西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第四章 矩阵 4.2 矩阵的运算

§4.2矩阵的运算 一、加法 二、乘法 三、数量乘法 四、转置

三、数量乘法 一、加法 二、乘法 四、转置

一、加法1. 定义设 A=(a,)xn,B=(b,)sxn，则矩阵C =(cj,)n =(aj +b,)sxn称为矩阵A与B的和，记作C=A+B：即au + b ai2 + b12... ain +ba2i+b2ia22+b22.. azn +b2nA+B=as1+bs1as2+bs2...asn+bs84.2矩阵的运算

§4.2 矩阵的运算 1．定义 ( ) ( ) C c a b = = + ij s n ij ij s n   设 A a B b = = ( ) , ( ) , ij s n ij s n   则矩阵 称为矩阵A与B的和，记作 C A B = + ．即 一、加法 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n s s s s sn sn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b   + + +   + + + + =     + + +  

只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行说明加法运算1231例如36X13(12 +13+8-5+9170+41+6-9+56X83+36+28+184.2矩阵的运算

§4.2 矩阵的运算 说明 例如           +           − − 3 2 1 6 5 4 1 8 9 3 6 8 1 9 0 12 3 5           + + + + − + + + + − + = 3 3 6 2 8 1 1 6 9 5 0 4 12 1 3 8 5 9 . 6 8 9 7 4 4 13 11 4           = − 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行 加法运算

2． 性质A+B=B+A交换律(1)A+(B+C)=(A+B)+C结合律(2)(3) A+0= A(4) A+(-A) = 03．减法定义 A-B=A+(-B).84.2矩阵的运算A

§4.2 矩阵的运算 (1) A B B A + = + 交换律 (2) A B C A B C + + = + + ( ) ( ) 结合律 (3) A A + = 0 (4) A A + − = ( ) 0 定义 A B A B − = + −( ). 2．性质 3．减法

二、乘法1.定义设 A=(a)sxn,B=(b,)nxm，则 s×n 矩阵C=(cj)sxm其中C, =ajb, +.+ aubu, -Eaxbik=li=1,2,...,s,j=1,2,...,m称为A与B的积，记为C=AB.4.2矩阵的运算

§4.2 矩阵的运算1 1 1 n ij i j in nj ik kj k c a b a b a b = = + + =  i s j m = = 1,2, , , 1,2, , 设 A a B b = = ( ) , ( ) , ij s n ij n m   则 s n  矩阵 C c = ( ) , ij s m 其中 称为 A 与 B 的积，记为 C AB = ． 1．定义 二、乘法

注意乘积AB有意义要求A的列数=B的行数1乘积AB中第i行第i列的元素由A的第i行乘B的第j列相应元素相加得到。如不存在。S4.2矩阵的运算

§4.2 矩阵的运算 ① 乘积 AB 有意义要求A 的列数＝ B 的行数. ② 乘积 AB 中第 i 行第 j 列的元素由 A 的第 i 行 乘 B 的第 j 列相应元素相加得到． 注意                 6 0 1 1 6 8 5 8 9 3 2 1 1 2 3 如 不存在

例1 线性方程组auxi+...+ainxn=b(1)asix,+...+asnxn=bsxibib.....B=X=A=(aj)sxn)bsxn则（1）可看成矩阵方程AX=B.4.2矩阵的运算

§4.2 矩阵的运算 11 1 1 1 1 1 n n s sn n s a x a x b a x a x b  + + =    + + =  （1） 例1 线性方程组 1 1 2 2 ( ) , , ij s n n x b x b A a B x b          =             s 令 X = = 则（1）可看成矩阵方程 AX B =

0-6) 1例2. A=(.AB=(3 1),而BA无意义.例3. A=(7 2)。 B=(3)AB=(1 70)。 BA=(8 8),AB + BA.84.2矩阵的运算A2

§4.2 矩阵的运算 而 BA 无意义． ( ) 4 1 0 1 0 3 1 1 1 3 , 2 1 0 2 2 0 1 1 3 4 A B   − −  = =       例2． ( ) 921 , 9 9 11 AB − − = ( ) 16 32 , 8 16 AB − − = ( ) ( ) 2 4 2 4 , 1 2 3 6 A B − = = − − − 例3． ( ) 0 0 , 0 0 BA = AB BA 

自例4.A=B=(1,2,3)-(1)-23-(11),023BA=(1,2,3)=(1×1+2×2+3×3)=(14) =144.2矩阵的运算V

§4.2 矩阵的运算 例4． ( ) 1 2 , 1,2,3 3 A B   = =       ( ) 1 1 2 3 2 1,2,3 2 4 6 , 3 3 6 9 AB     = =             ( ) 1 1,2,3 2 3 BA   =       =  +  +  (1 1 2 2 3 3)= = (14) 14

注意①一般地，AB±BA.若AB=BA，称A与B可交换②AB=0未必有A=0或B=0：即A±0且B±0时，有可能AB=0③AX=AY未必 X=Y84.2矩阵的运算

§4.2 矩阵的运算 注意 ③ AX A = Y X Y 未必 ＝ ． 若 AB BA = ，称A与B可交换． ① 一般地， AB BA  . 即 A  0 且 B  0 时，有可能 AB = 0 ． ② AB A B = = = 0 0 0 未必有 或 ．