的特征值，它的一个特征向量在基Xo181,82,8n下的坐标记为XonXo1则()在基81,82,,8n下的坐标为AXon

设 dim , , , , V n =    1 2 n 是V的一组基， 线性变换  在这组基下的矩阵为A. 1 2 , , , n    下的坐标记为 01 0 , n x x         二、特征值与特征向量的求法 分析： 设 0 是  的特征值，它的一个特征向量  在基 则  ( ) 在基 下的坐标为 01 0 , n x A x         1 2 , , , n   

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITYXo1又 ()= ,而,的坐标是 .(Xon)XoXo?0= 0.于是从而(2,E-A)e=2:XonXonXon01即是线性方程组(2,E-A)X=0的解.0nYol.￥0,:(α,E-A)X=0有非零解文：5±0,Xon所以它的系数行列式2,E-A=0

而  0 的坐标是 01 0 0 , n x x          0 01 01 0 0 , n n x x A x x          =         于是 0 又     ( ) = 0 01 0 ( ) 0. n x E A x    − =       从而 01 0 0, 0, n x x             又 即 是线性方程组 的解， 01 0n x x         0 ( ) 0  E A X − = ∴ ( ) 0 0E A X − = 有非零解. 所以它的系数行列式 0  E A− = 0

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY以上分析说明：若,是的特征值，则,E-A=0.反之，若 αP满足α,E-A=0,则齐次线性方程组(α,E-A)X=0 有非零解若(xo1,Xo2,"…,Xon)是 (a,E- A)X = 0 一个非零解,则向量= +…+x，就是的属于,的一个特征向量

以上分析说明： 若 是 的特征值，则 0  E A− = 0. 0  反之，若 0  P 满足 0  E A− = 0, 则齐次线性方程组 ( ) 0 0E A X − = 有非零解. 若 ( , , , ) x x x 01 02 0n  是 ( ) 0 0E A X − = 一个非零解， 特征向量. 则向量    = + + x x 01 1 0n n 就是  的属于 0 的一个

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY1.特征多项式的定义设Aεpmn，是一个文字，矩阵E－A 称为A的特征矩阵，它的行列式-a-a2-a..-a," a-an ...-azn[ZE-A|=(a)t.. a-a..-a.-an2称为A的特征多项式（f(a)是数域P上的一个n次多项式)

设 , 是一个文字，矩阵 称为 n n A P    E A − 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ( ) n n n n nn A a a a a a a E A a a a f      − − − − − − − = − − −  称为A的特征多项式. 1. 特征多项式的定义 A的特征矩阵，它的行列式 （ fA ( )  是数域P上的一个n次多项式）

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY注：①若矩阵A是线性变换θ关于V的一组基的矩阵，而,是α的一个特征值，则α是特征多项式fA(a)的根，即fA(α)=0.反之，若α,是A的特征多项式的根，则2就是α的一个特征值．（所以，特征值也称特征根）②矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值而相应的线性方程组(aE-A)X=0 的非零解也就称为A的属于这个特征值的特征向量

② 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值, 注：① 若矩阵A是线性变换  关于V的一组基的矩阵， 而 0 是  的一个特征值，则 是特征多项式 ( ) A 0 f  的根，即 0 ( ) 0. A f  = 的一个特征值. 反之，若 0 是A的特征多项式的根，则 0 就是  （所以，特征值也称特征根.） 而相应的线性方程组 ( ) 0 E A X − = 的非零解也就 称为A的属于这个特征值的特征向量

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSIT2.求特征值与特征向量的一般步骤i)在V中任取一组基6,8,,,8,,写出α在这组基下的矩阵A。i)求A的特征多项式aE－A|在P上的全部根它们就是的全部特征值。i)把所求得的特征值逐个代入方程组(2E -A)X = 0并求出它的一组基础解系.（它们就是属于这个特征值的全部线性无关的特征向量在基8,8,，,8下的坐标

i) 在V中任取一组基    1 2 , , , n , 写出  在这组基下 就是  的全部特征值. ii) 求A的特征多项式 E A − 在P上的全部根它们 2. 求特征值与特征向量的一般步骤 的矩阵A . iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组 ( ) 0 E A X − = 的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标.) 并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值 1 2 , , , n   