第五章二次型s5.1二次型的矩阵表示标准形$5.2S5.3唯一性S5.4正定二次型章小结与习题
第五章 二次型 §5.1 二次型的矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型 章小结与习题
s 5.3 唯一性复数域上的二次型的规范形！、一实数域上的二次型的规范形三、小结85.3唯一性
§5.3 唯一性 一、复数域上的二次型的规范形 二、实数域上的二次型的规范形 三、小结 §5.3 唯一性
问题的产生：1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化线性替换有关。如：二次型 f(X,X2,X)=2xX2-6xX+2XXxi)-(0)福X2作非退化线性替换X(,)=2一+得标准形$5.3唯一性P
§5.3 唯一性 问题的产生： 1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化 线性替换有关. 如：二次型 1 2 3 1 2 2 3 1 2 f x x x x x x x x x ( , , ) 2 6 2 = − + 作非退化线性替换 1 1 2 1 3 3 1 1 3 1 1 1 0 0 1 x y x y x y = − − 得标准形 222 1 2 3 1 2 3 f x x x y y y ( , , ) 2 2 6 = − + 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 ( , , ) 2 2 3 f x x x z z z = − + 1 1 2 1 3 3 1 1 2 1 1 1 2 1 3 0 0 1 3 x z x z x z = −
2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关"若f(xi,…,xn)=X'AX作非退化线性替换X=CY化为标准形Y'DY，则有 D=C'AC,秩(D)=秩(C'AC)=秩(A)而秩(D)等于D 的主对角线上不为零的元素的个数85.3唯一性A
§5.3 唯一性 2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中， 系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所 作的非退化线性替换无关. 秩( ) ( ' ) ( ) D C AC A = = 秩 秩 而秩(D) 等于D 的主对角线上不为零的元素的个数. ∵若 f x x X AX ( , , ) ' 1 n = 作非退化线性替换 X CY = 化为标准形 ，则有 D C AC = ' , Y DY
定义二次型(x，X2x,）=X'AX的秩等于矩阵A的秩，即秩f=秩（A）：3.问题：如何在一般数域P上，进一步“规范”平方项非零系数的形式？（这样产生了唯一性的问题）85.3唯一性人
§5.3 唯一性 3. 问题： 如何在一般数域P上，进一步“规范” 平方项非零 系数的形式？（这样产生了唯一性的问题） 定义 二次型 的秩等于矩阵A的秩， 即秩 f ＝秩（A）. 1 2 ( , , , ) ' n f x x x X AX =
复数域上的二次型的规范形福1.复二次型的规范形的定义设复二次型 f(X)= X'AX,A'= AεCnxn经过非退化线性替换X=CY，CeCnxn 可逆，得标准形 f(X)=Y'(C'AC)Y =dy +...+d,y?d,±0,i=l,2.r,这里r=秩f=秩（A.再作非退化线性替换85.3唯一性
§5.3 唯一性 一、复数域上的二次型的规范形 1. 复二次型的规范形的定义 标准形 再作非退化线性替换 2 2 1 1 ( ) '( ' ) r r f X Y C AC Y d y d y = = + + 设复二次型 ( ) ' , ' Cn n f X X AX A A = = 经过非退化线性替换 , C 可逆, 得 n n X CY C = d i r i = 0, 1 , 2 , 这里 r f A = = 秩 秩（ ）
V或 Y=DZ,VCCYr+1= Zr+1D = diag[yn= znf(X) = Z'(D'C'ACD)Z =z +z +... +z.则称之为复二次型f(X)的规范形85.3唯一性
§5.3 唯一性 则 称之为复二次型 f X( ) 的规范形. 1 1 1 ( , , , 1 , , 1) r D diag d d = 1 1 1 1 1 1 1 r r r r r n n y z d y z d y z y z + + = = = = , 或 Y = D Z , 2 2 2 1 2 ( ) '( ' ' ) r f X Z D C ACD Z z z z = = + + +
注意：①复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种②复二次型的规范形是唯一的，由秩f确定2.（定理3）任一复二次型经过适当的非退化线性替换可化为规范形，且规范形唯一。E.0推论1.任一复对称矩阵A合同于对角矩阵0其中r=秩(A).推论2.两个复对称矩阵A、B合同台秩(A)=秩(B)85.3唯一性区区
§5.3 唯一性 注意： ①复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种. ②复二次型的规范形是唯一的，由秩 f 确定. 2.（定理3）任一复二次型经过适当的非退化 线性替换可化 为规范形，且规范形唯一. 推论1.任一复对称矩阵A合同于对角矩阵 0 , 0 0 Er 其中r A = 秩( ). 推论2.两个复对称矩阵A、B合同 = 秩( ) ( ). A B 秩
二、实数域上的二次型的规范形1．实二次型的规范形的定义设实二次型 (X)=X'AX，A'=AeR"经过非退化线性替换X=CY，CeRnxn可逆，得标准形F(X)= Y'(C'AC)Y=dy +..+d,y, -dp+yp+ -...--d.y?其中，d,>0,i=1,2.r,r=秩f=秩(A)再作非退化线性替换85.3唯一性区区
§5.3 唯一性 二、实数域上的二次型的规范形 再作非退化线性替换 1. 实二次型的规范形的定义 f X Y C AC Y ( ) '( ' ) = 2 2 2 2 1 1 1 1 , p p p p r r d y d y d y d y = + + − − − + + 设实二次型 ( ) ' , ' R 经过 n n f X X AX A A = = 非退化线性替换 X CY C = , Rn n 可逆，得标准形 其中， d i r i = 0, 1 , 2 , r = 秩 f = 秩( ). A
美Vd1I(同前)或 Y=DZ,yldYr+1Zr+1D = diagLn= zn则 f(X)= Z'(D'C'ACD)Z=z+ .. +, -2-称之为实二次型f(X)的规范形85.3唯一性
§5.3 唯一性 则 f X Z D C ACD Z ( ) '( ' ' ) = 2 2 2 2 1 1 p p r z z z z = + + − − − + 1 1 1 1 1 1 1 ( ) r r r r r n n y z d y z d y z y z + + = = = = , 或 Y = D Z , 同前 1 1 1 ( , , , 1 , ,1) r D diag d d = 称之为实二次型 f X( ) 的规范形