第六章线性空间S5线性子空间S1集合·映射86子空间的交与和S2线性空间的定义与简单性质S7子空间的直和S3维数·基与坐标s8线性空间的同构s4基变换与坐标变换小结与习题
§2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §1 集合·映射 §5 线性子空间 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 §6 子空间的交与和 小结与习题 第六章 线性空间
$6.3维数·基与坐标线性空间中向量之间的线性关系二、线性空间的维数、基与坐标6.3维数基坐标
§6.3 维数 基 坐标 一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标 §6.3 维数 · 基与坐标
引入问题I（基的问题）如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？即线性空间的构造如何？问题II（坐标问题）线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西一数发生联系，使其能用比较具体的数学式子来表达？怎样才能便于运算？S6.3维数基坐标区区
§6.3 维数 基 坐标 引 入 即线性空间的构造如何？ 怎样才能便于运算？ 问题Ⅰ 如何把线性空间的全体元素表示出来？ 这些元素之间的关系又如何呢？ （基的问题） 问题Ⅱ 线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西 —数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？ （坐标问题）
线性空间中向量之间的线性关系1、有关定义设V是数域P上的一个线性空间(1) αi,α2,",α, EV(r≥1), k,k2,",k, EP, 和式ka, +k,a, +...+k,a,称为向量组αi,αz,,α,的一个线性组合。(2) αj,α2,,αr,βeV, 若存在 k,k2,",k, E P使 β=kαi +k,α, +...+k,α,线性表出：则称向量β可经向量组αi,α2,αr$6.3维数基坐标区
§6.3 维数 基 坐标 一、线性空间中向量之间的线性关系 1、有关定义 设V 是数域 P 上的一个线性空间 （1） 1 2 1 2 , , , ( 1), , , , , r r V r k k k P 和式 1 1 2 2 r r k k k + + + 称为向量组 1 2 , , , r 的一个线性组合． （2） 1 2 , , , ,r V ，若存在 1 2 , , , r k k k P 则称向量 可经向量组 1 2 , , , r 线性表出； 1 1 2 2 r r 使 = + + + k k k
若向量组 βi,β2,,β，中每一向量皆可经向量组α1,α2",α,线性表出，则称向量组βi,β2,…",β可经向量组α,α2，,α线性表出若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为等价的.（3）α,α2，,α,EV，若存在不全为零的数k,kz,".,k,EP,使得ka +kα2 +...+k,α, =0则称向量组α,α2,α,为线性相关的86.3维数基坐标区区
§6.3 维数 基 坐标 若向量组 1 2 , , , s 中每一向量皆可经向量组 1 2 , , , r 线性表出，则称向量组 1 2 , , , s 可经向量组 1 2 , , , r 线性表出； 若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的． （3） 1 2 , , , r V ，若存在不全为零的数 1 2 , , , r k k k P ，使得 1 1 2 2 0 r r k k k + + + = 则称向量组 1 2 , , , r 为线性相关的；
（4）如果向量组αj,α2,,α,不是线性相关的，即kαi +k,α, +...+k,α, =0只有在 k =k2=.…=k,=0时才成立,则称α,α2，,α为线性无关的2、有关结论（1）单个向量α线性相关α=0.单个向量α线性无关α0向量组αj,α2,α线性相关α,α2，,α,中有一个向量可经其余向量线性表出。86.3维数基坐标区
§6.3 维数 基 坐标 （4）如果向量组 1 2 , , , r 不是线性相关的，即 1 1 2 2 0 r r k k k + + + = 只有在 k k k 1 2 = = = = r 0 时才成立， 则称 1 2 , , , r 为线性无关的． （1）单个向量 线性相关 = 0. 单个向量 线性无关 0 向量组 1 2 , , , r 线性相关 1 2 , , , r 中有一个向量可经其余向量线性表出． 2、有关结论
若向量组αj,α2,α，线性无关，且可被(2）3向量组 βi,β2,,β，线性表出，则 r≤s;若αi,α2,",α,与β,β2,…",β,为两线性无关的等价向量组，则r=s.（3）若向量组α,α2,α线性无关，但向量组αi,α2，,αr,β线性相关，则β可被向量组α,α2,αr线性表出，且表法是唯一的.86.3维数基坐标区区
§6.3 维数 基 坐标 （2）若向量组 1 2 , , , r 线性无关，且可被 向量组 1 2 , , , s 线性表出，则 r s ; 若 1 2 , , , r 与 1 2 , , , s 为两线性无关的 等价向量组，则 r s = . （3）若向量组 1 2 , , , r 线性无关，但向量组 1 2 , , , , r 线性相关，则 可被向量组 1 2 , , , r 线性表出，且表法是唯一的．
线性空间的维数、基与坐标二、乡1、无限维线性空间若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量则称V是无限维线性空间例1所有实系数多项式所成的线性空间R[xl是无限维的因为，对任意的正整数n，都有n个线性无关的向量1, x, x2, ..., xn-186.3维数基坐标区区
§6.3 维数 基 坐标 因为，对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的 向量 1、无限维线性空间 若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称 V 是无限维线性空间． 例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是 无限维的. 1，x，x 2 ，…，x n－1 二、线性空间的维数、基与坐标
2、有限维线性空间（1）n维线性空间：若在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是任意n十1个向量都是线性相关的，则称V是一个n维线性空间；常记作dimV=n.注：零空间的维数定义为0dimV= 0 ←V=[0}86.3维数基坐标区区
§6.3 维数 基 坐标 2、有限维线性空间 n 维线性空间；常记作 dimV＝ n . （1）n 维线性空间： 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是 任意 n＋1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个 注：零空间的维数定义为0. dimV＝ 0 V＝{0}
(2) 基在n维线性空间V中，n个线性无关的向量S1,&2,,n，称为V的一组基;（3）坐标设Si,&2,6n 为线性空间V的一组基,αEV若 α=ae +a,e, +...+anen, ar,az,,an 则数组aa2,an，就称为α在基,2,n下的坐标，记为(aj,a2,an)$6.3维数基坐标区区
§6.3 维数 基 坐标 在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量 （2）基 1 2 , , , n ，称为 V 的一组基； 下的坐标，记为 1 2 ( , , , ). n a a a （3）坐标 设 1 2 , , , n 为线性空间 V 的一组基， V, 则数组 ，就称为 在基 1 2 , , , n 1 2 , , , n a a a 1 1 2 2 1 2 , , , , n n n 若 = + + + a a a a a a P