第六章线性空间S5线性子空间S1集合·映射86子空间的交与和S2线性空间的定义与简单性质S7子空间的直和S3维数·基与坐标s8线性空间的同构s4基变换与坐标变换小结与习题
§2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §1 集合·映射 §5 线性子空间 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 §6 子空间的交与和 小结与习题 第六章 线性空间
S 6.2线性空间的定义与简单性质线性空间的定义、线性空间的简单性质86.2线性空间的定义与简单性质
§6.2 线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质 §6.2 线性空间的定义 与简单性质
引例1在第三章$2中，我们讨论了数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：(a,a2,..",an)+(bi,b2,...,bn)=(a, +bi,a, +b2,..",an +bn)k(a,a,,..-,an)=(ka,ka,,..,ka,), keP而且这两种运算满足一些重要的规律，如1α=αα+β=β+αk(lα) =(kl)α(α+β)+=α+(β+)(k +l)α = kα + lαα+0=αα+(-α)= 0k(α+β)=kα+kβVα,β,ep", Vk,lePS6.2线性空间的定义与简单性质
§6.2 线性空间的定义与简单性质 1 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) n n n n a a a b b b a b a b a b + = + + + 1 2 1 2 ( , , , , ) ( , , ), n n k a a a ka = ka ka k P 而且这两种运算满足一些重要的规律,如 引例 1 空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法： + = + 在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量 + = 0 ( ) ( ) + + = + + + − = ( ) 0 1 = k l kl ( ) ( ) = ( ) k l k l + = + k k k ( ) + = + , , , , n P k l P
引例2数域P上的一元多顶式环P[x中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算同样满足上述这些重要的规律，即f(x)+ g(x)= g(x)+ f(x)(f(x)+ g(x)+ h(x) = f(x)+(g(x)+h(x)f(x)+0= f(x)f(x)+(-f(x)= 0Vf(x),g(x),h(x)e P[xl,Vk,lep1f() = f()k(l)f(x)=(kl)f(x)(k +l)f(x) = kf(x)+lf(x)k(f(x)+ g(x) = kf(x)+ kg(x)6.2线性空间的定义与简单性质区区
§6.2 线性空间的定义与简单性质 同样满足上述这些重要的规律，即 ( ), ( ), ( ) [ ], , f x g x h x P x k l P f x g x g x f x ( ) ( ) ( ) ( ) + = + 数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多 项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x + + = + + k l f x kl f x ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) f x f x = f x f x ( ) ( ( )) 0 + − = f x f x ( ) 0 ( ) + = ( ) ( ) ( ) ( ) k l f x kf x lf x + = + k f x g x kf x kg x ( ( ) ( )) ( ) ( ) + = + 引例 2
一、线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对Vα,βeV,在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为α与β的和，记为=α+β；在P与V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即VαV,VkeP,在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为k与α的数量乘积，记为=kα.如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：S6.2线性空间的定义与简单性质区区
§6.2 线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义 设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中 定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V ， 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为 与 的和，记为 = + ；在P与V的元素之间还 定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V k P , , 在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为 k与 的数量乘积，记为 = k . 如果加法和数量乘 法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
Vα,β,yeV加法满足下列四条规则：①α+β=β+α② (α+β)+=α+(β+y)③在V中有一个元素0，对vαV，有α+0=α（具有这个性质的元素0称为V的零元素）④对VαEV，都有V中的一个元素β，使得α+β=0；（β称为α的负元素）数量乘法满足下列两条规则：@lα=α@ k(lα) = (kl)α数量乘法与加法满足下列两条规则：(k+l)α=kα+lαk(α+β)=kα+kβ区6.2线性空间的定义与简单性质
§6.2 线性空间的定义与简单性质 加法满足下列四条规则： ① + = + ⑤ 1 = ⑥ k l kl ( ) ( ) = 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ ( ) k l k l + = + （具有这个性质的元素0称为V的零元素） 数量乘法满足下列两条规则 : ② ( ) ( ) + + = + +⑧ k k k ( ) + = + , , V ④ 对 V, 都有V中的一个元素β，使得 + = 0 ;（β称为 的负元素） ③ 在V中有一个元素0，对 + = V, 0 有
注:1．凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算，2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间：但这里的向量不一定是有序数组3．线性空间的判定：若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合就不能构成线性空间，S6.2线性空间的定义与简单性质区区
§6.2 线性空间的定义与简单性质 3 ．线性空间的判定： 注： 1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组． 称为线性运算． 就不能构成线性空间． 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者
例1引例1,2中的Pn,P[xl均为数域P上的线性空间。例2数域P上的次数小于n的多项式的全体，再添上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法构成数域P上的一个线性空间，常用P[x],表示。P[xl, =(f(x)=an-ix"-I +.+ax+ao| an-1,,ar,ao P)例3数域P上mxn矩阵的全体作成的集合，按矩阵的加法和数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用pmxn表示.86.2线性空间的定义与简单性质区区
§6.2 线性空间的定义与简单性质 例1 引例1, 2中的 Pn , P[x] 均为数域 P上的线性空间． 例2 数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添 的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间， 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示． 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 1 1 1 0 1 1 0 [ ] { ( ) , , , } n P x f x a x a x a a a a P n n n − = = + + + − − 例3 数域 P上 m n 矩阵的全体作成的集合,按矩阵 用 P m n 表示．
例4任一数域P按照本身的加法与乘法构成一个数域P上的线性空间.例5全体正实数R+，1）加法与数量乘法定义为：Va,beR+,VkRkoa=αkα④b= logaVa,beRt,VkeR2）加法与数量乘法定义为：koa=αkα④b=ab判断R+是否构成实数域R上的线性空间，86.2线性空间的定义与简单性质区区
§6.2 线性空间的定义与简单性质 例5 全体正实数R＋ ， logb a b = a k k a a = a b ab = k k a a = 判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 . 1) 加法与数量乘法定义为： a b R k R , , + 2) 加法与数量乘法定义为： a b R k R , , + 例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个 数域P上的线性空间．
解：1）R+不构成实数域R上的线性空间。2@↓=log3 =-1α R+.④不封闭，如22）R+构成实数域R上的线性空间。首先，R+≠の，且加法和数量乘法对R+是封闭的事实上，Va,beRt,a④b=abeR+，且ab唯一确定;VaR,VkeR,koa=aR,且ak唯一确定.其次，加法和数量乘法满足下列算律① a④b=ab=ba=ba② (a田b)甲 c = (ab)田c =(ab)c = a(bc) = a甲(bc) = a甲(b甲c)S6.2线性空间的定义与简单性质区区
§6.2 线性空间的定义与简单性质 1）R＋不构成实数域R上的线性空间. ⊕不封闭，如 1 2 2 1 2 log 1 2 = = − R＋． 2) R＋构成实数域R上的线性空间． 首先，R＋≠ ，且加法和数量乘法对R＋是封闭的. , , k a R k R k a a R + + = ,且a k 唯一确定． 解： a b R a b ab R , , + + 事实上, = ,且ab唯一确定； 其次，加法和数量乘法满足下列算律 ② ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c ab c ab c a bc a bc a b c = = = = = ① a b ab ba b a = = =