第六章线性空间S5线性子空间S1集合·映射86子空间的交与和S2线性空间的定义与简单性质S7子空间的直和S3维数·基与坐标s8线性空间的同构s4基变换与坐标变换小结与习题
§2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §1 集合·映射 §5 线性子空间 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 §6 子空间的交与和 小结与习题 第六章 线性空间
$6.6子空间的交与和一、子空间的交二、子空间的和三、子空间交与和的有关性质6.6子空间的交与和
§6.6 子空间的交与和 §6.6 子空间的交与和 一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
一、子空间的交1、定义设Vi、V,为线性空间V的子空间，则集合VnV, =(a|aeV且aeV,)也为V的子空间，称之为V,与V,的交空间事实上，:0eV,0eV2,:.0eVnV,+任取α,βVnV2,即 α,βeV,且α,βeV2,则有 α+βeV,α+βeV2,:: α+βeVnV,同时有 kαeV,kαV2,:. kαVnV,,VkP故 VnV,为V的子空间.$6.6子空间的交与和
§6.6 子空间的交与和 也为V的子空间， 1 2 1 2 V V a a V a V = { | } 且 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 一 、子空间的交 1、定义 任取 1 2 1 2 , , , , , , V V V V 即 且 1 2 1 2 则有 + + + V V V V , , 同时有 1 2 1 2 k V k V k V V k P , , , 故 为V的子空间. V V 1 2 1 2 1 2 事实上， 0 ,0 , 0 V V V V 称之为V1与V2的交空间
显然有，Vnv,=V,nV,(nv)nv=Vn(nV)2、推广多个子空间的交V,V.,,V为线性空间V的子空间，则集合Vnv,n...nv, =nv, = {αlαeV,i = 1,2,3,.,s)i=1也为V的子空间，称为 V,V,,,V.的交空间$6.6子空间的交与和区区
§6.6 子空间的交与和 显然有, 2、推广 多个子空间的交 1 2 1 | , 1,2,3, , s s i i i V V V V V i s = = = = 1 2 2 1 V V V V = , V V V 1 2 ,,, s 为线性空间V的子空间，则集合 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) V V V V V V = 也为V的子空间，称为 V V V 1 2 ,,, s 的交空间
二、子空间的和1、定义 设V、V,为线性空间V的子空间，则集合V+V, =(a +a, la, eVi,a, eV)也为V的子空间，称之为V,与V,的和空间事实上,:0eV,0eV,..0=0+0eV+V,+0任取 α,βV+V2,设α=α+α2,β=β+β2,其中,αi,β,Vi,α2,β,V2,则有α+β=(α +α)+(β+β2)=(α, + β)+(α, + β,)eV+V2kα = k(α, +α,) = kα +kα, eV+V2, Vke P$6.6子空间的交与和
§6.6 子空间的交与和 二、子空间的和 1、定义 其中， 1 1 1 2 2 2 , , , , V V 则有 1 2 1 2 1 2 k k k k V V k P = + = + + ( ) , 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 也为V的子空间， 1 2 1 2 1 1 2 2 V V a a a V a V + = + { | , } 称之为V1与V2的和空间. 1 2 1 2 + = + + + ( ) ( ) 任取 , , + V V 1 2 设 1 2 1 2 = + = + , , 1 1 2 2 1 2 = + + + + ( ) ( ) V V 1 2 1 2 事实上， 0 ,0 , 0 0 0 = + + V V V V
显然有，V+V,=V,+V,(V +V2)+V3 = V+(V2 +V3)2、推广多个子空间的和V,V2,,V,为线性空间V的子空间，则集合Zv,=V+,+..+v.{α, +α, +..+α, la, eV,i=1,2,3,..,s也为V的子空间，称为V,V2,,V，的和空间。86.6子空间的交与和区区
§6.6 子空间的交与和 显然有, 2、推广 多个子空间的和 = + + + = 1 2 s i i | , 1,2,3, , V i s 1 2 2 1 V V V V + = + , V V V 1 2 ,,, s 为线性空间V的子空间，则集合 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) V V V V V V + + = + + 也为V的子空间，称为 V V V 1 2 ,,, s 的和空间. 1 2 1 s i s i V V V V = = + + +
注意：V的两子空间的并集未必为V的子空间．例如V=((a,0,0)] ae R), V, =(0,b,0)/ be R)皆为R3的子空间，但是它们的并集V UV, = (a,0, 0),(0,b,0)a,b e R)=(a,b,0)la,be R且a,b中至少有一是0)并不是R3的子空间．因为它对R3的运算不封闭，如(1,0,0), (0,1,0)e V UV2但是 (1,0,0) +(0,1,0) =(1,1,0) V UV2$6.6子空间的交与和区区
§6.6 子空间的交与和 V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 注意： 1 2 V a a R V b b R = = {( ,0,0) }, {(0, ,0) } 皆为R3的子空间，但是它们的并集 1 2 V V a b a b R = {( ,0,0),(0, ,0) , } 并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 1 2 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) + = V V 1 2 (1,0,0), (0,1,0)V V 但是 = {( , ,0) , , } a b a b R a b 且 中至少有一是0
三、子空间的交与和的有关性质1、设V,V,W为线性空间V的子空间1) 若 w≤V,WcV, 则W=VnV22) 若 V≤W,V,=W, 则V+V,cW.2、设V,V,为线性空间V的子空间，则以下三条件等价：1) ViV,2) VnV,=V3) V +V, = V2$6.6子空间的交与和V
§6.6 子空间的交与和 三、子空间的交与和的有关性质 1 2 1 2) V V V= 1 2 2 3) V V V + = 1 2 1) V V 2、设 V V1 2 , 为线性空间V的子空间，则以下三 1、设 V V W 1 2 , , 为线性空间V的子空间 1）若 W V W V 1 2 , , 则 1 2 W V V . 2）若 则 1 2 V V W + . 1 2 V W V W , , 条件等价:
3、α1,α2,,α,;βi,β2,",β,为线性空间V中两组向量，则L(αi,α2,"",α,)+ L(βr,β2..", β,)= L(α,α.,.*,α,,βr,β,..., β,)4、维数公式（定理7）设V,V,为线性空间V的两个子空间，则dim V + dimV, = dim(V +V2)+ dim(VnV2)或 dim(V +V2)= dimV + dimV, - dim(VNV2)$6.6子空间的交与和区区
§6.6 子空间的交与和1 2 1 2, ( , , , ) ( , , ) L L s t + 1 2 1 2, ( , , , , , , ) = L s t 3、 1 2 1 2, , , , ; , , s t 为线性空间V中两组 向量，则 4、维数公式（定理7） 设 V V1 2 , 为线性空间V的两个子空间，则 dim dim dim( ) dim( ) V V V V V V 1 2 1 2 1 2 + = + + 或 dim( ) dim dim dim( ) V V V V V V 1 2 1 2 1 2 + = + −
证: 设 dimV = n, dimV,=nz, dim(VnV)=m取nV的一组基α,α2,"",αm由扩基定理，它可扩充为V,的一组基a1,α2,..,am. .β2.,βn.-m它也可扩充为V,的一组基αj,α2,..",αm,1,2,.",Yn-m即有 V= L(α,α2,",αm,βr,β2,"",βn-m)V, = L(aj,α2,"",am,Y1,Y2,""",Ym-m)$6.6子空间的交与和区区
§6.6 子空间的交与和 由扩基定理，它可扩充为V1的一组基 证：设 dim , dim , dim( ) V n V n V V m 1 1 2 2 1 2 = = = 1 1 2 1 2 , , , , , , , m n m− 2 1 2 1 2 , , , , , , , m n m− 取 V V 1 2 的一组基 1 2 , , , m 它也可扩充为V2的一组基 1 1 1 2 1 2 ( , , , , , , , ) V L = m n m− 2 2 1 2 1 2 ( , , , , , , , ) V L = m n m− 即有