第六章线性空间s5线性子空间S1集合·映射S6子空间的交与和S2线性空间的定义与简单性质S7子空间的直和S3维数·基与坐标88线性空间的同构s4基变换与坐标变换小结与习题
§2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §1 集合·映射 §5 线性子空间 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 §6 子空间的交与和 小结与习题 第六章 线性空间
引线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空言间的抽象和推广。我们知道，在解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线性方程组的解的理论
引 言 线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空 间的抽象和推广． 我们知道，在解析几何中讨论的三维向量，它 们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和 力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组 解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定 义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向 量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完 满地阐明了线性方程组的解的理论．
引现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开言向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应用，事实上，线性空间的理论与方法已渗透到自然科学与工程技术的许多领域，同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义
引 言 现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开 向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数 量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来， 就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将 使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相 当广泛的领域内得到应用．事实上，线性空间 的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的 许多领域, 同时对于我们深刻理解和掌握线性方 程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义
s6.1集合·映射一、集合二、映射S6.1集合映射A
§6.1 集合 映射 一、集合 二、映射 §6.1 集合·映射
一、集合1、定义把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；组成集合的这些事物称为集合的元素☆常用大写字母A、B、C等表示集合；用小写字母a、b、c等表示集合的元素。当a是集合A的元素时，就说a属于A，记作：aEA当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：a史A$6.1集合映射区区
§6.1 集合 映射 一、集合 把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 常用大写字母A、B、C 等表示集合； 当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作： a A ； 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作： a A 1、定义 组成集合的这些事物称为集合的元素． 用小写字母a、b、c 等表示集合的元素． ☆
注:关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明：集合论的创始人是19世纪中期德国数学家康托尔（G．Cantor），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的，彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果;集合中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性86.1集合映射区区
§6.1 集合 映射 关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一 个描述性的说明．集合论的创始人是19世纪中期德 国数学家康托尔（G．Cantor），他把集合描述为： 所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明 确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果;集合 中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中的元 素具有：确定性、互异性、无序性. 注:
☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质M=(x|x具有性质P)列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来M= ar, az' ..., an)例1 M = (x,)x? + y? = 4,x,ye R)例2 N= {0,1,2,3,....,2Z ={0,±2,±4,±6,.....}例3 M = (xx2 -1= 0,x e R) ={-1,1)6.1集合映射区区
§6.1 集合 映射 ☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质. 列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来. 例1 2 2 M x y x y x y R = + = {( , ) 4, , } 例2 N＝ {0,1,2,3, } ， 2Z＝ {0, 2, 4, 6, } 例3 2 M x x x R = − = = − { 1 0, } { 1,1} M＝｛x | x具有性质P｝ M＝｛a1，a2，…，an｝
☆空集：不含任何元素的集合，记为β注意：() 约定：空集是任意集合2、集合间的关系的子集合。☆如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是A的子集，记作BA，（读作B包含于A）BCA当且仅当VxEB=→xEA☆如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称A与B相等，记作A=BA=B当且仅当ACB且 BCA86.1集合映射区区
§6.1 集合 映射 2、集合间的关系 ☆ 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 A的子集，记作 B A ，（读作B包含于A） B A 当且仅当 x B x A ☆ 空集：不含任何元素的集合，记为φ． 注意：｛φ｝≠φ ☆ 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称A与 B相等，记作A＝B. A＝B当且仅当 A B 且 B A 约定： 空集是任意集合 的子集合
3、集合间的运算交: ANB=(xxEA且xEB) ;并: AUB=(x|x E A或xE B)显然有，ANBA；AAUB练习：1、证明等式：AN(AUB)=A.证： 显然,AN(AUB)_A.又VxEA,则xEAUB,: xEAN(AUB)， 从而, ACAN(AUB).故等式成立。86.1集合映射区区
§6.1 集合 映射 3、集合间的运算 交： A B x x A x B = { } 且 ； 并： A B x x A x B = { } 或 显然有， A B A A A B ; 1、证明等式: A A B A ( ) = ． 证：显然， A A B A ( ) ．又 x A x A B , 则 ， ∴ x A A B ( ) ，从而, A A A B ( )． 练习： 故等式成立．
2、已知ACB，证明：(2)AUB = B(1)ANB= A;证: 1)VxE A,A_B=→xEB→xEANB,此即,A_ANB, 又因ANB_A, :ANB=A.2) VxEAUB=xEA或xEB, 但是 A_B,因此无论哪一种情况，都有xEB．此即，AUB_B. 又因BCAUB, :.AUB=B.86.1集合映射A-
§6.1 集合 映射 2、已知 A B ，证明： 又因 A B A ，∴ A B A = ． 又因 B A B ，∴ A B B= ． A A B , 证：1） x A A B x B x A B , , 此即， 因此无论哪一种情况，都有 x B . A B B . 此即， (1) ; (2) A B A A B B = = 2) , x A B x A x B 或 但是 A B