第二章行列式85行列式的计算S1引言S2排列86行列式按行（列）展开s3n级行列式7Cramer法则s8Laplace定理s4n级行列式的性质行列式乘法法则
§4 n 级行列式的性质 §8 Laplace定理 行列式乘法法则 §3 n 级行列式 §2 排列 §1 引言 §5 行列式的计算 §7 Cramer法则 §6 行列式按行(列)展开 第二章 行列式
62.2 排列一、排列二、逆序逆序数、奇排列偶排列三、四、对换
一、排列 二、逆序 逆序数 三、奇排列 偶排列 四、对换
一、排列定义由1，2，，n组成的一个有序数组称为一个n级排列。注：所有不同n级排列的总数是n!=1.2....(n-1)n=P(n阶乘)如，所有的3级排列是123, 132， 213， 231, 312， 321.一一共6=3！个.F$2.2排列
§2.2 排列 一、排列 定义 称为一个 n 级排列． 由1，2， … ，n 组成的一个有序数组 123，132，213，231，312，321． 如，所有的3级排列是 ——共6=3！个. ! 1 2 ( 1) n n n n P = − = n ( 阶乘) 注： 所有不同 n 级排列的总数是
二、逆序逆序数我们规定各元素之间有一个标准次序，n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序定义在一个排列中，如果一对数的前后位置与标准次序相反，即前面的数大于后面的数则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数F82.2排列
§2.2 排列 二、逆序 逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不 同的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义 一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数． 在一个排列中，如果一对数的前后位置 与标准次序相反，即前面的数大于后面的数， 则称这对数为一个逆序；
注:①排列123…n称为标准排列，其逆序数为0.②排列jjizjn的逆序数常记为t(jijjn)③t(ijizjn)=ji后面比ji小的数的个数方法一+后面比jz小的数的个数++jn-1后面比jn-1小的数的个数方法二或t(ijzin)=jz前面比jz大的数的个数+j前面比j大的数的个数+…·+jn前面比jn大的数的个数F82.2排列
§2.2 排列 ① 排列 123 n 称为标准排列，其逆序数为０． 注： ② 排列 的逆序数常记为 1 2 ( ). n j j j 1 2 n j j j ③ ( ) j j j j 1 2 1 n = 后面比 j 1 小的数的个数 n 1 j + − 后面比 j n−1 小的数的个数. + j 2 后面比 j 2 小的数的个数 + 或 ( ) j j j j 1 2 2 n = 前面比 j 2 大的数的个数 3 + j 前面比 j 3 大的数的个数 + n + j 前面比 j n 大的数的个数． 方法一 方法二
例1．排列31542中，逆序有31，32，54，52，42.. t(31542) = 5例2.求 n 级排列135..(2n-1)(2n)(2n-2)..42的逆序数.方法一解: 135...(2n -1)(2n)(2n -2)...42121n-1n-1T=1+2+...+(n-1)+(n-1)+...+2+1=n(n-1)F82.2排列
§2.2 排列 例1．排列 31542 中，逆序有 = (31542) 5 31， 32， 54， 52， 42 的逆序数. 例2．求 n 级排列 135 (2 1)(2 )(2 2) 42 n n n − − 解： 135 (2 1)(2 )(2 2) 42 n n n − − 2 1 n−1 n−1 方法一 = + + + − + − + + + = − 1 2 ( 1) ( 1) 2 1 ( 1) n n n n 1
偶排列三、奇排列、定义逆序数为奇数的排列称为奇排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列注：标准排列123n为偶排列.练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性，(1) n(n-1)...321(2)(2n)1(2n-1)2(2n- 2)3...(n+1)nF$2.2排列
§2.2 排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列； 逆序数为偶数的排列称为偶排列． 三 、奇排列、偶排列 定义 注： 标准排列 123 n 为偶排列． 练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性． （1） n n( 1) 321 − （2） (2 )1(2 1)2(2 2)3 ( 1) n n n n n − − +
方法一答案：n(n-1)(1) t =(n-1)+(n-2)+...+2+1= n2当n=4k，4k+1时为偶排列方法二当n=4k+2，4k+3时为奇排列.(2)t =1+2+.+n+(n-1)+(n-2)+...+2+1n(n+1)n(n-1)= n?22当 k 为偶数时为偶排列，当k为奇数时为奇排列F82.2排列
§2.2 排列 答案: 2 ( 1) ( 1) 2 2 n n n n n + − =+= （ = + + + + − + − + + + 1 2 ( 1) ( 2) 2 1 n n n 2） 当 n k k = + 4 , 4 1 时为偶排列； 当 n k k = + + 4 2, 4 3 时为奇排列. 当 k 为偶数时为偶排列， 当 k 为奇数时为奇排列. 方法一 方法二 ( 1) (1) ( 1) ( 2) 2 1 2 n n n n − = − + − + + + =
四、对换定义把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换F82.2排列
§2.2 排列 四 、对换 定义 把一个排列中某两个数的位置互换，而 其余的数不动，得到另一个排列，这一变换 称为一个对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．
定理1对换改变排列的奇偶性。即经过一次对换奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。证明1）特殊情形：作相邻对换设排列为a.a, abb...b.对换a与ba...a, bab,...b.除a,b外，其它元素所成逆序不改变F82.2排列
§2.2 排列 证明 1) 特殊情形：作相邻对换 a1 al ab b1 bm 对换 a 与 b a1 al ba b1 bm 除 a,b 外，其它元素所成逆序不改变. ab 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列． 定理1 设排列为