西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第四章 矩阵 4.7 分块乘法的初等变换及应用举例

§4.7分块乘法的初等变换 及应用举例 一、分块乘法的初等变换 二、应用举例

一、分块乘法的初等变换 二、应用举例

一、分块乘法的初等变换HE分块成m作1次“初等变换”可得0E(. 5) (2.n)(E P)E,J,(E), ()S4.7分块矩阵的初等变换及应用举例

§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例 E分块成 ，作1次“初等变换”可得 0 0 m n E E       0 , 0 n m E E      , 0 m n E P E       0 , 0 n P E       0 . m n E P E       0 ; 0 Em P       0 ; 0 m n E E       一、分块乘法的初等变换

(. 5)(CB)-(C D)且有(6 2.)(c B)-(Pa p)B(F E)(e B)-(c+PA DpB)三特别地，若A可逆，令P=-CA-1．上式变为：B(-Ex- E.)(e B)-(6 d-C4-B)84.7分块矩阵的初等变换及应用举例区区

§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例 且有 ( ) ( ) 0 . m n E A B A B P E C D C PA D PB     = + +   ( ) ( ) 0 , 0 n m E A B C D E C D A B     =  ( ) ( ) 0 , 0 n P A B PA PB E C D C D     =   若A可逆，令 P CA = − −1 ．上式变为： 1 1 ( ) 0 0 m n E A B A B CA E D CA B C D − −       =     − −   特别地

二、应用举例例1. T=( D),A, D可逆, 求 T-I,(- 2)(e 8)-(6 B)解：由(6)"-()及84.7分块矩阵的初等变换及应用举例区区

§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例 二、应用举例 例1．T ( A 0 ), A，D可逆，求 T −1． C D = 解： 及 ( ) 1 1 1 0 0 0 0 A A D D − − −   =     1 ( ) ( ) 0 0 0 0 m n E A A CA E C D D −     = −  由

-[- 2](e 0)]有-( - 2.)Alu-I0(-D-'CA-1 D-184.7分块矩阵的初等变换及应用举例Λ

§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例 ( ) 1 1 1 1 m 0 0 n E A T CA E C D − − − −     =     −       有 1 1 1 1 A 0 D CA D − − − −   =     − 1 1 1 0 0 0 m n A E D CA E − − −    =    −   

)，求A-1例2. A=解： 把A分块成 A=(4-A) 4=(1})则 4' =-(1 1) =24.又(6 E)(4 A)(E 2)(4 -4)E 2)-( -A84.7分块矩阵的初等变换及应用举例V

§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例 例2． ，求 ． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A     − − =   − −     − − 1 A − 把A分块成 1 1 1 1 , A A A A A   =     − 1 ( ) 1 1 , 1 1 A = − ( ) 1 1 1 1 1 2 1 1 A − − − = − 则 − 解： 1 1 . 2 = A 又 ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 E E E A A E A A E E       − 1 1 2 0 , 0 A A   =   −   ( ) 1 1 1 2 0 A E 0 A A E E   =     −

2AEE0E0AE0E0EA[(6](2 -4 )]-( ))6 9)( 2)6 2)S4.7分块矩阵的初等变换及应用举例AD

§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 E E E A A E A E E − − − −     =       −   ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 0 2 0 0 E E E A E E E A − −   =       − ( ) ( ) 1 1 1 0 0 4 1 0 0 2 A E E E E E E A     =     −   ( ) ( ) 1 1 1 1 2 0 0 0 0 E E E A A E A E E − −    =     −

(6a)084.7分块矩阵的初等变换及应用举例V

§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例 1 1 1 1 1 1 4 4 1 1 4 4 A A A A     =     −   ( ) 1 1 1 1 0 4 1 1 0 4 2 A E E E A A     =     −   1 . 4 = A

例3. 证明：|AB=A|B（A、B为n级方阵)(5 4.)(-4 )-(- 4B)证：作E.E,Pi =这里再作2n级消法矩阵0EE,中除（i）的元素为a外，其余元素皆为0.由初等矩阵与初等变换的关系，得84.7分块矩阵的初等变换及应用举例

§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例 例3．证明： AB A B = (A、B为n级方阵)． 作 ( ) ( ) 0 0 , 0 n n E A A AB E E B E B     = − −   证： 再作 2n 级消法矩阵 , 这里 0 n ij ij n E E P E   =     Eij 中除 （i j,） 的元素为 aij 外，其余元素皆为0． 由初等矩阵与初等变换的关系 , 得

0EP....P....P...P一nE而消法变换不改变行列式的值，L.....P....P.....Pn1EBnn0A=[A|B|,-EB84.7分块矩阵的初等变换及应用举例V

§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例 , 0 n n E A E   =     11 1 1 1 1 1 1 n n nn a a a a       =       11 1 1 0 0 n n n nn n E P P P P E       而消法变换不改变行列式的值, ( ) 11 1 1 ( ) 0 0 0 n n n nn n E A A A P P P P E E B E B    =   − −   A 0 E B = − = A B