西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第十章 双线性函数 10.1 线性函数

第十章双线性函数s 10.1线性函数S10.2对偶空间$10.3双线性函数s10.4对称双线性函数

第十章 双线性函数 §10.1 线性函数 §10.2 对偶空间 §10.3 双线性函数 §10.4 对称双线性函数

$ 10.1线性函数线性函数的定义二、、线性函数的简单性质810.1线性函数

§10.1 线性函数 一、线性函数的定义 二、线性函数的简单性质 §10.1 线性函数

一、线性函数的定义定义设V是数域P上的线性空间，映射f:V→P若满足：Vα,eV,kep(1) f(α+β)= f(α)+ f(β)(2) f(kα) = kf(α)则称为V上的一个线性函数$10.1线性函数

§10.1 线性函数 (1) ( ) ( ) ( ) f f f     + = + (2) ( ) ( ) f k kf   = 设V是数域 P上的线性空间，映射 ， 若满足： f V P : →     , , V k P 则称 为V上的一个线性函数. f 一、线性函数的定义 定义

二、线性函数的基本性质1. f(0)=0,f(-α)=-f(α)2.若β=kα+k,αz+...+k,α,，则f(β) =kif(α)+kzf(α2)+... +k,f(α,)3.设f:V→P为一个线性函数，,82,,8n为V的一组基，f(s,)=a;,i=1,2,,nVaeV,α=kei +k,e, +...+knen则 f(α)= k,f(s))+k,f(ε2)+...+knf(cn)= ka, +ka, +..+kan810.1线性函数V

§10.1 线性函数 二、线性函数的基本性质 1. (0) 0, ( ) ( ) f f f = − = −   2. 若     = + + + k k k 1 1 2 2 s s ， 则 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s s f k f k f k f     = + + + 3.设 f V P : → 为一个线性函数，    1 2 , , , n 为 V 1 1 2 2 ,   = + + +      V k k kn n ( ) , 1,2, , i i 的一组基， f a i n  = = 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n 则 f k f k f k f     = + + + 1 1 2 2 n n = + + + k a k a k a

即f可由V的基的角确定，反之，设ai,a2,an是P中任意n个确定的数，而81,2，,8为发V的一组基VαeV,α= ke +k,e, +...+k,em令f(a)=Zk,a,i=1则f:V→P为线性函数，且f(8,)= a,i =1,2,.,n$10.1线性函数A

§10.1 线性函数 即 f 可由 V 的基的角确定. 反之，设 a a a 1 2 , , , n 是P中任意 n 个确定的数， 而 1 2 为发V的一组基. , , , n    则 f V P : → 为线性函数，且 1 1 2 2 ,   = + + +      V k k kn n 1 ( ) , n i i i f k a  = 令 =  ( ) , 1,2, , i i f a i n  = =

例1. 设 aj,a2,,an e P, α=(x,X2,"",x,)e p"f(a)=-Za;则i=是 Pn到P的一个线性函数例2. 设 A=(a,)e pnxn，则 f(A)= traceA=?a1i=1是 Pnn到P的一个线性函数.810.1线性函数AP

§10.1 线性函数 是 到 P的一个线性函数. n P 例2. 设 ( ) ，则 n n A a P ij  =  1 ( ) n ii i f A traceA a = = =  是 到 的一个线性函数. n n P  P 例1. 设 1 2 1 2 , , , , ( , , , ) n n n a a a P x x x P  =   1 ( ) n i i f a  = 则 = 

例3.设V是数域P上的线性空间，1,82,，8n为V的一组基，f是V上的一个线性函数，已知f(8 +83) = 1, f(82 -283) = -1, f(8 + 62) =-3求 f(xe+X282+X38).解：(f()+ f(ε3)=1f()= 4f(82)= -7f(82)-2f(83)=-1 :f(83) = -3f(s)+ f(82)=-3所以 f(x +x22 +X83)=4x -7x2-3x3.810.1线性函数

§10.1 线性函数 例3.设 V 是数域 P 上的线性空间，    1 2 , , , n 为 V 的 一组基， f 是 V 上的一个线性函数，已知 1 3 2 3 1 2 f f f ( ) 1, ( 2 ) 1, ( ) 3       + = − = − + = − 求 1 1 2 2 3 3 f x x x ( ).    + + 解： 1 3 2 3 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) 3 f f f f f f        + =   − = −  + = − 1 1 2 2 3 3 1 2 3 所以 f x x x x x x ( ) 4 7 3 .    + + = − − 1 2 3 ( ) 4 ( ) 7 ( ) 3 f f f     =   = −   = − 

例4.V是数域P上的3维线性空间，f是V上的一个线性函数，已知f(8) +83)= f(81 -283)= 0, f(8 +82)=1,求f.解：(f(e)+ f(c)= 0f(ε)=0f(8)-2f(83)= 0f(ε2)=1(f(8)+ f(82)=1f(3) = 0则Vα=Xei+xe,+XeeV,f(α) = X,f(82)= X2.810.1线性函数V

§10.1 线性函数 例4. V 是数域 P 上的3维线性空间， f 是 V 上的 一个线性函数，已知 1 3 1 3 1 2 f f f ( ) ( 2 ) 0, ( ) 1,       + = − = + = 求 f . 1 3 1 3 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) 2 ( ) 0 ( ) ( ) 1 f f f f f f        + =   − =  + = 解： 则 1 1 2 2 3 3  = + +      x x x V, 1 2 3 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 0 f f f     =   =   =  2 2 2 f x f x ( ) ( ) .   = =

定理1设V为数域P上的一个n维线性空间，81,82,…,n为V的一组基，a,2,",an为P中任意n个数．则存在唯一的V上线性函数f使f(e.)=api=1,2,,n.$10.1线性函数A2

§10.1 线性函数 定理1 设V为数域 P上的一个n 维线性空间， ( ) 1,2, , . i i f a i n  = = ，    1 2 , , , n 为V的一组基， a a a 1 2 , , , n 为 P中 任意n 个数. 则存在唯一的V上线性函数 f 使

证明：映射 :V→P,a=xe+xe+xHxai+xa+Xa即为V上的线性函数，且f(s)=a,i=1,2,,n若还有 g是 V上线性函数使 g(s,)=a,i=1,2,,n,则=+有g(α) = xig(e)+x2g(e2)+... + xng(en)=xa, +x,a, +..+xnan=xf(e)+xf(e)+...+xnf(n)..f=g= f(x,e +x,e, +...+xnen)=f(α)810.1线性函数区区

§10.1 线性函数 证明：映射 f V P : → ， 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3     = + + + + x x x x a x a x a 即为 V 上的线性函数，且 ( ) , 1,2, , i i f a i n  = = 若还有 g 是 V 上线性函数使 ( ) , 1,2, , , i i g a i n  = = 则  = + +      x x x V 1 1 2 2 3 3 , 有 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n g x g x g x g     = + + + 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n = + + + x f x f x f     = f g 1 1 2 2 n n = + + + x a x a x a 1 1 2 2 ( ) ( ) n n = + + + = f x x x f    