西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第八章 λ-矩阵 8.5 初等因子

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY$ 8.5初等因子一、初等因子的定义二、初等因子与不变因子的关系三、初等因子的求法

一、初等因子的定义 二、初等因子与不变因子的关系 §8.5 初等因子 三、初等因子的求法

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY一、初等因子的定义把矩阵 Aε Cmxn 的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为A的初等因子

一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算） 把矩阵 A C  n n 的每个次数大于零的不变因子 称为A的初等因子. 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些 一、初等因子的定义

西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY例1、若12级复矩阵A的不变因子是：1,1,.,1, (a -1)",(a -1)"(a +1), (a -1)"(a +1)(a2 +1)9个则A的初等因子有7个，它们是(a-1), (a-1), (a-1), (a+1), (a+1),(a+i)", (a-i)2

2 2 2 2 2 1,1, ,1, ( 1) ( 1) ( 1), ( 1) ( 1)( 1)       − − + − + + ， 9个 则A的初等因子有7个，它们是 222 ( 1) , ( 1) , ( 1) , ( 1), ( 1),      − − − + + 例1、若12级复矩阵A的不变因子是: 2 2 ( ) , ( )   + − i i

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY二、初等因子与不变因子的关系分析：①设n级矩阵A的不变因子为已知d,(x), d,(x), ..", d,(x)将d,(x)(i=1,2,,n)分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积：d,(x) = (a - 2)k(a - 2)ki2 ...(a - 2,)kr,d2(x) =(a-2)21(a-22)kn ..(-2,)k2r,d,(x) =(a -2)*m(a-22)kn2 ...(a -2,)kar

① 设n级矩阵A的不变因子为已知： 1 2 ( ), ( ), , ( ) n d x d x d x 将 d x i n i ( ) ( 1,2, , ) = 分解成互不相同的一次因式 二、初等因子与不变因子的关系 的方幂的乘积: 11 12 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , r k k k r d x = − − −       21 22 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , r k k k r d x = − − −       1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . n n nr k k k n r d x = − − −       分析:

西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY则其中对应于ki≥1的那些方幂：(α-,) (kij≥1)就是A的全部初等因子2注意到不变因子 d,(x),d,(x),,d,(x)满足d,(x)[di+i(x), i=1,2,..,n-1从而有(a-,) (a--,), i=1,2,,n-1, j=1,2,.r因此有，kj,≤k2,≤≤kmj，j=1,2,,r

则其中对应于 1 的那些方幂 : i j k  ( ) ( 1) i j k j i j   −  k 就是A的全部初等因子. ② 注意到不变因子 d x d x d x 1 2 ( ), ( ), , ( ) n 满足 1 ( ) | ( ), 1,2, , 1 i i d x d x i n + = − 从而有 1 , ( ) | ( ) , 1,2, , 1, 1,2, i j i j k k j j     i n j r + − − = − = 因此有, 1 2 , 1,2, , j j nj k k k j r    =

西安毛子科技大二XIDIAN UNIVERSITY即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必出现在d，(）的分解式中，次高的必出现在dn-i(a)的分解式中。如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幕的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的

即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中， 方次最高的必出现在 dn ( )  的分解式中，次高的必 出现在 的分解式中. 1 ( ) n d −  如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂 的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是 唯一确定的

西安毛子科技大XIDIANUNIVERSITY③设n级矩阵A的全部初等因子为已知在全部初等因子中，将同一个一次因式(a-2,) j=1,2,...r的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数的1，使其凑成n个，设所得排列为(a-a,),(a-a,)-j,.,(a-a,), j=1,2,..r

③ 设 n 级矩阵 A 的全部初等因子为已知. 在全部初等因子中，将同一个一次因式 ( ) 1,2, j   − =j r 的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初 等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数 的1，使其凑成n个，设所得排列为 1, 1 ( ) , ( ) , , ( ) , 1,2, . n j n j j k k k j j j       j r − − − − =

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY于是令d,(x)=(a-a)kn(a-a2)ki2 ..(a-a,)kr, i=1,2,.",n则 d,(x), d,(x), ..., d,(x)就是A的不变因子

于是令 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1,2, , i i ir k k k i r d x i n = − − − =       则 1 2 ( ), ( ), , ( ) n d x d x d x 就是A的不变因子

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY例1、已知3级矩阵A的初等因子为：（a-1)2,-2.求A的不变因子(a-1)*,1,1解：作排列2-2, 1,1得A的不变因子为：d,(x) =(a-1)(a-2),d,(x)=d,(x) = 1

例1、已知3级矩阵A的初等因子为： 2 ( 1) , 2.   − − 求A的不变因子. 解：作排列 2 ( 1) , 1, 1  −  − 2, 1, 1 得A的不变因子为： 2 3 d x( ) ( 1) ( 2), = − −   2 1 d x d x ( ) ( ) 1. = =

西安毛子科技大学=XIDIAN UNIVERSITY结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，则它们就有相同的初等因子；反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子结论2、两个同级数字矩阵相似它们有相同的初等因子。可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量

结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子， 则它们就有相同的初等因子； 反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有 结论2、两个同级数字矩阵相似 可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量. 相同的不变因子.  它们有相同的初等因子