第七章线性变换S6线性变换的值域与核S1线性变换的定义S2线性变换的运算S7不变子空间s3线性变换的矩阵S8若当标准形简介s4特征值与特征向量89最小多项式85对角矩阵小结与习题
§2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 §7不变子空间 小结与习题 第七章 线性变换 §5 对角矩阵
S 7.9最小多项式最小多项式的定义二、最小多项式的基本性质67.9最小多项式
§7.9 最小多项式 一、最小多项式的定义 二、最小多项式的基本性质 §7.9 最小多项式
引入由哈密尔顿—凯莱定理，VAe pmxn,f(a)=l aE-AI是A的特征多项式，则 f(A)=0.因此，对任定一个矩阵Aε P"，总可以找到一个多项式 f(x)e P[xl，使 f(A)=0. 此时，也称多项式f(x)以A为根本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的那个与A的对角化之间的关系87.9最小多项式A
§7.9 最小多项式 由哈密尔顿―凯莱定理， , ( ) | | n n A P f E A = − 是A的特征多项式，则 f A( ) 0. = 因此，对任定一个矩阵 ，总可以找到一个 n n A P 多项式 f x P x ( ) [ ], 使 f A( ) 0. = 多项式 f x( ) 以A为根. 引入 本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的 那个与A的对角化之间的关系. 此时，也称
一、最小多项式的定义定义：设Aepmxn,在数域P上的以A为根的多项式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称为A的最小多项式67.9最小多项式
§7.9 最小多项式 一、最小多项式的定义 定义：设 , 在数域P上的以A为根的多项 n n A P 为A的最小多项式. 式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称
二、最小多项式的基本性质1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的证：设g,(x),g2(x)都是A的最小多项式由带余除法，g(x)可表成gi(x) = q(x)g2(x)+ r(x)其中 r(x)= 0 或 a(r(x)<a(g2(x).于是有87.9最小多项式K
§7.9 最小多项式 二、最小多项式的基本性质 1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 证：设 都是A的最小多项式. 1 2 g x g x ( ), ( ) 由带余除法， g x 1 ( ) 可表成 1 2 g x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 其中 r x( ) 0 = 或 2 ( ( )) ( ( )). r x g x 于是有
gi(A) = q(A)g2(A) + r(A) = 0. r(A)=0r(x) = 0,由最小多项式的定义，即， g2(x)gi(x).同理可得，8(x)g2(x):: gi(x)=cg2(x), c±0.:c=1又gi(x),82(x)都是首1多项式故gi(x)=g2(x)67.9最小多项式V
§7.9 最小多项式 由最小多项式的定义， r x( ) 0, = 即， 2 1 g x g x ( ) ( ). 同理可得， 1 2 g x g x ( ) ( ). 1 2 = g x cg x c ( ) ( ), 0 1 2 g A q A g A r A ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = + = = r A( ) 0 又 1 2 都是首1多项式, g x g x ( ), ( ) = c 1 故 1 2 g x g x ( ) ( ). =
2.（引理2）设g(x)是矩阵A的最小多项式，则f(x) 以A为根 台 g(x)f(x).证：充分性显然，只证必要性由带余除法，f(x)可表成f(x) = q(x)g(x) +r(x),其中r(x) =0 或 a(r(x))<a(g(x)于是有f(A)=q(A)g(A)+r(A)= 0.: r(A)=087.9最小多项式A
§7.9 最小多项式 2.（引理2）设 g x( ) 是矩阵A的最小多项式，则 f x( ) 以A为根 g x f x ( ) ( ). 证：充分性显然，只证必要性 由带余除法， f x( ) 可表成 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 其中 r x( ) 0 = 或 ( ( )) ( ( )). r x g x 于是有 f A q A g A r A ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = + = = r A( ) 0
由最小多项式的定义，r(x)=0.:: g(x)|f(x).由此可知：若 g(x)是A的最小多项式，则 g(x)整除任何一个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式。即3.矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因子.67.9最小多项式
§7.9 最小多项式 由最小多项式的定义， r x( ) 0. = g x f x ( ) ( ). 由此可知： 若 g x( ) 是A的最小多项式，则 g x( ) 整 除 任何一 个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即 3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个 因子
例1、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式x一k;特别地，单位矩阵的最小多项式是x-1；零矩阵的最小多项式是x反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则A一定是数量矩阵例2、求 A =的最小多项式。00187.9最小多项式区区
§7.9 最小多项式 例1、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式 x k − ; 特别地，单位矩阵的最小多项式是 x − 1 ； 零矩阵的最小多项式是 x . 反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵. 例2、求 的最小多项式. 1 1 0 0 1 0 0 0 1 A =
解：A的特征多项式为0x-1-100=(x-1)3x-1f(x) =| xE - A}=00x-1又A-E±0,(A-E)?=A?-2A+E(689-69-6])0：A的最小多项式为(x-1).67.9最小多项式区区
§7.9 最小多项式 解：A的特征多项式为 3 1 1 0 ( ) | | 0 1 0 ( 1) 0 0 1 x f x xE A x x x − − = − = − = − − 又 A E− 0, 2 2 ( ) 2 A E A A E − = − + 1 2 0 2 2 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 = − + = ∴ A的最小多项式为 2 ( 1) . x −