第一章多项式S7多项式函数<S1数域s8复、实系数多项式82一元多项式的因式分解S3整除的概念89有理系数多项式S4最大公因式S10多元多项式S5因式分解s11对称多项式S6重因式
§4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 §3 整除的概念 §2 一元多项式 §1 数域 §7 多项式函数 §9 有理系数多项式 §8 复、实系数多项式 的因式分解 第一章 多项式
一、公因式最大公因式1. 公因式: f(x)、g(x)e P[xl, 若 p(x)e PLx],p(x)f(x) 且 p(x)g(x),满足:则称 (x)为 f(x)、 g(x)的公因式2. 最大公因式: f(x)、 g(x)E P[x],若d(x)E P[x)满足: i) d(x)f(x), d(x)lg(x);i) 若 (x)e P[x], (x)]f(x)且 p(x)g(x),则p(x)d(x) .则称 d(x)为 f(x)、g(x) 的最大公因式R区下81.4最大公因式
§1.4 最大公因式 i) d x f x d x g x ( ) ( ), ( ) ( ) ; 1.公因式: f x g x P x ( ) ( ) [ ], 、 若 ( ) x P x [ ], 满足: ( ) ( ) x f x 且 ( ) ( ), x g x 2.最大公因式: f x g x P x ( ) ( ) [ ], 、 若 d x P x ( ) [ ] 满足: ii) 若 ( ) [ ] x P x , ( ) ( ) x f x 且 ( ) ( ) x g x ,则 ( ) ( ) . x d x 则称 d x( ) 为 f x g x ( ) ( ) 、 的最大公因式. 则称 ( ) x 为 f x g x ( ) ( ) 、 的公因式. 一、公因式 最大公因式
注:①f(x)、g(x)的首项系数为1的最大公因式记作:(f(x)、g(x)).②Vf(x)EP[xl ,f(x)是f(x)与零多项式o的最大公因式。③两个零多项式的最大公因式为0若 f(x),g(x)不全为零,则(f(x),g(x)≠0.④最大公因式不是唯一的,但首项系数为1的最大公因式是唯一的.(若 d,(x)、为(x)f(x)g(x))的最大公因式,则d,(x)=cd,C为非零常数·R区F81.4最大公因式
§1.4 最大公因式 ① f x g x ( ) ( ) 、 的首项系数为1的最大公因式记作: ( ( ) )) f x g x 、 ( . 注: ② f x P x ( ) [ ] , f x( ) 是 f x( ) 与零多项式0的最 大公因式. ③ 两个零多项式的最大公因式为0. ④ 最大公因式不是唯一的,但首项系数为1的最大 公因式是唯一的. ( 若 d x d x 1 2 ( ) ( ) 、 为 f x g x ( ) ( ) 、 的最大公因式,则 d x d x 1 2 ( ) c ( ) = ,c为非零常数. ) 若 f x g x ( ), ( ) 不全为零,则 ( ( ), ( )) 0. f x g x
二、最大公因式的存在性与求法引理: 若等式 f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立,则f(x) g(x)与 g(x) r(x)有相同的公因式,从而(f(x), g(x) =(g(x),f(x)) .81.4最大公因式冈下
§1.4 最大公因式 二、最大公因式的存在性与求法 若等式 成立,则 与 有相同的公因式,从而 . f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + f x g x ( ) ( ) 、 g x r x ( ) ( ) 、 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) f x g x g x f x , , = 引理:
定理2对 f(x)、g(x)e P[x],在P[x]中存在一个最大公因式d(x),且 d(x)可表成 f(x) g(x)的一个组合,即3u(x)、v(x)E P[xl,使d(x)=u(x) f(x) + v(x)g(x).区下81.4最大公因式
§1.4 最大公因式 定理2 对 ,在 中存在 一个最大公因式 ,且 可表成 的一个组合,即 ,使 . f x g x P x ( ) ( ) [ ] 、 P x[ ] d x( ) d x( ) f x g x ( ) ( ) 、 u x v x P x ( ) ( ) [ ] 、 d x u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = +
证:若 f(x)、g(x肩一为0,如 g(x)=0,则 f(x)就是一个最大公因式.且 f(x)=1.f(x)+0·g(x)考虑一般情形:f(x)±0, g(x)0,用g(x)除f(x)得:f(x)= qi(x)g(x)+r(x)其中 (r(x)<a(g(x) 或 r(x)=0.若r(x)±0,用r(x)除g(x),得:g(x) = q2(x)r(x)+r2(x)区区下81.4最大公因式
§1.4 最大公因式 若 f x g x ( ) ( ) 、 有一为0,如 g x( ) 0 = ,则 f x( ) 就是一个最大公因式.且 f x f x g x ( ) 1 ( ) 0 ( ). = + 考虑一般情形: f x g x ( ) 0, ( ) 0, 用 g x( ) 除 f x( ) 得: 1 1 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 其中 ( ( )) ( ( )) r x g x 1 或 r x 1 ( ) 0 = . 2 1 2 g x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 若 r x 1 ( ) 0 ,用 r x 1 ( ) 除 g x( ) ,得: 证:
其中 a(r(x)0(r(x) >(r(x))>.因此,有限次后,必然有余式为0.设r+1(x) = 0.于是我们有一串等式R口F81.4最大公因式
§1.4 最大公因式 若 r x 2 ( ) 0 ,用 r x 2 ( ) 除 r x 1 ( ) ,得 1 3 2 3 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 如此辗转下去,显然,所得余式的次数不断降低, 因此,有限次后,必然有余式为0.设 1 ( ) 0. s r x + = 其中 ( ( )) ( ( )) r x r x 2 1 或 r x 2 ( ) 0 = . …… 1 2 即 ( ( )) ( ( )) ( ( )) g x r x r x …… 于是我们有一串等式
f(x)= qi(x)g(x)+r(x)g(x) = q2(x)r(x)+ r2(x)ri(x) = q3(x)r(x)+ r(x)ri-2(x) = q;(x)r.(x)+r(x)rs-3(x) = qs-1(x)rs-2(x) + rs-1(x)rs-2(x) = q,(x)rs-1(x)+r(x)r-1(x) = qs+1(x)r,(x)+ 0区区下81.4最大公因式
§1.4 最大公因式 2 1 2 g x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 1 3 2 3 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + ……………… ……………… i 2 i i-1 i r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) − = + s 3 s 1 s 2 s 1 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − = + s 2 s s 1 s r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) − − = + s 1 s 1 s r x q x r x ( ) ( ) ( ) 0 − + = + 1 1 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = +
从而有 (f(x), g(x)=(g(x),r(x)=(r(x), r(x)=(r-(x), r(x)=(r(x),0)再由上面倒数第二个式子开始往回选迭代,逐个消去rs-i(x),,r(x)再并项就得到r(x)=u(x)f(x)+ v(x)g(x).冈区81.4最大公因式
§1.4 最大公因式 1 ( ( ) ( ))=( ( ) ( )) f x g x g x r x , , =( ( ) ( )) s 1 s r x r x − , s r x u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = + 从而有 =( ( ) ( )) 1 2 r x r x , =… =( ( ) 0) s r x , 再由上面倒数第二个式子开始往回迭代,逐个消去 s 1 1 r x r x ( ), , ( ) − 再并项就得到