第六章线性空间S5线性子空间S1集合·映射86子空间的交与和S2线性空间的定义与简单性质S7子空间的直和S3维数·基与坐标s8线性空间的同构s4基变换与坐标变换小结与习题
§2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §1 集合·映射 §5 线性子空间 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 §6 子空间的交与和 小结与习题 第六章 线性空间
$6.5线性子空间一、线性子空间二、生成子空间6.5线性子空间
§6.5 线性子空间 一、线性子空间 二、生成子空间 §6.5 线性子空间
一、线性子空间1、线性子空间的定义设V是数域P上的线性空间，集合W_V(W￥の)若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间，则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间注：①线性子空间也是数域P上一线性空间，它也有基与维数的概念②任一线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.86.5线性子空间区区
§6.5 线性子空间 一、线性子空间 1、线性子空间的定义 设V是数域P上的线性空间，集合 W V W ( ) 若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间． 注：① 线性子空间也是数域P上一线性空间，它也 ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 有基与维数的概念. 维数
2、线性子空间的判定定理：设v为数域P上的线性空间，集合WεV(W≠の)，若W对于V中两种运算封闭，即Vα,βeW, 有 α+βeW;VαeW,vkeP, 有 kαeW茶则W是V的一个子空间。推论：V为数域P上的线性空间,W≤V(Wの)，则W是v的子空间台Vα,βeWVa,beP,aα+beW86.5线性子空间区
§6.5 线性子空间 2、线性子空间的判定 ( ) W ，若W对于V中两种运算封闭，即 + , , ; W W 有 则W是V的一个子空间． 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W V W k P k W , , 有 + , , , , . W a b P a b W 推论：V为数域P上的线性空间, W V W ( ), 则 W是V的子空间
证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则由于W≤V，规则1）、2）、5）、6）、7）、8)是显然成立的．下证3）、4）成立。：W，：αW．且对VαeW,由数乘运算封闭，有-α=(-1)αEW，即W中元素的负元素就是它在V中的负元素，4）成立。由加法封闭，有0=α+-α)EW，即W中的零元就是V中的零元，3）成立。CC86.5线性子空间
§6.5 线性子空间 ∵ W ，∴ W . 且对 W ，由数乘运算 封闭，有 − = − ( 1) W ，即W中元素的负元素就是 它在V中的负元素，4）成立． 就是V中的零元， 3）成立． 由于 W V ，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立． 由加法封闭，有 0 ( ) = + − W ,即W中的零元 证明：要证明W也为数域P上的线性空间， 即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．
例1设V为数域P上的线性空间，只含零向量的子集合W=O?是V的一个线性子空间，称之为V的零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的子空间称为非平凡子空间例2设V为所有实函数所成集合构成的线性空间，则R[x]为V的一个子空间例3P[x],是P[x]的的线性子空间.86.5线性子空间区区
§6.5 线性子空间 例2 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间, 则R[x]为V的一个子空间． 例3 P[x]n是P[x]的的线性子空间． 例1 设V为数域P上的线性空间，只含零向量的 子集合 是V的一个线性子空间，称之为V的 零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间. 这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的 子空间称为非平凡子空间． W = {0}
例4n元齐次线性方程组aiixi +ai2X2 +... +ainx, = 0a21Xj + a22X2 +.. +a2nxn = 0(*)asixj +as2x +..+asnxn =0的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数量乘法构成的线性空间是n维向量空间Pn的一个子空间，称W为方程组(＊)的解空间注 ①（＊)的解空间W的维数=n一秩(A)，A=(aj)sxn ;②（＊）的一个基础解系就是解空间W的一组基86.5线性子空间区区
§6.5 线性子空间 的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 ① (＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)， A a = ( )ij s n ； 例4 n元齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = (＊) 注 ② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基. 空间，称W为方程组(＊)的解空间． 量乘法构成的线性空间是n维向量空间Pn的一个子
例5判断Pn的下列子集合哪些是子空间：WI =((xi,x2,...,xn)xi +x +...+xn = 0,x, e P)W, =((xi,x2,.",x,)x +x +...+x, =1,x, e P)W, = ((xi,X2,"",xn-,)] X, e P,i =1,2,..,n-1)若为Pn的子空间，求出其维数与一组基解：Wi、W3是Pn的子空间，W,不是Pn的子空间事实上，W是n元齐次线性方程组Xi+x, +...+x,=0①的解空间．所以，维W,=n一1，①的一个基础解系86.5线性子空间
§6.5 线性子空间 例5 判断Pn的下列子集合哪些是子空间： 1 1 2 1 2 {( , , , ) 0, } W x x x x x x x P = + + + = n n i 解：W1 、 W3是Pn的子空间，W2不是Pn的子空间. 2 1 2 1 2 {( , , , ) 1, } W x x x x x x x P = + + + = n n i 3 1 2 1 {( , , , ,0) , 1,2, , 1} W x x x x P i n = = − n i − 若为Pn的子空间，求出其维数与一组基. 事实上，W1 是n元齐次线性方程组 的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系 1 2 0 n x x x + + + = ①
ni =(1,-1,0,...,0), n2 = (1,0,-1,0,..,0),.nn-1=(1,0,,0,-1)就是W,的一组基.而在W,中任取两个向量α,β，设α =(xi,x2,...,xn), β =(yi,y2,..",yn)则 α+β=(xi+ yi,X,+ y2,"",xn +yn)但是 (x, +yi)+(x, +y2)+...+(x, + yn)=(x +x, +...+xn)+(yi + y2 +...+ yn)=1+1=2：α+βW2，故W,不是Pn的子空间。86.5线性子空间K
§6.5 线性子空间 就是W1 的一组基. 1 = − (1, 1,0, ,0), 1 (1,0, ,0, 1) n− = − , 2 = − (1,0, 1,0, ,0), 而在W2中任取两个向量 , ，设 1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ) n n = = x x x y y y 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n 但是 x y x y x y + + + + + + 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 1 2 n n = + + + + + + + = + = x x x y y y 1 1 2 2 ( , , , ) n n + = + + + x y x y x y 2 + W , 则 故W2不是Pn的子空间
下证W，是Pn的子空间首先 0 =(0,0,...,0)eW3, ..W, +0其次,Vα,βeW3,VkeP,设α =(xi,x2,...,xn-1,0), β=(yi,J2,..., Jn-1,0)则有α+β=(xi +yi,X, + y2,"",Xn-1 + yn-1,0)eW3kα = (kxj,kx2,".., kxn-1,0) e W3故，W为V的一个子空间，且维W=n一1，8; =(0,.,0,1,0...,0), i=1,2,...,n-1就是W的一组基。86.5线性子空间区区
§6.5 线性子空间 故，W3为V的一个子空间，且维W3 ＝n－1 ， 1 2 1 3 ( , , , ,0) n k kx kx kx W = − 1 1 2 2 1 1 3 ( , , , ,0) n n 则有 + = + + + x y x y x y W − − 其次， 3 , , , W k P 1 2 1 1 2 1 ( , , , ,0), ( , , , ,0) n n x x x y y y 设 = = − − 3 3 首先 0 (0,0, ,0) , = W W 下证W3是Pn的子空间. (0, ,0,1,0 ,0), 1,2, , 1 i i = = − i n 就是W3的一组基