第一章多项式S7多项式函数s1数域S8复、实系数多项式82一元多项式的因式分解S3整除的概念S9有理系数多项式84最大公因式810多元多项式S5因式分解s11对称多项式S6重因式
§4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 §3 整除的概念 §2 一元多项式 §1 数域 §7 多项式函数 §9 有理系数多项式 §8 复、实系数多项式 的因式分解 第一章 多项式
619有理系数多项式一、本原多项式、整系数多项式的因式分解二
一、本原多项式 二、整系数多项式的因式分解
问题的引入1．由因式分解定理，作为一个特殊情形：对 Vf(x)EQ[xl,a(f(x))≥1, 则f(x) 可唯一分解成不可约的有理系数多项式的积。但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个一般的方法FS1.9有理系数多项式
§1.9 有理系数多项式 问题的引入 1. 由因式分解定理，作为一个特殊情形： 对 f x Q x f x ( ) [ ], ( ) 1, ( ) 则 f x( ) 可唯一分解 成不可约的有理系数多项式的积. 但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个 一般的方法
2.我们知道，在C上只有一次多项式才是不可约多项式；在R上，不可约多项式只有一次多项式与某些二次多项式；但在Q上有任意次数的不可约多项式：如x"-2, VneZ+.如何判断Q上多项式的不可约性呢？F1.9有理系数多项式
§1.9 有理系数多项式 2. 我们知道，在 C 上只有一次多项式才是不可约 多项式； 在 R 上，不可约多项式只有一次多项式与某些 二次多项式； 但在 Q 上有任意次数的不可约多项式．如 2, . n x n Z+ − 如何判断 Q 上多项式的不可约性呢?
3.有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题这是因为任一有理数可表成两个整数的商事实上，设 f(x)=a,x"+an-ix"- +..+ao,则可选取适当整数c，使cf(x)为整系数多项式。若cf(x)的各项系数有公因子，就可以提出来，得dcf(x)=dg(x), 也即 f(x)=g(x),其中g(x)是整系数多项式，且各项系数没有异于±1 的公因子。FS1.9有理系数多项式
§1.9 有理系数多项式 3. 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题． 这是因为任一有理数可表成两个整数的商． 1 1 0 ( ) , n n n n f x a x a x a − 事实上，设 = + + + − 则可选取适当整数 c, 使 cf x( ) 为整系数多项式． cf x dg x ( ) ( ), = 若 cf x( ) 的各项系数有公因子，就可以提出来，得 也即 ( ) ( ), d f x g x c = 其中 g x( ) 是整系数多项式，且各项系数没有异于 1 的公因子．
一、本原多项式定义设 g(x) =b,x" +bn-ixn-1 +.+b,x+ b, + 0,b, E Z, i=0,1,2,...,n.若bn,bn-1,.…,bi,bo没有异于±1的公因子，即bn,bn-1,,br,bo是互素的，则称g(x）为本原多项式F1.9有理系数多项式
§1.9 有理系数多项式 一、本原多项式 设 1 1 1 0 ( ) 0, n n n n g x b x b x b x b − 定义 = + + + + − , 0,1,2, , . i b Z i n = 若 b b b b n n , , , , −1 1 0 没有 则称 g x( ) 为本原多项式． 异于 的公因子，即 1 1 0 , , , , n n b b b b 1 − 是互素的
有关性质1. Vf(x)eQ[xl, rEQ, 使 f(x)=rg(x),其中g(x)为本原多项式（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）2. Gauss引理定理10两个本原多项式的积仍是本原多项式F81.9有理系数多项式
§1.9 有理系数多项式 有关性质 1． f x Q x r Q ( ) [ ], , 使 f x rg x ( ) ( ), = 其中 g x( ) 为本原多项式． （除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）． 2．Gauss引理 定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式．
证：设 f(x)=a,x"+an--x"- +..+ao,g(x) = bmx" + bm-1xm-1 +...+b,是两个本原多项式。h(x) = (x)g(x) = +*+ + dum-++- ++d.反证法．若h(x)不是本原的，则存在素数 P,pld,, r=0,l,...,n+m.又f(x)是本原多项式，所以p不能整除f(x)的每一个系数。F1.9有理系数多项式
§1.9 有理系数多项式 设 1 1 0 ( ) , n n n n f x a x a x a − = + + + − 1 1 0 ( ) m m m m g x b x b x b − = + + + − 是两个本原多项式． 1 1 0 ( ) ( ) ( ) n m n m h x f x g x d x d x d n m n m + + − = = + + + + + − 若 h x( ) 不是本原的，则存在素数 p, 证： | , 0,1, , . r p d r n m = + 又 f x( ) 是本原多项式，所以 p 不能整除 f x( ) 的 每一个系数． 反证法．
令a,为αo,ai,…,an中第一个不能被p整除的数，即plar, ..., plai-1, pta,.同理，g(x)本原，令 b,为 bo,,bm中第一个不能被p整除的数，即plbo,pb,,plbi-1,p+b,又di+, =a,b, +ai+rbj-- +",在这里pldi+j,p+a,b，plai+ibj-1,…矛盾.故h(x)是本原的.F81.9有理系数多项式
§1.9 有理系数多项式 令 ai 为 a a a 0 1 , , , n 中第一个不能被 p 整除的数，即 1 1 | , , , . | | i i p a p a p a − 同理， g x( ) 本原，令 bj 为 b b 0 , , m 中第一个不能被 p 整除的数，即 0 1 1 | , | , | , , . | j j p b p b p b p b − 又 1 1 , i j i j i j d a b a b + + − = + + 在这里 p d p a b p a b | , , | , i j i j i j + + − | 1 1 矛盾． 故 h x( ) 是本原的．
二、整系数多项式的因式分解定理11若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积，F1.9有理系数多项式
§1.9 有理系数多项式 定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两 个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解 成两个次数较低的整系数多项式的乘积． 二、整系数多项式的因式分解