西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第九章 欧氏空间 9.6 对称矩阵的标准形

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITYS 9.6对称矩阵的标准形一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵（自学）四、实二次型的主轴问题

§9.6 对称矩阵的标准形 §9.6 对称矩阵的标准形 一、实对称矩阵的一些性质 二、对称变换 三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵 四、实二次型的主轴问题（自学）

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY实对称矩阵的一些性质引理1设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数证：设2.是A的任意一个特征值，则有非零向量Xi.S=Xn)满足 A=

§9.6 对称矩阵的标准形 一、实对称矩阵的一些性质 引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数． 1 2 n x x x      =         证：设 0 是A的任意一个特征值，则有非零向量 满足 0 A   =

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYX1X2..=其中xi为x,的共轭复数，..Xn又由A实对称，有 A=A，A=A，A=A.. =() =(A) =(FA)5(E A') =(AE) =(AE)=(5) =() =

§9.6 对称矩阵的标准形A A A A = = , ,  其中 x x i 为 i 的共轭复数， 1 2 , n x x x      =         令    0   ( )   A  =  = ( ) A  又由A实对称，有 ( )    0 =  A A   =   ( ) A     ( ) 0 =  = ( )   A  = = ( ) A  0 = ( )       0  =

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY-5考察等式，由于是非零复向量，必有F'$ = xix+ +x2x2 +...+Xnx, * 0故 =.： R

§9.6 对称矩阵的标准形 1 2 1 2 n 0 n   x x x x x x  = + + +  由于  是非零复向量，必有 故 0 0   = . 0    R. 考察等式， 0       0   =

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY引理2设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间R"上定义一个线性变换。如下：VαER"α(α) = Aα,则对任意α,βeR"，有(α(α),β)=(α,α(β))即β'(Aα) = α(Aβ)

§9.6 对称矩阵的标准形 引理2 设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间 上 n R ( ) , n     =   A R 定义一个线性变换  如下： (      ( ), , ( ) , ) = ( ) 则对任意  , ,  R n 有 即       ( ) ( ). A A =

西要毛子科技大学XIDIAN UNIVERSIT证：取R"的一组标准正交基，00030001则在基j,2……,下的矩阵为A，即O(81,82....8n) =(81,82,...8n)A-xi(y)X2J2ER",任取β=α =-....Xnn

§9.6 对称矩阵的标准形 1 2 1 0 0 0 1 , , ..., 0 0 0 1 n                = = =                   1 2 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., )        n n = A 证：取 R n 的一组标准正交基， 则  在基    1 2 , ,..., n 下的矩阵为A，即 任取 1 1 2 2 , , n n n x y x y R x y           = =             

西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY即 α=Xe1 +X282 +..+X,en =(81,82,..8n)X,β= yie1 + y262 + ..+ yne, =(8,82...8n)Y,于是0(α) = 0(81,82....8n)X = (81,82....8n)AX,(β) = 0(61,62...en)Y =(61,62...6n)AY,又81,&2.,8n是标准正交基.: (o(α),β)=(AX)Y =(X'A')Y = X'AY= X'(AY) =(α,α(β)

§9.6 对称矩阵的标准形 1 1 2 2 ... n n     = + + + y y y 1 1 2 2 ... n n 即     = + + + x x x  = (   ( ), ( ) ) AX Y = X AY ( ) 1 2 ( , ,..., ) , =    n X 1 2 ( , ,..., ) , =    n Y 于是 1 2 1 2 ( ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) ,          = = n n X AX 1 2 1 2 ( ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) ,          = = n n Y AY 又    1 2 , ,..., n 是标准正交基， = ( ) X A Y   = X AY  = (   , ( ))

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY又注意到在R"中α=X，β=Y,即有 β'(Aα)=(β,α(α))=(α(α),β)=(α,o(β)) = α'(Aβ)二、 对称变换1．定义设为欧氏空间V中的线性变换，如果满足(α(α),β) =(α,o(β)),Vα,βeV,则称为对称变换

§9.6 对称矩阵的标准形 = (   , ( )) =  ( ). A 即有      ( ) , ( ) A = ( ) = (   ( ), ) 又注意到在 中   = = X Y , , n R 二、对称变换 1．定义 (        ( ), , ( ) , , , ) =   ( ) V 则称 为对称变换． 设  为欧氏空间V中的线性变换，如果满足

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY2.基本性质1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：D实对称矩阵可确定一个对称变换。事实上，设ARnn,A'=A，1,&2,n为V的一组标准正交基：定义V的线性变换：0(61...,) =(61....8n)A则α即为V的对称变换·

§9.6 对称矩阵的标准形 1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在 标准正交基下是相互确定的： 2．基本性质 ① 实对称矩阵可确定一个对称变换． 一组标准正交基． 1 1 ( ,... ) ( ,... )      n n = A 事实上，设 , , n n A R A A   = 1 2 , ,..., n    为V的 定义V的线性变换  ： 则 即为V的对称变换．

西安毛子科技大学二XIDIAN UNIVERSITY2对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵事实上，设o为n维欧氏空间V上的对称变换，8j,62,,6,为V的一组标准正交基，A=(a,) Rm为在这组基下的矩阵，即O(61,62,*",8n) = (81,62,*",6n)A或O(8,) = a;e +a2ie, +...+amen-Zank'i=1,2,,nk=1

§9.6 对称矩阵的标准形 ② 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵． ( ) n n A a R ij     1 2 , , , n 为V的一组标准正交基， =  事实上，设  为n维欧氏空间V上的对称变换， 为  在这组基下的矩阵，即 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , )        n n = A 或 1 1 2 2 ( )i i i ni n      = + + + a a a 1 , 1,2, , n ki k k a i n  = = = 