第十章双线性函数s10.1线性函数S10.2对偶空间S10.3双线性函数s10.4对称双线性函数
第十章 双线性函数 §10.1 线性函数 §10.2 对偶空间 §10.3 双线性函数 §10.4 对称双线性函数
S 10.3双线性函数双线性函数、度量矩阵二、三、非退化双线性函数810.3双线性函数AD
§10.3 双线性函数 一、双线性函数 二、度量矩阵 §10.3 双线性函数 三、非退化双线性函数
双线性函数定义设V是数域P上的n维线性空间，映射f:V×V→P为V上的二元函数.即对Vα,βeV,根据唯一地对应于p中一个数f(α,β)，如果f(α,β）具有性质：(1) f(α,kβ +k,β,) = kf(α,β)+kf(α,β,)(2) f(k,α + k,α2,β) = k,f(α1,β)+ kzf(α2,β)其中 α,α,αz,β,β,β, eV,k,k, EP则 f(α,β)称为 V上的一个双线性函数$10.3双线性函数V
§10.3 双线性函数 一、双线性函数 定义 设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，映射 f V V P : → 为 V 上的二元函数. 即对 , , V 根据 f 唯一地对应于 P 中一个数 f ( , ) , 如果 f ( , ) 具有性质: 1 1 2 2 1 1 2 2 (1) ( , ) ( , ) ( , ) f k k k f k f + = + 1 1 2 2 1 1 2 2 (2) ( , ) ( , ) ( , ) f k k k f k f + = + 其中 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , V k k P 则 f ( , ) 称为 V上的一个双线性函数
注对于线性空间V上的一个双线性函数f(α,β)当固定一个向量α(或β)不变时，可以得出一个双线性函数.例1.线性空间V上的内积即为一个双线性函数，f :V×V-→P,f(α,β) =(α,β),Vα,βeV$10.3双线性函数
§10.3 双线性函数 对于线性空间V上的一个双线性函数 当固定一个向量 (或 )不变时，可以得出一 个双线性函数. f ( , ) 注 例1.线性空间 V 上的内积即为一个双线性函数. f V V P f V : , ( , ) ( , ), , → =
例2.V上两个线性函数fi,f,:V→P定义 f :V×V→P, f(α,β)= fi(α)f(β)证明：f是V上的一个双线性函数证: f(α,k,β +k,β)= f(α)f2(k,β, +k,β,)=kf(α,β)+k,f(α,β,),f(k,α +k,α2,β)= fi(k,α, +k,α,)f,(β)= kif(α1,β)+k,f2(αz,β)810.3双线性函数V
§10.3 双线性函数 例2. V 上两个线性函数 1 2 f f V P , : , → 1 2 定义 f V V P f f f : , ( , ) ( ) ( ) → = 证明: f 是V上的一个双线性函数. 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 f k k f f k k ( , ) ( ) ( ) + = + 1 1 2 2 = + k f k f ( , ) ( , ), 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 f k k f k k f ( , ) ( ) ( ) + = + 1 1 2 2 2 = + k f k f ( , ) ( , ) 证：
例3.设P"是数域P上的 n 维线性空间，Aepmn.xiJ1令f:VxV→P.,Y=VX=e,(X,Y)H X'AY.Xnyn①则f(X,Y)为P"上的一个双线性函数若 A=(aj)nn’则auF(X,Y)= X'AY =(x, X, ... xan11nnxZagxx②=$10.3双线性函数区区
§10.3 双线性函数 例3.设 P n 是数域 P 上的 n 维线性空间， . n n A P 1 1 2 2 , , n n x y x y X Y V x y = = 令 f V V P : → 则 f X Y ( , ) 为 上的一个双线性函数. n P ( ) , 若 A a = ij n n ( ) 1 11 1 2 1 2 1 ( , ) ' n n n nn n x a a x f X Y X AY x x x a a x = = , 1 n ij i j i j a x x = = ( , ) ' . X Y X AY 则 ① ②
事实上，①或②是数域P上任意上的n维线性空间V上双线性函数f(α,β)的一般形式设6i,82,,8,为数域P上线性空间V的一组基，设 α=X8 +x22 +..+xnen=( 82 ... n)=(e1 82 ... en)Xβ=ye) +y2e2 +...+ynen =(8 82 ... en)=(61 82 ... 8n)Y$10.3双线性函数区区
§10.3 双线性函数 事实上，①或②是数域 上任意上的 维线性 空间 上双线性函数 的一般形式. P V n f ( , ) 设 1 2 , , , n 为数域 P 上线性空间V的一组基， 设 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ) n n n n x x x x x x = + + + = 1 2 ( ) = n X 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ) n n n n y y y y y y = + + + = 1 2 ( ) = n Y
则 f(α,β)= (Ex;e,Ey,6,)=Zf(6,8,)x,x,l i=l2A=令 a, = f(8,,8,),i, j =1,2,..",n,anly1则 (α,β)=(xi x2 .. xn)ASf(e1,e)) ... f(e1,en)其中A:f(en,e)) ... f(en,en)$10.3双线性函数A
§10.3 双线性函数 则 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) , n n i i i i i j i j i j f f x y f x x = = = = 11 1 1 n n nn a a A a a = ( , ), , 1,2, , , ij i j 令 a f i j n = = ( ) 1 2 1 2 ( , ) , n n y y f x x x A y = 1 1 1 1 ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) n n n n f f A f f = 则 其中
二、度量矩阵定义设f(α,β)是数域P上任意上的n维线性空间V上一个双线性函数，8j,82,,8，为V的一组基，则矩阵f(e1,e) f(e1,e2) ... f(e1,en)f(82,e)) f(82,e2) .. f(e2,en)A=f(en,e) f(en,e2) ... f(en,en)称为f(α,β）在8,2,,,下的度量矩阵810.3双线性函数V
§10.3 双线性函数 设 是数域 上任意上的 n 维线性 空间V上一个双线性函数， 为V的 一组基，则矩阵 f ( , ) P 1 2 , , , n 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n f f f f f f A f f f = 称为 f ( , ) 在 下的度量矩阵. 1 2 , , , n 二、度量矩阵 定义
命题1在给定基下，V上全体双线性函数与P上全体n级矩阵之间存在1-1对应.证：取定V的一组基81,82,8n，双线性函数f(α,β)= f(Ex,e),Ey,e)=-ZZf(8),6,)xxj,i=1 j-1(f(e,e)) ... f(c),en)令A=f(en,e)) ... f(en,en)则f 与 A=((8,8,)对应即f与f在1,82,8下的度量矩阵对应810.3双线性函数
§10.3 双线性函数 命题1 在给定基下, 上全体双线性函数与 上全体 级矩阵之间存在1─1对应. V P n 1 2 , , , , n 证：取定 V 的一组基 双线性函数 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) , n n i i i i i j i j i j f f x y f x x = = = = 令 1 1 1 1 ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) n n n n f f A f f = 则 与 ( ( , )) 对应. A f i j f = 即 与 在 下的度量矩阵对应. f 1 2 , , , n f